نصل اليوم الى المحطة الاخيرة في قصة تطور الصفر في العصور القديمة. وتاريخ تطور الرياضيات طويل وممتد من العصر الحجرى مرورا بمصر الفرعونية ثم تطورت الاعداد على ارض بابل ثم فى بلاد الاغريق. وكان لفيثاغورث وزينون وديموقريط كما رأينا دورا هاما في تطور الرياضيات واثراء الحضارة الانسانية.

وقد بلغت الدولة الاغريقية اقصى مدى لها في عصر الاسكندر الاكبر حيث قام بغزوات حربية واسعة غزى فيها معظم اراضى العالم القديم. فشملت مملكة الاسكندر الاكبر: اليونان وايطاليا ومصر وبابل وايران وبعض اجزاء من الهند. ولكن الاسكندر توغل اكثر من اللازم فتذمر جنوده وتمردوا عليه وطلبوا العودة. فاذعن الاسكندر وهو كاره ولكنه في طريق العودة مرض وقضى نحبه. وبعد وفاة الاسكندر طمع قادة جيشه في ملكه فقتلوا زوجته روكسانا وابنه وهو طفل صغير حتى لا ينازعهم احد من عائلة الاسكندر الحكم. واقتسم قادة جيش الاسكندر الاربعة مملكته وحولوها الى اربع ممالك متنازعة ومتناحرة. فكانت المملكة الاولى تشمل بلاد اليونان وايطاليا. والمملكة الثانية تشمل البلاد الواقعة في اسيا الصغرى والمملكة الثالثة تشمل سوريا والعراق والمملكة الرابعة تشمل مصر وفلسطين. ثم سقطت هذه الممالك الواحدة تلو الاخرى امام الرومان. وكانت المملكة المصرية هى اخر الممالك الاغريقية اللتى سقطت  وكانت كليوباترا اخر ملكة هيلينية في التاريخ القديم. ويخطئ الكثيرون عندما يتصورون ان اثينا كانت عاصمة اليونان الحضارية وانها كانت اهم مدنها. بل ان الاسكندرية المصرية كانت في واقع الامر هى اهم العواصم الاغريقية حضارة وكانت مكتبة الاسكندرية صرحا علميا هائلا لايدانيها فى ذلك دانى. ويكفى للتدليل على اهمية دور علماء الاسكندرية فى تطور الحضارة الانسانية ان نذكر اسما واحدا وهو اقليدس اللذى يدرس تلاميذ المدارس اليوم في كل انحاء الكرة الارضية الهندسة المسماة باسمه: اى الهندسة الاقليدية.

وسنتعرف اليوم على عالم اغريقى وهو ارشميدس اللذي عاش فى جزيرة صقلية في الفترة اللتى سبقت سقوطها مباشرة على يد الرومان. وقد ولد ارشميدس في جزيرة سامو وهى نفس الجزيرة اللتى ولد فيها فيثاغورث وكان ذلك بعد مائتى سنة من ميلاد زينون صاحب المفارقة الهامة. وقد عاش ارشميدس فترة طويلة في مدينة الاسكندرية. ودرس الرياضيات في مكتبتها. ثم  التحق ارشميدس بعد ذلك  ببلاط ملك مدينة سراكيوز في جزيرة صقلية حيث عمل كمستشار علمى. وفى احد المرات كلفه الملك بمهمة في غاية الصعوبة. فقد اراد الملك ان يعرف هل ان تاجه مصنوع من الذهب الخالص ام ان الصائغ قد غش في الخامات وخلط الرصاص مع الذهب. وكانت هذه مهمة في غاية الصعوبة تفوق طاقة العلماء في ذلك العصر. وكانت هذه المشكلة مستحوذة على تفكير ارشميدس طوال الوقت. وتقول الرواية انه في احدى المرات عندما كان ارشميدس مستلقيا فى حوض الاستحمام طرأت له فكرة ثورية. فقد انتبه الى انه عندما يكون حوض الاستحمام مملوئا حتى حافته ثم نضع فيه جسما ما. فان الماء ينسكب من حافة حوض الاستحمام ويكون حجم الماء المنسكب مساويا لحجم الجسم المغمور . وهذا هو اهم مبادئ الهدروستاتيك. اللذى يقول ان اى جسم مغمور بشكل كامل او جزئى فى الماء يتعرض لضغط يساوى وزن الماء المزاح. وفكر ارشميدس ان يستغل حجم الماء المسكوب فى تعيين كثافة الجسم المغمور في الماء وبالتالى تحديد نوعية المادة المتكون منها ذلك الجسم. وبهذا يستطيع ارشميدس ان يحدد اذا كان تاج الملك مصنوع من الذهب الخالص ام لا. وقفز ارشميدس الى الشارع وهو يصرخ فرحا يوريكا يوريكا بمعنى وجدتها وجدتها. ولم ينتبه ارشميدس من شدة فرحته انه كان متجردا من ثيابه تماما!!

لكننا لم نذكر ارشميدس اليوم من اجل تلك القصة ولكننا ذكرناه لسبب اخر يتعلق بالصفر والمالانهاية ومفارقة زينون. فقد كان ارشميدس اقرب انسان فى التوصل الى حل صحيح لمفارقة زينون. ولكننا يجب ان نؤكد ان حل ارشميدس لم يكن صحيحا تماما ولكنه كان اقرب حل للرياضيات اللتى نستخدمها اليوم.

كان ارشميدس معنيا بدراسة المرايا المقعرة ولاحظ ارشميدس ان المرايا اللتى لها شكل قطع مكافئ تركز اشعة الضوء فى بؤرتها تماما. وهذه ربما تكون اشارة لاتحاد المالانهاية مع الصفر. فاشعة الشمس المتوازية اللتى تأتى من مسافة بعيدة او المالانهاية تنعكس على سطع المرأة المقعرة لتتجمع فى الصفر او فى نقطة البؤرة. ولكن كان هناك سؤال لم يستطع رياضيو الاغريق الوصول الى اجابة اليه: وهو كيف يحسب الانسان مساحة  القطع المكافئ. فقد عرف الاغريق كيف يحسبون مساحة المثلث او الدائرة ولكنها عجزوا عن ايجاد علاقة لحساب مساحة القطع المكافئ.

وتوصل ارشسميدس الى  طريقة لحساب مساحة القطع المكافئ. ولكن هذه الطريقة كانت شديدة الغرابة وعارضها رياضيو الاغريق مع ان الطريقة كانت تعطى نتيجة دقيقة جدا. ارشميدس قال سنقرب شكل القطع المكافئ الى اكبر مثلث يمكن رسمه فى حيز فراغ  القطع المكافئ. وكما هو موضح بالرسم فان هذا المثلث هو المثلث ABC. وافترض ارشميدس ان مساحة هذه المثلث X.  ونلاحظ انه بعد رسم هذا المثلث فان هناك فراغان صغيران ينشئان يمين ويسار المثلث الكبير. والان نعيد الكرة وفى كل فراغ نحاول ان نرسم اكبر مثلث يملأ مساحة ذلك الفراغ. فنحصل على مثلثين صغيرين. استطاع ارشمسيدس ان يوضح ان مساحتهما معا هى X/4. ولكن ينشأ بعد ذلك فراغات اصغر ممكن ان نرسم فيها مثلثات جديدة على نفس النسق السابق تكون مساحتها X/16. وتستمر هذه العملية الى مالانهاية ولكن فى كل مرة فان مساحات المثلثات الجديدة تقل حتى تكاد تنعدم. وقال ارشمسيدس ان مجموع مساحات المثلثات النهائية وبالتالى مساحة القطع المكافئ هى 4X/3. وهذه نتيجة دقيقة جدا وتتفق مع حساباتنا اليوم.

لكن معاصرى ارشميدس من الرياضيين الاغريق رفضوا هذه الطريقة وانتقدوها وقال ان اللعب مع المالانهاية بهذا الشكل امر مرفوض وانه لايمكن ان يكون مجموع عناصر لانهائية قيمة محدودة. وارشميدس نفسه اتفق معهم وقال انه يرفض وجود المالانهاية وانه لا يجرى عملية الجمع حتى المالانهاية ولكنه يجريها حدد محدود من المرات. ولكن هذا العدد المحدود كاف لكى تقترب نتيجته من الاجابة الصحيحة. وباختصار فان موقف ارشميدس يمكن تلخيصه فى الثلاث نقاط التالية:

1 قال ان مجموع عدد لانهائى من المثلثات مرسومة فى الفراغ اللذى يشغله حيز القطع المكافئ هو رقم محدود
2 رفض ارشميدس المالانهاية وقال انها غير موجودة
3 رفض ارشميدس الصفر وقال انه غير موجود

وقد وضع ارشميدس تعريفا للاعداد يستبعد الصفر من خلاله. فقد قال ارشميدس ان اى عدد مهما كان صغير اذا جمعناه الى نفسه عدد كبير من المرات فانه سوف يصبح في النهاية اكبر من اى عدد معروف اخر. وهذا التعريف يستبعد الصفر . لاننا مهما جمعنا الصفر الى نفسه فاننا لن نحصل سوى على صفر.

باختصار كان رفض ارشميدس و الاغريق للصفر والمالانهاية قاطعا. وكان ذلك يمثل نهاية لامكانية تطور الرياضيات بعد ذلك. فلا يمكن للرياضيات ان تتطور بدون وجود الصفر. ولو قبل الاغريق الصفر وهى البلاد العاشقة للرياضيات لكان من الممكن ان يتوصلوا الى حساب التفاضل واشياء اخرى هامة. ولكنهم لم يفعلوا ذلك. وكان هذا يمثل عمليا المحطة الاخيرة للرياضيات في الحضارة الاغريقية.

يبقى لنا ان نذكر نهاية ارشميدس . وكما علمنا فان فى ذلك الزمان كانت الحرب مندلعة بين الاغريق والرومان. وكان ارشميدس اسما لامعا فى سماء تلك الحرب. فقد صنع الات حربية متفوقة جدا وذات افكار غريبة. وكان مجرد ذكر اسم ارشميدس يصيب الجنود الرومان بالفزع. فقد استخدم ارشميدس مرايا عاكسة عملاقة لكى تحرق سفن الرومان وهى فى عرض البحر. كما انه تمكن من تطوير الات رفع هائلة يمكنها رفع سفن الرومان في الهواء ثم تركها لتسقط على مقدمتها فتغرق فى الحال فى وسط البحر. كما انه اخترع مقاليع هائلة لقذف الرومان بالحجارة. وكان الرومان يصابون بالهلع كلما شاهدوا لوح خشب او حبل عائم فوق سطح الماء. فانهم كانوا يظنون ان هذه حيلة جديدة من حيل ارشميدس.

لكن في احد الايام استطاع الرومان استغلال غفلة حراس مدينة سراكيوز واقتحموا المدينة على حين غفلة من اهلها. وتفاجأ الجميع بوصول الرومان الى قلب المدينة. وكان ارشميدس عند الشاطئ يحاول حل مسألة رياضية على الرمال  كما كانت هى عادة رياضيي الاغريق. فلم يتعرف عليه جندى رومان طلب منه ان يمضى معه. وقد كان ارشميدس فى ذلك الوقت رجلا كبيرا فى العمر سنه 75 سنة غير معنى بمظهره الخارجى وكان ارشميدس قد اصيب بشبه عمى نتيجة دراسته لكسوف الشمس وتطلعه اليها بدون وسائل حماية. ورفض ارشميدس ان يمضى مع الجندى الرومان لانه لم ينتهى من حل المسالة بعد. فطعنه الجندى الرومانى بنصل رمحه فقضى عليه. وهناك مقولة خبيثة تقول ان انجاز او صنيعة الرومان الوحيدة في الرياضيات هى انهم قتلوا ارشميدس!!

وقد تمكن الرومان بعد ذلك من غزو مصر. وانتحرت كليوباترا اخر ملكة هيلينية متبقية. واحترقت مكتبة الاسكندرية على يد يوليوس قيصر اولا  والرومان بعد ذلك فى محاولات غزوهم مصر. ثم اتت الجماهيرالدهماء على البقية الباقية من مكتبة الاسكندرية فى احداث مقتل الفيلسوفة هيباثيا. وكان في ذلك خسارة للبشرية كلها. ولم تكن للحضارة الرومانية انجازات علمية تذكر. فالرومان كانوا امة عسكرية بصفة خاصة برعوا فى الامور العسكرية والسياسية والادارة. وربما ظهر من بين الرومان بعض المؤرخين ولكن لم تقدم الحضارة الرومانية للعالم شيئا علميا مفيدا يذكر. ولم تتطورالرياضيات في عهد الرومان بل تراجعت. وفى هذه الاثناء انتقلت شعلة الحضارة الى الشرق حيث الهند والبلاد الاسلامية.

نتعرض اليوم الى 3 مفاهيم فد تبدو للوهلة الاولى غريبة على السمع. وقد يظهر انه لا توجد علاقة جامعة تجمع بين هذه المفاهيم الثلاثة. ولكننا سنرى عما قليل كيف ان هذه المفاهيم متداخلة ومرتبطة مع بعضها.

اذا بدأنا اولا بالمالانهاية الصغرى فقد يبدو هذا المصطح مفاجئا وذو صياغة غريبة. وقد يظهر سؤال: هل هناك مالانهاية صغرى ومالانهاية كبرى؟ وماهو الفارق بين الاثنين؟

في الحقيقة ان موضوع المالانهاية الصغرى كان من اهم واشهر المواضيع الرياضية في الماضي. وقد كان هذا الموضوع في غاية الصعوبة وكان يشكل صخرة عنيدة اصطدمت بها رئوس الدارسين. والفارق بين المالانهاية الكبرى والصغرى كبير. فالمالانهاية الكبرى هى المالانهاية اللتى يعرفها اليوم تلاميذ المدارس وطلاب الجامعات فهى تمثل الحد الاعلى للاعداد. واى رقم كبير يمكن للانسان ان يتخيله او يفكر فيه فان المالانهاية الكبرى اكبر منه وتتخطاه. فمثلا العدد مليار مليار تريليون قد يبدو كبيرا ولكنه لايقارن بالمالانهاية الكبرى فهى مازالت اكبر منه بكثير.

واذا تخيلنا ان هناك حصان يركبه فارس يحمل فى يده عصا طويلة وتتدلى من تلك العصا جزرة. ويتحرك الحصان على طول خط الاعداد في اتجاه اليمين محاولا الوصول الى تلك الجزرة. فاننا نعلم ان الحصان لن يمكنه ابدا الوصول الى الجزرة مهما سار ومهما كانت سرعته. وتمثل الجزرة هنا المالانهاية الكبري. واذا تحرك الحصان باتجاه اليسار فانه لن يحصل على الجزرة وتمثل الجزرة في هذه الحالب سالب مالانهاية. لكن الان ما هى المالانهاية الصغرى؟

اذا عدلنا في المثال السابق فكانت الجزرة معلقة فى حبل . والجزرة تعلو رأس الحصان بمسافة ما. بحيث لايستطيع فم  الحصان ان يصل اليها. اما الحصان نفسه فهو مربوط في ساقية او ناعورة ويمكنه فقط الدوران حول نفسه. وكلما دار الحصان دورة كاملة كلما قلت المسافة بين الحصان والجزرة بمقدارالنصف. اذن فالمسافة تقل دائما باستمرار ولكنها لن تصبح ابدا صفرا. ومرة اخرى فلن يستطيع الحصان التهام الجزرة. وتمثل الجزرة في هذه الحالة المالانهاية الصغرى. وفي الحقيقة فان تعبير المالانهاية فى غاية الدقة. فهو يوضح ان خط الاعداد الحقيقية الموجبة لا حد له. فليست له بداية و لا نهاية. ويجب ان نلاحظ ان الصفر عدد غير موجب. فما هوأول او أصغر عدد حقيفى موجب اذن؟ لايوجد! انه المالانهاية الصغرى. وماهو اكبر عدد حقيقي موجب؟ مرة اخرى لايوجد فهو المالانهاية الكبرى.

ومما سبق ندرك ان المتوالية 1 و 1/2 و 1/4 و 1/8 و 1/16 الى اخره ليس لها نهاية وانها تتجه باتجاه المالانهاية الصغرى اللتى تلاصق الصفر تماما. وعمليا يمكننا القول ان المالانهاية الصغرى تئول الى الصفر وان المتوالية السابقة تئول الى الصفر.

ومن السهولة ان ندرك اهمية الدور اللذى لعبه تصور المالانهاية الصغرى في حساب التفاضل. وكان اول من فطن الى هذا الالمانى لايبنتس. وقال من ضمن ما قال اننا اذا تخيلنا قوسا ما  فاننا يمكننا تخيله على انه سلسلة من الاقواس الصغيرة المتلاصقة . واذا حاولنا ان نصغر هذه الاقواس  الى مالانهاية  فان  القوس الصغير سيئول الى خط مستقيم وتحديد الى مماس للقوس.  وهذا التصور هو تطوير لاقكار ارشميدس اللذى قال ان الدائرة يمكن تخيلها على انها مضلع لانهائى الاضلاع!! طول الضلع فيه المالانهاية الصغرى !!

ولكن المانيا اخر عاش فى القرن التاسع عشر وهو فايرشتراس كان المسئول عن اختفاء اسم المالانهاية الصغرى من عالم الرياضيات المعاصرة اليوم. وفايرشتراس له فضل كبير فى الوصول الى الصورة الرياضية النهائية اللتى نستخدمها اليوم في ميادين الجبر وحساب التفاضل. فقد اختفى هذا التعبير من الرياضيات لحسن حظ التلاميذ. ولكنه بقى متداولا لدي المهتمين بداراسة تاريخ الرياضيات و الفلسفة.

ويمكننا الان ان ندرك بسهولة مدى ارتباط النقطة الثانية في عنوان اليوم بالنقطة الاولى. او مدي ارتباط مفارقة زينون بالمالانهاية الصغرى. واعتقد ان العلاقة الان واضحة: فالمتوالية اللتى تعبر عن المسافة اللتى تفصل السلحفاة عن اخيل كانت: 1و 1/2 و 1/4 و 1/8 الى اخره و هى نفس المتوالية اللتى ظهرت فى موضوع المالانهاية الصغرى.

لكن صورة اخيل والسلحفاة ليست هى الصورة الوحيدة لمفارقة زينون. بل هناك اكثر من صورة توضح دور المالانهاية الصغرى بشكل مشابه . ومن امثلة هذه الصور المختلفة صورة السهم المنطلق او صورة العداء.

تقول صورة السهم المنطلق: اننا اذا تخيلنا سهما منطلقا في الفضاء فان بامكاننا تخيل لحظات الزمن المتتالية على انها نقاط لانهائية متلاصقة ويكون السهم في كل لحظة من تلك اللحظات ثابتا في مكانه لايتحرك. لانه في كل لحظة يكون الزمن المنصرم صفر او مالانهاية صغرى. وهنا يظهر التساؤل كيف تنشأ الحركة اذن اذا كان السهم ثابتا عبر جميع اللحظات؟

الصورة الاخرى وهي صورة العداء وتقول ان عداء يريد ان يقطع مسافة ما عدوا. لكنه لن يستطيع ذلك لانه لن يجد نقطة البداية. فهو قبل ان يقطع المسافة كاملة عليه ان يقطع نصف المسافة اولا وقبل ان يقطع نصف المسافة عليه ان يقطع ربع المسافة اولا ولكي يقطع ربع المسافة عليه ان يقطع ثمن المسافة اولا. ولكن قبل اى مسافة فهناك مسافة تسبقها. لكن ما  هى اول مسافة  يجب على العداء قطعها؟ انها المالانهاية الصغرى.ولكننا كما نعلم فان العداء لن يصل ابدا اليها.

الان نصل الى الذريين وهم اتباع الاغريقى ديموقريط اللذى نفى وجود المالانهاية الصغري وقال بوجود نهاية صغرى اسماها الذرة. وكانت فكرة ديموقريط تجيب عن السؤال التالى اذا كان لدينا خيطا وقصصناه الى نصفين . ثم اخذنا احد النصفين وقمنا بقصه الى نصفين. فهل نستطيع ان نكرر هذه العملية الى مالانهاية. وكانت اجابة ديموقريط لا. فاننا يمكنا ان نجرى عملية القص حتى نصل الى ذرة واحدة. وسستنتهى عملية التقسيم لان الذرة غير قابلة للتقسيم. ونلاحظ ان كلمة atom هى مشتقة من الكلمة الاغريقية atomos ومعناها غير قابل للتقسيم.

وكانت فكرة الذريين تشكل حلا لمفارقة زينون فقد نفى الذريون وجود المالانهاية الصغرى. وعليه فان المسافة بين اخيل والسلحفاة ستأخذ في الضيق حتى تصل الى طول ذرة واحدة. وهنا لن يمكننا تقسيم المسافة اكثرمن ذلك. فيقوم اخيل بتخطى تلك المسافة بينما لاتستطيع السلحفاة عمل ذلك لان اخيل اسرع من السلحفاة.

و بالمناسبة فان هناك من العلماء المعاصرين من يقول مثلما ماقاله الذريون. ولا اعنى بذلك ان الذرة غير قابلة للتقسيم. فالكل يعلم اليوم ان الذرة يمكن تقسيمها الى مكونات اصغر منها. فالذرة تحتوى على الكترونات ونواة. والنواة بدورها تحتوى على بروتونات ونيترونات . و البروتونات والينترونات تتكونان من مكونات اصغر. لكن ما يقوله بعض الفيزيائيين ويتوافق مع طرح الذريين القدماء ان هناك طول يسمى طول بلانك وهو اصغر طول ممكن وجوده في الطبيعة ولايمكن ان توجد مسافة اقل من ذلك.  وان الصفر ليس له وجود في الفيزياء. ونظرية الاوتار الفائقة تمثل تجسيدا لوجهة النظر هذه.

لكن دعونا من الحاضر ودعونا نبقى في الماضى لنرى كيف تطورت الامور بعد ذلك. فقد استبعد الذريون المالانهاية الصعرى والصفر ولكنهم قالوا بوجود الفراغ. فقالوا ان سبب الحركة هى حركة الذرات المكونة للمادة في الفراغ. وانه لو كان الكون مملوء فقط بالمادة ولم يحتو على الفراغ فان الحركة ستصير مستحيلة لان المادة سوف تضغط فقط على المادة المجاورة لها ولكن لن تحدث نتيجة لذلك اي حركة.

ولكن بقت مشكلة الذريين الكبرى انهم عارضوا افكار ارسطو. وارسطو كان اسما كبيرا وقامة شامخة. ثم اصبحت المشكلة اكبر عندما تبنت الكنيسة افكار ارسطو فاصبحت افكار الذريين هرطقة وكفر تهدف الى انكار وجود الله. واصدرت الكنسية تعليمات بتحريم تدريس افكار الذريين. وتمت عمل مكيدة للذريين فى فرنسا الكاثوليكية وتم القبض عليهم ونفيهم جميعا خارج البلاد وجعل عقوبة تدريس مثل تلك الافكار والنظريات الاعدام. ويعتبر الرياضى الفرنسى ديكارت من اشهر المحسوبين على الذريين ولكن شهرة ديكارت لم تحمه ففد صدر قرار بحرق كتبه ووضعها على لائحة الكتب الممنوعة. لكن ديكارت لم يعش فى فرنسا كثيرا وقضى معظم سنين حياته في هولندا البروتاستينية. ومن هنا نرى ان افكار الذريين كانت في غاية الخطورة وكانت تعرض حياة صاحبها ومعتنقيها للخطر!!

شكلت مفارقة زينون صداعا هائلا للاغريق. فهى شككت في سلامة وصلابة القواعد الرياضية اللتى طالما كان الاغريق يفتخرون بها. وحاول الاغريق بكل طاقتهم وبأقصى سرعة ان يجدوا حلا لهذه المفارقة. ونظر الاغريق اولا الى حيث اشار زينون نفسه. وادركوا ان المشكلة تكمن في التقسيم اللانهائى للاشياء. وادركوا ان المشكلة تنبع من العددين : صفر ومالانهاية ومن خصائصهم الغريبة.

وهنا تقدم ارسطو بحل لمشكلة زينون. ولاقى هذا الحل قبولا واسعا لدى الاغريق بالرغم من ان هذا الحل لم يكن صحيحا. وكان حل ارسطو يتلخص في انكار الصفر والمالانهاية انكارا قاطعا. وقال ارسطو ان المالانهاية موجودة فقط في عقول الرياضيين وفي تخيلاتهم. ولكنها لاتوجد في  الواقع. وكان بهذا يخالف افكار استاذه افلاطون صاحب نظرية عالم الافكار واللذى كان يدعو الى ان الحقيقة الاصيلة تكمن في العقل بغض النظر ان ايدت التجربة والواقع هذه الرؤية ام لا. وقال ارسطو ان المالانهاية موجودة بالقدرة فقط ولكن ليس بالواقع. بمعنى انها موجودة فقط في قريحة الانسان  ولكنها غير موجودة حقيقة. وان الله لو اراد ان يخلقها لخلقها ولكنه لم يخلقها. ولكن خلق صورتها فقط في عقول الرياضيين والمتأملين. ولذلك فان اخيل في مفارقة زينون سوف يسبق السلحفاة لان هذا التقسيم اللانهائى اللذى تحدث زينون عنه ليس موجودا في الواقع.

ثم استطرد ارسطو وقدم تصورا لشكل الكون خالى من الصفر والمالانهاية. فقال ارسطو ان الكون محدود ونهائى. و الارض عبارة عن كرة ثابتة تقع في مركز الكون تدور حولها 7 كريات سماوية هائلة. يقع القمر في الكرة الاولى والشمس في الثانية ثم الكواكب الاربعة المعرفة في ذلك الوقت فى الاربع كريات التالية. ثم توجد النجوم الثابتة في الكرة السابعة و الاخيرة.

ومن هنا نرى حرص ارسطو على تصوير الكون على انه محدود. فالكرات السماوية اللتى تدور حول الارض عددها 7 فقط. وقد طور بطليموس الاسكندري تصور ارسطو. فاصبح تصور ارسطو- بطليموس هو التصورالعلمى الرسمى لشكل الكون. واستمر هذا التصور قرابة الفى سنة حتى مجيئ كوبرنيكوس.

وقال ارسطو ان الكون ليس فارغا  ولكنه مملوء بالمادة. وانكر ارسطو وجود الفراغ و العدم بالمرة. كما انه انكر وجود العدد صفر اللذي يعبر عن الفراغ و العدم. لكن لماذا رفض ارسطو الفراغ؟

في الحقيقة ان وجود الفراغ يثبت وجود المالانهاية! لاننا اذا افترضنا وجود فراغ فى هذا الكون فان هناك احتمالان لهذا الفراغ. الاول ان يكون الفراغ لانهائى وبهذا نكون قد اثبتنا وجود المالانهاية او يكون الفراغ محدود. لكن ان معنى الفراغ اساسا هو الخلو من المادة. فاذا كان الفراغ محدودا لكانت المادة لانهائية!! ولذلك انكر ارسطو وجود الفراغ وقال انه كالمالانهاية شئ من انتاج عقل الانسان وتخيله ولكنه غير موجود حقيقة في الطبيعة!!

ولكن مع ذلك كان تصور ارسطو يشوبه تناقض اخر.  وهو يتعلق بالسؤال: هل لهذا الكون بداية في الزمان؟ بمعنى هل كانت هناك لحظة خلق لهذا الكون؟ فاذا كانت الاجابة بنعم فهنا سوف يظهر السؤال: وماذا كان موجودا قبل خلق الكون؟اليس هو العدم والخواء؟! اذن فان العدم و الخواء اشياء حقيقية ولانهائية!! والاحتمال الاخر انه لا توجد لحظة لخلق هذا الكون بل ان الكون كان موجودا دائما وبالتالى فانه سيبقى ايضا في المستقبل موجودا ابدا. اذن فالكون ازلي ابدي. وهنا تظهر المالانهاية مرة اخرى!

ولم يكن هناك حل لهذه المعضلة فاختار ارسطو الاختيار الثاني. وهو ان الكون كان دائما موجودا وسيبقى كذلك. فالكون ازلي سرمدي. ورفض ارسطو تصور الخواء والعدم وبالتبعية العدد صفر فكانت كل هذه الاشياء تثير الاشمئزاز فى نفسه. ولكن ارسطو استطرد قائلا: صحيح ان الكون يبدو لانهائيا ازليا سرمديا. لكن مرة  اخرى فان هذا التصور من بنات عقل الانسان. اما في الحقيقة فان الكون محدود في عمره! وحجج ارسطو هي كما نرى دجل علمي . فعند ظهور اي مفارقة او شئ يناقض ما يدعيه كانت اجابته دائما ان هذه مجرد تصورات وارهاصات العقل ولكن الحقيقة شئ اخر. لكن معاصري ارسطو وعلماء زمانه و الازمنة اللاحقة تقبلوا كلامه. بل يمكننا ان نقول انهم قدسوا كلامه وجعلوه قاعدة لايمكن كسرها.

ولم يكن السبب العلمى هو الدافع الوحيد لتقبل تصورات ارسطو. بل كان هناك عامل اخر اكثر اهمية. وهو العامل الدينى. فتصور ارسطو كان يعتبر برهانا على وجود الله. ففى نموذج الكرات السماوية اللتى تدور حول الارض ظهر سؤال: ماهو سبب دوران هذا الكرات السماوية؟ فالارض نفسها لايمكن ان تكون سبب حركة تلك الكرات لان الارض نفسها ثابتة لاتتحرك. ولكن ارسطو فسر سبب دوان الكرة الداخلية الاولى على انه يعود الى دوران الكرة الداخلية الثانية. وبالمثل فان دوران الكرة الداخيلة الثانية يعود الى دوران الكرة الداخلية الثالثة. وهكذا حتى نصل الى الكرة الخارجية الاخيرة فماهو سبب دورانها؟ كانت اجابة الارسطويين انه الله مسبب حركة الكرة السابعة اللتى تحتوي على النجوم الثابتة وبالتبعية حركة باقى الكرات السماوية.

وتبنى الاغريق تصور ارسطو. ومن بعد الاغريق تبناه الاوروبيون والكنيسة الغربية. واعتبروا ان هذه النظرية جزء من الدين. واى تصور اخر للكون او حتى اى حل اخر لمفارقة زينون هو انكار لوجود الله! وانه حق يراد به باطل. وان التصورات العلمية المخالفة لرأى ارسطو هى كفر صريح أو هرطقات في احسن الاحوال. وكان هذا امرا خطيرا. فربط العلم بتصور معين للدين كان ثمنه غاليا جدا. فقد جعل الاوروبيون يتوقفون عن التقدم وتجمدت حضارتهم في مكانها و تراجعت. و انتقلت شعلة العلم الى مكان اخر. الى الشرق حيث يعيش الهنود وفى البلاد اللتى ظهرت فيها الحضارة الاسلامية بعد ذلك. لكن كانت هذه قصة اخرى.

ولد زينون في القرن الخامس قبل الميلاد. وهو كان ينتمى الى تلك الفئة من الفلاسفة الاغريق المشهورين  ولكنهم في نفس الوقت المنفور منهم والمغضوب عليهم. فقد كانت فلسفته تشكل خطرا كبيرا على التيار الفكرى والفلسفى السائد لدى الاغريق. و يمكننا القول ان فلسفة زينون كانت تزدري الفلسفات الاخرى وتضربها في مقتل.

وكان زينون ينتمى الى مدرسة الفيلسوف بارمينيدس اللذي كان يؤمن بوحدة الكون والوجود ويرفض فكرة التعددية ولذلك فقد انكر بارمينيدس التغير والحركة وقال ان كل ما نلحظه من هذا الشأن ماهو الا مجرد خداع حواس و لاشئ اكثر من ذلك. وقد سخر معظم فلاسفة الاغريق من فلسفة بارمينيدس وقالوا انها تناقض الواقع القائم ووجدوا العديد من المفارقات اللتى تضرب افكار بارمينيدس في مقتل. وهنا قرر زينون ان يدافع عن افكار استاذه وقال بل ان فلسفة الاخرين ضعيفة وتحتوى على متناقضات ومفارقات قاتلة. ومن اجل هذا وضع زينون مفارقة اليوم. ولم يكن الهدف بالنسبة لزينون من مفارقة اليوم ان يجد حلا لها. بل كان هدفه ان يصيب الفلاسفة الاخرين بالربكة وان يضربهم في مقتل وان يزعزع ثقتهم المغرورة في انفسهم وفي فلسفتهم ويوضح لهم ان منهج بارميندس ليس سخيفا او اقل حكمة من افكارهم   بل افضل منها جميعا. ويعتبر زينون استاذا المجادلة الاول اللذي طور هذا الفن في المحاججة. و تعرف تلك النوعية من البراهين اللتى يبدأ الانسان فيها بفرض صحة ما يريد ان ينفيه  ثم يصل في النهاية الى نتائج مستحيلة ومتناقضة بالبرهان الغير مباشر او البرهان المعكوس.

ومفارقة زينون ليست مفارقة واحدة ولكنها على الاقل 9 مفارقات مختلفة منها مقارنة اخيل والسلحفاة و مفارقة السهم المنطلق و مفارقة العداء. ولكن جميع هذه المفارقات تشترك فى نقطة اساسية وهي تعتبر محور تلك المفارقات جميعا وهى تقسيم المكان او الزمان الى عدد لانهائى من الاقسام الصغيرة او اللحظات او النقاط . ثم اجراء عملية جمع عبر هذه النقاط اللا نهائية. وسنقوم اليوم بالتعرف على احدي هذه المفارقات وهي مفارقة اخيل والسلحفاة.

تقول المفارقة ان اخيل اشترك مع السلحفاة في مسابقة للعدو. وكانت سرعة اخيل 1متر في الثانية بينما سرعة السلحفاة هي 0.5 متر في الثانية. وفى بداية السباق كانت السلحفاة تسبق اخيل بمتر كامل. وابتدأ اخيل والسلحفاة العدو في نفس اللحظة. وهنا يطرح زينون سؤالا هل سيتخطى اخيل السلحفاة؟ والاجابة اللتى يعرفها كل انسان هى طبعا نعم.فاخيل اسرع من السلحفاة. صحيح انه ابتدأ من نقطة تتأخر عن السلحفاة بمتر كامل  لكن فارق السرعة لصالحه سوف يعوض هذا التأخر لاحقا. لكن زينون اثبت انه على الجانب الااخر فانه من المستحيل ان يلحق اخيل بالسلحفاة ناهيك على ان يتخطاها.!!

وهكذا  كانت حجة زينون: اذا كانت المسافة بين اخيل والسلحفاة هي 1 متر في البداية . فكم من الوقت يحتاج اخيل حتى يصل الى موضع السلحفاة اللتى يراها فيه في بداية السباق؟ الاجابة سهلة: حيث ان اخيل يعدو بسرعة 1 متر في الثانية فهو سوف يحتاج الى ثانية كاملة. لكن في خلال هذه الثانية فان السلحفاة لن تبقى ثابتة ولكنها سوف تكون قد تحركت مسافة نصف متر الى الامام. اذن الان وبعد ثانية من بداية السباق فسوف يجد اخيل ان السلحفاة مازالت تسبقه بمسافة نصف متر.صحيح ان المسافة قلت عن البداية ولكنها مازالت تسبقه. الان كم من الزمن يحتاج اخيل حتى يصل الى موضع السلحفاة حيث يراها؟ الاجابة سهلة انه سوف يحتاج الىى نصف ثانية. لكن كما سبق بعد مرور النصف ثانية هذه سوف يجد ان السلحفاة مازالت تسبقه بربع متر. الان  سيقطع اخيل هذه المسافة  فى ربع ثانية ليجد السلحفاة تسبقه بثمن متر. وهكذا فسوف تستمر هذه العملية الى مالانهاية. اذن لكي يلحق اخيل بالسلحفاة يجب ان تمضى ثانية ثم نصف ثانية ثم ربع ثانية ثم ثمن ثانية وهكذا الى مالانهاية. وهنا سأل زينون ما هو نتيجة جمع عدد لانهائى من القيم الصغيرة؟ وكانت الاجابة عند الاغريق انه ولاشك عدد كبير جدا فكما ان المحيط الهائل يتكون من تراكم قطرات ماء تافهة وكما ان طريق الالف ميل يبدأ بخطوة. اذن فان اخيل سوف  يحتاج الى مالانهاية من الزمن حتى يلحق بالسلحفاة ناهيك على ان يتخطاها!

وكانت هذه النتيجة صدمة بالنسبة للاغريق. فقد كان البرهان في حد ذاته صحيحا ومنطقيا حسب علم الاغريق ولكنهم كانوا مع ذلك يعلمون ان هذه النتيجة مستحيلة. اذن اين يكمن الخطأ؟ اتكمن في فلسفتهم كلها اللتى كانوا يعتقدون انها في غاية المنطقية و الحكمة؟!

كانت مفارقة زينون مرعبة ومدمرة.بقت هذه المفارقة قائمة عبر الفى سنة تقريبا ولم يستطع احد حلها بشكل سليم ومرضى.ولكن رياضيات اليوم وجدت حلا لهذه المشكلة. فمشكلة الاغريق كانت تكمن فى انهم لم يعرفوا 3 مفاهيم اساسية نعرفها نحن اليوم. هذه المفاهيم هي العددين صفر ومالانهاية بالاضافة الى حساب النهايات.

تعرف الرياضيات شيئا تسميه المتواليات وتقول ان سلسلة الاعداد 1 ونصف وربع وثمن الى اخره تعبر عن متوالية كل عنصر فيها هو نصف العنصر اللذي يسبقه. وهذه المتوالية تصغر عناصرها وتقل باستمرار. وتقول الرياضيات ان لهذه المتوالية نهاية تسعى اليها. وانه بعد عدد لانهائي من الخطوات ستئول قيمة هذه المتوالية الى صفر.وهنا نري المفاهيم الثلاثة المذكورة اعلاه .ونرى ان المالانهاية والصفر هما شيئان متلازمان دائما. لكن الاغريق وكما نعلم قد رفضوا الصفر تماما وكذلك قد رفضوا ان هناك  عدد يحمل القيمة مالانهاية.

وتستطرد الرياضيات وتقول ان مجموع الاعداد 1 ونصف وربع وثمن الى اخره تعطى في النهاية النتيجة 2 تماما!! ويسمى مجموع عناصر متوالية بمتسلسلة وتقول الرياضيات ان ناتج جمع  متسلسلة لانهائية ليس بالضرورة مالانهاية.بل قد يكون رقما صغير كما فى حالتنا الان حيث ان المجموع يعطى 2.

ويكننا برهان هذه النتيجة باكثر من وسيلة منها طريقة الطرح. وهى تقول باننا سوف نطرح عناصر هذه المتسلسلة من العدد 2 الواحد بعد الاخر.

اذا طرحنا 1 من 2 سيكون الباقى 1
اذا طرحنا نصف من 1 سيكون الباقى نصف
اذا طرحنا ربع من نصف سيكون الباقى ربع
اذا طرحنا ثمن من ربع سيكون الباقى ثمن
……..
وهكذا بعد كل عملية طرح يكون الباقى هو نفس العدد التالى في المتوالية. ونعلم مما سبق ان لهذه المتوالية نهاية تئول اليها وهي الصفر فاذا طرحنا صفر من المتبقى فسيكون الباقى صفر. وبهذا تكون عملية الطرح اننتهت .

وهناك برهان اخر يحمل صورة اكثر رياضية وهو كالتالى. اذا فرضنا ان نتيجة جمع هذه المتسلسلسة هي القيمة s

s=1 +1/2 +1/4+1/8+ 1/16 + …..1/2^n………….1
فاذا قسمنا المعادلة السابقة على 2 نحصل على
s/2= 1/2+ 1/4+ 1/8+ 1/16+1/32+……1/2^n…….2
الان اذا طرحنا المعادلة 1 ناقص المعادلة 2 نحصل على الاتى
s/2= 1
ومنها ان s تساوي 2!

تتشابه نهاية زينون مع نهاية فيثاغورث فى ان كلاهما قد مات مقتولا. فقد كان لزينون نشاطا سياسيا وكان حاكم مدينته ديكتاتورا و طاغية. وكان زينون يهدف الى اسقاطه ويتأمر عليه. وتم القبض على زينون حينما كان يحاول تهريب اسلحة للمعارضين. وتعرض زينون للتعذيب الشديد حتى بيوح باسماء رفاقه في المؤامرة ولكنه رفض. ولكنه اخير وتحت وطأة التعذيب رضخ وقال انه سيبوح باسماء شركاءه. ولكنه لن يبوح بها الا للحاكم نفسه لانه لا يريد ان يعرف احد بهذه الاسماء سوي الحاكم. وبالفعل يأتى الحاكم اليه ويطلب اليه زينون ان يقترب منه حتى يهمس له بالاسماء في اذنه. وماكاد الرجل ان يفعل حتى انقض زينون على اذن الحاكم وعضها ولم يتركها ابدا حتى قتله حراس ليخلصوا سيدهم من فك زينون واسنانه!!

من هنا نرى ان غياب الصفر عند الاغريق وعند الاوربيين من بعد ذلك قد سبب لهم مشاكل كثيرة. وقد حاول الاغريق حل مفارقة زينون بوسائل متعددة.ولم تكن هذه  الوسائل صحيحة تماما ولكنها كانت مع ذلك مهمة لانها حملت تأثيرا مهما على تطور الرياضيات عبر الزمن!!

يعد فيثاغورث من اهم الفلاسفة اليونانيين. فهو كان معدودا من حكماء الاغريق السبعة اللذين علا نجمهم قبل العصر السقراطى. وبالاضافة الى ذلك فقد كان رياضيا فذا و فيزيائيا مقتدرا وموسيقيا رائدا اكتشف السلم الموسيقي. كما انه كان سياسيا مخضرما خاض معارك سياسية مثيرة بل انه قام بكتابة دستورا لليونانيين القاطنين في ايطاليا. وبالاضافة لذلك فقد اسس مدرسة علمية كانت الاشهر و الاحسن في زمانها.

مع ذلك تبقى جوانب كثيرة فى حياة فيثاغورث والفيثاغورثيين غير معروفة ولكنها مؤثرة. صحيح انها اقل شهرة ولكنها اكثر اثارة وغرابة. وهذه الجوانب هي موضوع اليوم.

فيثاغورث كان يؤمن بتناسخ الارواح وعلى المستوى الشخصى كان يعتقد بان روح البطل الطروادي اويفروبوس قد حلت فيه. ولذلك فقد كان نباتيا متزمتا. فقد كان يعتقد بان الارواح تسكن حتى اجساد الحيوانات. لكن الامر الغير مفهوم هو تحريمه وكرهه الغريب  لخضار معين وهو: اللوبيا. فقد كان يأمر تلاميذه باجتنابها ويقول انها تسبب الانتفاخ و تثير الاشمئزاز لانها تشبه الاعضاء التناسلية. وكان فيثاغورث ينهى اتباعه عن لبس الصوف وينصحهم بان يقربوا زوجاتهم في الشتاء و أن يعتزلوهن في الصيف.

وكان للفيثاغورثيين نوعان من المحاضرات: محاضرات علنية متاحة للجميع الهدف منها تثقيف الشعب وتحبيبه في الرياضيات والعلوم وتقريب المواضيع العلمية للناس. والنوع الثانى من المحاضرات كانت محاضرات سرية لا يحضرها سوي تلاميذ مدرسة فيثاغورث وكلهم قد اقسموا الا يبوحوا ابدا بمضمون تلك المحاضرات ويجب ان يبقوها سرا في طى الكتمان.

جذر 2

وموضوع اليوم يتعلق باحد هذه المواضيع السرية وهو خاص بالاعداد الغير نسبية. وللتذكرة فقد رفض الفيثاغورثيون الاعداد الغير نسبية واطلقوا عليها اسم الاعداد البلهاء او الاعداد الغير منطقية وهذا هو الترجمة الحرفية لكلمة irrational numbers . وقالوا ان هذه الاعداد غير موجودة في الكون البتة. ولكن المفاجاءة  ان اكتشف الفيثاغورثيون ان هذه الاعداد الغير نسبية موجودة في الطبيعة بوفرة رهييبة. بل ولهول المفارقة فان القانون المرتبط اسمه باسم معلمهم اي قانون فيثاغورث ليس الا اداة رهيبة  لانتاج تلك الاعداد الغير نسبية. و لتوضيح ذلك يقول قانون فيثاغورث ان مربع وتر الزاوية القائمة يساوي مجموع مربعى ضلعى الزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوية. فالأن اذا تخيلنا ان هناك مثلثا قائم الزاوية طولا ضلعى زاويته القائمة 1 متر  اذن فسيكون مربع الوتر يساوي مربع العدد واحد وهو طول الضلع الاول زائد مربع العدد واحد وهو طول الضلع الثانى.  فيساوى مربع  الوتر في النهاية 2. ومن هنا يكون طول الوتر نفسه جذر 2. الى هنا لا توجد اى مشكلة. لكن كيف يمكننا ان نعبر عن العدد جذر 2 في صورة عدد نسبي؟ هل نعبر عنه مثلا في صورة العدد 7/5 ؟ في الحقيقة هذه القيمة تقريب جيد وتساوى 1.4 ولكنه غير كافى تماما حيث ان مربع 1.4 يساوي 1.96 . اى ان قيمة جذر 2 اكبر من ذلك.

دعونا الان نفكر كما كان الاغريق يفكرون: لو اننا تخيلنا مسطرة صغيرة او قضيب قياس طوله يساوي 20 سم او خمس متر فانه سوف ينطبق 5 مرات تماما على كلا من ضلعى الزاوية القائمة السابق ذكرهما . ولكنه في المقابل سوف ينطبق 7 مرات على الوتر وسيبقى جزء متبقى طوله اقل من 20 سم فلا يمكننا ان نغطيه بقضيب القياس بالكامل مرة اخرى. اذن فانه فلا يمكننا تطبيق  قضيب القياس على الوتر عدد صحيح من المرات.

توقع الاغريق انه لابد وان يوجد قضيب قياس اخر ذو طول مختلف مثلا 10 سم او 13سم  او اي طول اخر بحيث ينطبق عدد صحيح من المرات على كل من ضلعى الزاوية القائمة ووترها. ولكن المفاجاءة كانت تكمن في ان الفيثاغورثيين قد اكتشفوا ان قضيب قياس كهذا غير موجود ولا يمكن ان يكون موجودا ابدا وحصلوا على برهان رياضى لهذا. وللمهتمين بمعرفة برهان لماذا جذر 2 عدد غير نسبى يمكنهم مرجعة ذلك الرابط.

ولان هذه النقطة في غاية الاهمية دعونا نستفيض فيها قليلا: اذا تخيلنا ان لدينا خطا طوله 3 متر وان لدينا قضيب  قياس طوله 1 متر. فقضيب القياس سوف ينطبق على هذا الخط 3 مرات تماما وبامكاننا ان نقيس ذلك الخط بكل دقة. ماذا الان لو كان طول الخط هو 1.25 متر؟ بالطبع قضيب القياس السابق لن يفى بالغرض لانه لن ينطبق عدد صحيح من المرات على الخط ولكننا باستخدام قضيب قياس اخر اقصر طوله مثلا 25 سم فسوف نستطيع قياس الخط السابق. فسوف ينطبق 5 مرات تماما. اذا ماذا لو كان طول الخط 17 سم؟ مرة اخري قضيب القياس السابق لن يفى بالغرض لكن ربما قضيب قياس طوله 1 سم فسوف يستطيع ذلك. وهكذا فمن حيث المبدأ لقياس اى طول ما فما علينا الا اختيار قضيب قياس ذو طول قصير امتر او اسم او امم لايهم فلابد وان ينطبق في النهاية  على الخط المطلوب قياسه عدد صحيح من المرات. لكن المفاجأءة ان اكتشف الفيثاغورثيون ان خط طوله جذر 2 متر لن يستطيعوا ان يجدوا اى قضيب قياس ذي ايى طول لكى ينطبق على هذا الخط عدد صحيح من المرات. فحتى لو كان طول هذا القضيب اقل من قطر ذرة فلن ينطبق على المسافة المذكورة عدد صحيح من المرات. وكان هذا التصور بالنسبة للفيثاغورثيين امرا مجنونا ولذلك اطلقوا على هذه الاعداد الاعداد الغير منطقية وانكروا وجودها.

اذن فالمصيبة اللتى حلت بالفيثاغورثيين انهم ادركوا بما لا يدع مجالا للشك ان جذر 2 عدد غير نسبى. وبينما هم يبحثون عن مخرج لهذه الورطة اللتى تعصف بفلسفتهم بالكامل لم يستطع احد التلاميذ كتمان السر وهو هيباسوس وهو الرياضى المقصود في العنوان فافشى هذا السر في المدينة وصارت فضيحة الفيثاغورثيين مشهورة وعرف بامر ورطتهم كل انسان.

وتمت عقد محاكمة سريعة ليهباسوس من قبل زملاؤه واخوانه في مدرسة فيثاغورث ولم يجدوا سوى عقوبة واحدة له: وهى الاعدام. واختلفت الروايات في طريقة تنفيذ حكم الاعدام. فبعض الروايات تقول بانه تم حمله في قارب وسط البحر ثم القاؤه هناك ليموت غرقا. ورواية اخري تقول بانه تم اعدامه عند الشاطئ عن طريق اجباره بان يتجرع كأس سم. ورواية ثالثة تقول بانه تم حبسه في مكان لا يصل اليه بشر حتى مات هناك.

اما فيثاغورث نفسه فقد لقى هو ايضا حتفه بطريقة غريبة. و لم يكن السبب في قتله الاعداد النسبية او الصفر بل شئ عجيب اخر. ونهاية فيثاغورث تشبه نهاية المتنبى الى حد كبير. فالمتنبى كان له خصوم كثيرون يتمنون قتله فقد كان هجاءا هاجم الكثيرين في شعره وجعلهم موضع تندر. وفي احد المرات تربص به خصومه لقتله ولكن المتنبى نجح في الفرار وهرب. وهنا قال له خادمه اللئيم : اتهرب يا سيدي؟! . الست انت القائل

الخيل والليل والبيداء تعرفنى
والسف والرمح والقرطاس والقلم

فشعر المتنبى بالحرج وعاد بعد ان كان قد نجى وقاتل فلقى مصرعه. ويعرف بيت الشعر هذا باسم البيت اللذي قتل صاحبه!!

اما قصة فيثاغورث تقول بانه كانت هناك جماعة تريد الالتحاق بمدرسة فيثاغورث لكنه سخر منهم ورفض قبولهم وقال لهم انهم غير جديرين بالانضمام الى مدرسته. فشعر هؤلاء  بالاهانة والغضب وقرروا الثأر لكرامتهم. فكادوا لفيثاغورث. ففي احد المرات حينما كان فيثاغورث مجتمعا مع تلاميذه في مكان ما حرق الكائدون البيت اللذي يوجد فيه فيثاغورث و تلاميذه   وانتظروهم خارج المبنى بالسيوف فمن نجى من الحريق قتلوه بالسيف.  وتقول الرواية بان فيثاغورث نجح في الهرب واطلق ساقيه للريح. لكن انتهى به الامر الى حقل لوبيا كان عليه ان يعبره لكي ينجى بحياته تماما. لكن فيثاغورث تذكر مبادئه و انه كان دائما يأمرتلاميذه باجتناب هذا الشئ . وكان عليه ان يقرر هل يخالف مبادئه وينجو بحياته. ام يحافظ عليها ويموت. وتجمد فيثاغورث في مكانه ولم يستطع عبور هذا الحقل فلحق به خصومه فقتلوه!!

وهكذا نري ان الطريق الى ظهور الاعداد الغير نسبية كان وعرا سالت فيه الدماء. لكن بعد ذلك تقبل الاغريق الاعداد الغير نسبية وذكر اقليدس برهان ان جذر 2 عدد غير نسبى وتمت الاشارة الى هذا البرهان اعلى. ولكن الصفر بقى منكرا. فقد كان من  السهل انكاره.  فبقى مرفوضا حتى حين!!

ارتبط الاغريق بالاعداد والاشكال الهندسية ارتباطا غير طبيعي يصل الى درجة التطرف. ويمكننا القول انهم قد حملوا الرياضيات والهندسة اكثر كثيرا مما تحتمل. وقد تداخلت عندهم الاعداد مع الاشكال و الحسابات مع الرسم. واختلطت عندهم الرياضيات بالفلسفة الى حد بعيد. وعلومنا الرياضية المعاصرة لازالت تحمل الكثير من تأثيرات تلك التصورات الاغريقية.

نحن نطلق اليوم على الاعداد 1 و 4 و 9 و 16 و 25 اسم الاعداد المربعة. وهذه الصفة اصولها اغريقية حيث تخيل الاغريق هذه الاعداد على انها مربعات اطوال اضلاعها: 1 او 2 او 3 او 4 او 5 فتكون مساحتها هى الارقام السابقة على الترتيب! وهنا نلاحظ وصف العدد بالتربيع وهو اسم لشكل هندسى وهو المربع. وكذلك عرف الاغريق الاعداد المثلثة: 1و 3 و6 و10 الى اخره. وهي تحمل هذه الصفة لاننا اذا رصصنا كرات في صفوف فوق بعضها بحيث يكون شكلها مثلثا سنحصل على الارقام السابقة. فصف واحد من الكرات سيحتوي على كرة واحدة في الرأس. اما صفين من الكرات فهو سيكون عبارة عن كرة في رأس المثلت تقف على كرتين فى الصف الذي يقع في اسفلها فيكون المجموع الكلى 3. اما في حالة 3 صفوف فسوف يحتوي الصف الثالت على 3 كرات ويكون المجموع الكلى 6. وفي حالة 4 صفوف سيكون المجموع الكلى 10 وهكذا.

ثم هناك مصطلح رياضى اخر في غاية الاهمية ويكشف عن الروح الفكرية اللتى كانت سائدة في عصر الاغريق. والمعنى الغريب لهذا المصطلح لايظهر كثيرا في اللغة العريبة لان المعرب كان في غاية الذكاء واختار ترجمة تناسب الوظيفة اكثر من الترجمة الحرفية المباشرة. وهذا المصطلح هو الاعداد النسبية او الاعداد الغير نسبية. والكلمة بالانجليزية هي rational numbers للاعداد النسبية و irrational numbers للاعداد الغير النسبية. وكلمة rational تعنى حكيم ومنطقى اما irrational فتعنى غبى ومأفون!! وتفسير هذا القدح والسب يرجع الى ان الفيثاغورثيين قد اعتبروا ان الاعداد هي اساس كل شئ في الكون وان النسب بين الاعداد البسيطة تنتج عنها علاقات جميلة و حكيمة تتناسب مع كوننا البديع الحكيم. ولذلك لايمكن تصور غير هذه الاعداد الحكيمة النسبية في كوننا. ورفضوا وجود اي اعداد اخرى رفضا قاطعا.

وسنحاول اليوم ان نتعرف على بعض هذه الاعداد والنسب الهامة عند الأغريق عموما والفيثاغورثيين خصوصا.

من الاعداد الهامة جدا عند الفيثاغورثيين العدد عشرة. فهو يتناسب اولا مع اساس النظام العشرى للاعداد اللذى استخدمه الاغريق . كما ان عشرة هي نتيجة جمع الاعداد الطبيعية الاربعة الاولى:1 و 2 و 3 و4. وقد كانت العشرة رقما مقدسا عندهم ولذلك لم يكن غريبا عندما وضع فيلولاوس وهو احد الفيثاغورثيين تصوره عن الكون على صوره عشرة اجرام سماوية تدور حول الشمس.

والعدد الاخر الهام هو عدد نسبة المقطع الذهبي او النسبة الالهية كما يطلق عليها البعض. وقد اعتبر الفيثاغورثيين هذه النسبة هي اجمل نسبة على الاطلاق وان فيها قدسية لا تتوفر في اى نسبة سواها. وسنتعرف على هذه النسبة بعد قليل بعدما ننتهى من التعرف على  الاشكال الهامة عند الاغريق.

اهم الاشكال الهندسية كانت الدائرة فهى تعبر عن الكمال. ولذلك تخيل ارسطو ان كل الكواكب تدور في مسارات دائرية حول الارض حيث كان في ذلك قمة الكمال بالنسبة له. كما كان المربع يحمل اهمية خاصة فكانت اضلاعه الاربعة ترمز الى العناصر الاساسية: الماء والنار و الارض و الريح. وشعار الفيثاغورثيين الخاص بهم كان المخمس المنتظم لما له من صفات بديعة وغريبة. ومن الطريف ان وزارة الدفاع الامريكية بنت مبناها على شكل مخمس منتظم او بنتاجون رمز الفيثاغورثيين المقدس  فاصبح اسم المخمس المنتظم يطلق على اسم وزارة الدفاع الامريكية واصبح يدل عليها!

المخمس بداخل المخمس

ولكن ماهي ابرز صفات المخمس المنتظم واللتى من اجلها اتخذ الفيثاغورثيون المخمس المنتظم رمزا لهم؟ اول شئ  اننا اذا وصلنا كل اركان المخمس المنتظم ببعضها سنحصل في قلب المخمس المنتظم على مخمس منتظم اخر مقلوب اصغر بداخل المخمس الاكبر. واذا وصلنا اركان المخمس الاصغر ببعضها سنحصل على مخمس جديد اصغر. ونستطيع ان نكرر هذه العملية الى مالانهاية لنحصل في كل مرة على مخمس جديد. وفي هذا اشارة الى الخلود والى التجديد المستمر. ولكن ليس هذا كل شئ في المخمس المنتظم. بل اننا عندما نوصل اركان المخمس المنتظم كما فعلنا سابقا فان الخطوط الناشئة تتقاطع و تقسم نفسها بنسبة هي النسبة الذهبية اللتى هي اجمل شئ في الكون واللتى هي موضوع اليوم.

المقطع الذهبي

ولكن ماهي النسبة الذهبية في حد ذاتها؟ النسبة الذهبية تساوي تقريبا 1.6180339887 وهي النسبة اللتى نحصل عليها حينما نقسم خط ما الى قسمين غير متساويين في الطول بحيت تكون نسبة طول القسم  الاكبر الى القسم الاصغر كنسبة الطول الكلى الى طول القسم الاكبر. وعندما تتوفر هذه النسبة في شكل ما فانها تكسبه تناسق وجمال. ولذلك حرص ويحرص الرسامون على مراعاة هذه النسبة في اعمالهم الفنية وكذلك النحاتون. بل المعماريون حرصوا على ذلك فمعبد البارثينون تم بناؤه بالكامل وفق هذه النسبة كما ان هرم خوفو الاكبر تقارب النسبة بين ابعاده هذه النسبة.

كما ان هذه النسبة توجد في الطبيعىة بشكل مذهل فتدور بعض الكواكب في مسارات نسبة بعضها الى بعض تساوي هذه النسبة الذهبية كما ان مسارات بعض الاقمار حول كواكبها تساوي نفس هذه النسبة. كما ان شكل بعض القواقع البحرية و شكل فاكهة الاناناس يحتوي على هذه النسبة. كما ان هذه النسبة تلعب دورا هاما في كتابة السيمفونيات الموسيقية.

حلزونة

كل هذه الاشياء وغيرها كانت تدعم وجهة نظر الاغريق والفيثاغورثيين في الاعداد وفي نسبة المقطع الذهبي. لكن وجهة النظر هذه كانت خاطئة تماما. فالاعداد الغير النسبية ليست وهما بل هي موجودة بكثرة بل هى اكثر بكثير من الاعداد النسبية! بل ولفرط المفاجأة فان نسبة المقطع الذهبي نفسها  هي نفسها عدد غير نسبى!! ونستطيع ان نبرهن ذلك رياضيا بكل سهولة:

اذا افترضنا ان هناك قضيبا ما طوله 1 متر ثم قمنا بتقسيمه الى قسمين غير متساويين و اذا افترضنا ان طول القسم الاكبر x فيكون طول القسم الاصغر واحد مطروح منه x . واذا افترضنا انه تم تقسيم هذا القضيب وفقا لنسبة المقطع الذهبى فيكون الطول  الكلى للقضيب وهو 1 متر بالنسبة للقسم الاكبر وهو x كنسبة القسم الاكبر x للقسم الاصغر المتبقي

x/(1-x) =1/x
ومنها نحصل على
x^2 = 1-x
x^2+x-1=0
وهذه معادلة من الدرجة الثانية لها حلان: الحل الاول سالب وهي قيمة مرفوضة لان الطول لايمكن ان يكون سالبا والقيمة الاخرى موجبة وهي تساوي -0.5 +sqrt(5)/2
او تقريبا 0.62 وبهذا تكون نسبة المقطع الذهبى 1 الى x او 0.5 +sqrt(5)/2
او تقريبا 1.62 وهو رقم غير نسبى لان جذر 5 هو رقم غير نسبى

كان الفيثاغورثيون انفسهم هم اول من ادرك حرج موقفهم وهم اول من تنبه الى هذه الازمة. ولكنهم تكتموا الامر في البداية وحاولوا ابقاءه سرا. ولكن كتمان خبر مثل هذا كان مستحيلا في امة تعشق الاعداد وتبحث عن خصائصها وغرائبها باي ثمن. فاضطر الفيثاغورثيون في النهاية للاعتراف بالاعداد الغير نسبية . ولكنهم اعتبروها مجرد استثناء لا يشكل قاعدة وانها مجرد ندبة صغيرة تحاول ان تشوه وجه الكون الجميل.

كان هذا الوضع بالنسبة للاعداد الغير نسبية اما بالنسبة للصفر فقد كان الموضوع مختلفا. فاخفاء الصفر وانكار وجوده كان امرا سهلا . فهو في النهاية عدد وحيد وليس له فائدة عملية مباشرة في ذلك الوقت. اما الاعداد الغير نسبية فاعدادها هائلة بل لا نهائية وفوائدها العملية لا حصر لها. وعدد نسبة المقطع الذهبي نفسه هو عدد غير نسبى. ولذلك بقى الصفر مجهولا ومنكرا حتى اشعار اخر.

العظماء السبعة هو فيلم امريكي قديم من افلام رعاة البقر يقوم فيه ابطال الفيلم السبعة بابادة جيش كامل من الاشرار من اجل حماية فلاحين بسطاء. والحكماء الخمسة هم خمسة خبراء اقتصاديين المان  يصدرون تقريرا سنويا في شهر نوفمبر من كل عام يتوقعون فيه الاداء الاقتصادي الالمانى في العام المقبل. وهذه اللجنة  هى لجنة محايدة و مستقلة عن الدولة ولذلك فلها وزنها وقيمتها.

وربما تستمد كل هذه المجموعات النخبوية السابقة رونق اسمها من اسم الحكماء السبعة. وهم مجموعة من الحكماء الاغريق العظام  قبل عهد سقراط اللذين خلدهم الادب والفكر الاغريقي على انهم هم اعمدة النهضة الاغريقية. وهناك عدة لوائح  مختلفة لاسماء هؤلاء الحكماء السبعة حتى بلغ عدد الاسماء 22 اسم. وفيثاغورث بطل موضوع اليوم هو احد هؤلاء الحكماء العظام.

ولد فيثاغورث في جزيرة سامو اليونانية في القرن السادس قبل الميلاد. وقد كان فيثاغورث عقلية فذة وسياسيا مفوها واسما مشهورا وشخصية كارزمية ومعلما حاذقا. وقد اسس فيثاغورث مدرسة للرياضيات كانت الاهم والاحسن في زمانها.

وكان فيثاغورث في عصره ذا شهرة طاغية. ولكن لم يكن يرجع سبب شهرته الى النظرية المعروفة باسمه اليوم. اي نظرية فيثاغورث . ففى الحقيقة فان هذه المعلومة خاطئة. فهذه النظرية كانت معروفة قبل فيثاغورث بقرون طويلة. فنظرية فيثاغورث واللتى تقول ان مربع الوتر يساوي مجموع ضلعى الزاوية القائمة في مثلت قائم الزاوية كانت معروفة لدي قدماء المصريين قبل فيثاغورث. وقد استخدموا هذه النظرية في بناء الاهرامات. ولكن فيثاغورث درس فقط هذه النظرية من ضمن ما كان يدرس في مدرسته. فنقلها اقليدس عنه في كتابه الاشهر عن الهندسة وسماها باسم فيثاغورث. وهذا هو سبب انتشار هذه النظرية بهذا الاسم.

لكن اذا لم يكن فيثاغورت مكتشف نظرية فيثاغورث فماذا اكتشف اذن؟ وما هو سبب شهرته الطاغية فى زمانه؟ كان سبب شهرة فيثاغورث هو انه اكتشف السلم الموسيقى! وكان هذا شئ اكثر من رائع. وقد بنى فيثاغورث كل فلسفته حول هذا الاكتشاف.

المونوكورد: الالة الوترية اللتى استخدمها فيثاغورث

تقول الرواية ان فيثاغورث كان يعزف ذات مرة على الة وترية تتكون من وتر واحد مشدود فلاحظ كيف يختلف النغم الخارج من الالة عندما يضع تحت الوتر شئ ما وعندما يعزف على الوتر حرا بدون شئ. ثم قام فيثاغورث بتغيير موضع هذا الشيئ  على امتداد الوتر وتحته ولاحظ كيف تتغير النغمة الصادرة في كل مرة. ولاحظ فيثاغورث انه كلما كان هذا الشئ تحت الوتر يقسمه بنسبة بسيطة مثلا 1 الى 1 او ا الى 2 وعزف على جزئي الوتر فانه حصل على نغمتين متناغمتين مقبولتين. وعندما وضع القطعة تحت الوتر بحيث انها قسمته بنسبة 3 الى 2 حصل على نغمتين رائقتين مريحتين. وعندما وضع هذه القطعة في المنتصف تماما حصل على نغمة ترددها ضعف النغمة الصادرة عن الوتر الحر بدون شئ تحته. وعندما قسمت هذه القطعة الوتر الى اجزاء لم تكن النسبة بينها بسيطة سمع نغمة كريهة غير مريحة و غير جميلة.

ومن تدرج النغمات وضع فيثاغورث السلم الموسيقى وبنى عليه كل فلسفته.  فالفارق بين المصريين القدماء وبين الاغريق . ان المصريين القدماء كانوا شعبا برجماتيا عمليا استخدموا الرياضة والاعداد لتحقيق مصالح معينة ما: مثلا لمعرفة السنين او الحساب. وقد برعوا في الهندسة من اجل حساب مساحات الاراضى او تحديد حدود الاراضي الزراعية بعد الفيضانات. اما الاغريق فكانت الاعداد عندهم اكثر من مجرد وسائل مساعدة. بل كانت الاعداد عندهم تساوي الموسيقى و تساوي الفلسفة بل تساوي الحياة كلها!!

رأى فيثاغورث ان كل شئ في الكون تحكمه نسبة ما. وهذا الكون جميل وحكيم. ولذلك كل النسب  او الاعداد اللتى تحكمه هي نسب بسيطة وجميلة كاللتى تنشأ عنها نغمات جميلة عند العزف على الالات الوترية. وتخيل فيثاغورث ان الارض هي مركز هذ الكون. وتدور حول الارض الشمس و القمر وباقى الكواكب والنجوم. ولكن نسبة اقطار  مدارات الاجرام السماوية حول الارض هي نسب جميلة. وينتج عن دوران هذه الاجرام موسيقى كونية  اكثر من رائعة. وكانت صورة الكون هذه هى الصورة اللتى التقطها ارسطو وتبناها بعد ذلك. وهي نفس الصورة اللتى تبناها بطليموس الاسكندري واصبحت هى النظرية الرسمية لتخيل الكون في العالم. واستمرت هذه النظرية حوالى الفى سنة. كما ان كبلر تأثر ايضا بموضوع الموسيقى الكونية وقال نفس الكلام.

ومما سبق نري انه من السهل علينا ان ندرك لماذا لم يكن للصفر مكان في عالم فيثاغورث. فالصفر هو هادم اللذات بالنسبة لحساب النسب. فنسبة صفر الى 2 او نسبة صفر الى 1000 هى نفس القيمة وتساوي صفر. اما العكس فهو شئ لا يمكن تصوره فنسبة 2 الى صفر هى كمية لايمكن تصورها وهى المالانهاية.  ثم كيف يمكننا مثلا ان نقسم وترا للعزف عليه بنسبة صفر الى 50سم مثلا.؟ وكيف يمكننا ان نعزف على قسم من الوتر طوله صفر؟

فبالنسبة لفيثاغورث كان الامر محسوما ومنتهيا. في كون جميل وبديع وحكيم ككوننا لا يوجد مكان فيه للصفر!!

يحرص الاوربيون دائما على ذكر ان حضارتهم المعاصرة تستمد عراقتها من حضارة الاغريق والرومان. لكن هنا يظهر سؤال ومن اين استمد الاغريق والرومان حضارتهم؟ فبالطبع لم تكن حضارتا الاغريق و الرومان هما اول الحضارات الانسانية  و لا ان الاغريق والرومان قد صنعوا حضارتهم بالكامل. في البداية يجب ان نشير الى ان الرومان قد استمدوا حضارتهم بالكامل من الاغريق اللذين كانوا يسبقونهم زمنيا. ولذلك يمكننا ان نعيد صياغة سؤالنا على النحو التالي: من اين استمد الاغريق حضارتهم؟

كانت حضارتا المصريين القدماء والبابلييين سابقتين لحضارة الاغريق. فهل استلهم الاغريق حضارتهم من هاتين الحضارتين؟ الاجابة هي  قطعا نعم. فلاشك ان الاغريق قد استلهموا حضارتهم من الحضارة المصرية القديمة. فالمصريون القدماء كانوا المعلمين المباشرين للأغريق. فعن طريقهم تعلم الاغريق  الاعداد والهندسة ثم طوروا فيها وفاقوا فيها اساتذتهم فيما بعد. اما عن البابلييين فقد استفاد منهم الاغريق ولكن ليس بشكل مباشر. فقد انتقلت افكار البابليين الى الاغريق في اغلب الاحوال عن طريق وسيط ثالث كالفينيقيين اللذين سكنوا سواحل لبنان وسوريا وفلسطين. فالفينيقيون كانوا هم الممر اللذي انتقلت عن طريقه الحضارة من الشرق الى الغرب. فاوروبا تدين بجزء كبير من معرفتها الى الفينييقيين. ومن الطريف ان اسم اوروبا نفسه غير مشتق من اى لغة اوروبية بل هو كلمة فينيقية لاسم الهة من الهتهم القديمة.

اذن فخلاصة الامر ان الأغريق استخدموا النظام المصرى القديم للاعداد كما هو تماما. فقد تبنوه واستخدموه بل اضافوا اليه وطوروه تطويرات مهمة. ومن اهم التغييرات والتطويرات اللتى اجروها على النظام المصري انهم استغنوا عن التعبير عن الارقام بالصور واستخدموا عوضا عنها الحروف الهجائية. كما انهم ادخلوا رموزا مخصوصة لللارقام اللتى هي مضافعات الاعداد. فهم قد ادخلوا رموزا للاعداد من 2 الى 9 وكذلك رموزا للاعداد 20 و 30 الى 90 وكذلك للاعداد 200 و 300 الى 900. وكان من فوائد هذا انهم مثلا استطاعوا التعبير عن العدد 87 بدلالة رمزين فقط: رمز للعدد 7 ورمز للعدد 80 . بينما احتاج النظام المصري القديم الى 15 رمز.

اما عن الرومان فهم بدورهم قد استخدموا النظام الاغريقى ولكنهم لم يطوروه. بل على العكس فقد ارتدوا به الى الوراء فهم قد تخلوا عن بعض الرموز الجديدة اللتى ادخلها الاغريق لمضاعفات الاعداد واستخدموا نظاما اقرب للنظام المصري للاعداد.

واستخدم الرومان كما فعل الاغريق التقويم المصري الشمسي ولكنهم غيروا في اسماء الشهور واطوالها. وقد كان التقويم المصرى القديم في حقيقة الامر افضل واضبط من التقويم الرومانى. فكل الشهور المصرية كانت ثابتة الطول 30 يوما ثم اضافوا خمسة ايام في نهاية السنة لاقامة الاعياد الدينية المقدسة. اما الرومان فقد قام اباطرتهم باطلاق اسماءهم الشخصية على اسماء الشهور. وحرص  كل امبراطور على تطويل شهره وتقصير شهور الاخرين. حتى وصلنا الى التقويم اللذي نستعمله اليوم. وان كان يوليوس قيصر قد اضاف تطويرا مهما للتقويم الشمسى  حيث ادخل مفهوم السنة الكبيسة وجهل شهر فبراير يزداد يوما فيصبح 29 يوما مرة كل اربع سنوات.
ولم يذكر التاريخ للرومان انجازات علمية او رياضية هامة. قالرومان كانوا امة عسكرية وكانت اهم مظاهر حضارتهم تكمن في العسكرية والسياسة والادارة. ويلمز بعض الخبيثين الرومان فيقولون ان مساهمة الرومان الوحيدة في الرياضيات هي انهم قتلوا العملاق الرياضى ارشميدس.

ولكن هل عرف الاغريق والرومان الصفر؟ نعلم ان المصريين القدماء لم يعرفوا الصفر ولكن عرف البابليون ما يشبه صفرنا الحالى. فهل عرف الاغريق الصفر؟ الاجابة هي نعم  فهم عرفوا الصفر البابلى حيث ان الحساب البابلى كان مهما ومنتشرا جدا. ولكن بالرغم من انهم قد عرفوا الصفر الا انهم قد رفضوه. والغريب ايضا ان الاغريق استخدموا الحساب البابلي خصوصا في التنجيم والفلك ولكنهم بعد ان اجروا حساباتهم على الطريقة البابلية  قاموا بترجمة الاعداد البابلية الى الاعداد الاغريقية حتى يختفى الصفر تماما. فقد كرهوا الصفر ورفضوه بشكل عجيب. لكن ماهي اسباب رفض الاغريق للصفر؟ في الحقيقة توجد اسباب رياضية واخرى فلسفية لهذا الرفض. فاذا تعرضنا للاسباب الرياضية نجد ان الصفر يتعارض مع تعريف ارشميدس للاعداد. فقد قال ارشميدس ما معناه ان اي عدد اذا جمعناه الى نفسه عدد هائل من المرات فسيصبح هذا العدد في النهاية اكبر من اي رقم معروف. ونحن نعبر عن هذا في امثالنا فنقول ان طريق الالف ميل يبدأ بخطوة. وان البحر العظيم يتكون من قطرة ماء فوق قطرة ماء. ولكن هذا المفهوم للاعداد لا ينطبق مع فكرة الصفر. فاذا اضفنا الصفر الى نفسه عدد هائل من المرات فلن نحصل سوى على صفر جديد. واذا اضفنا الصفر الى عدد اخر فان قيمة هذا العدد الاخر لن تزيد. واذا طرحنا الصفر من عدد ما فان قيمته لن تتغير. وهذه خواص غريبة لا تتوافر في اي عدد اخر.

هذا كان بالنسبة للجمع والطرح . ولكن كل الصفات الغريبة اللتى رأيناها حتى الان لا تقارن بالصفات المرتبطة بعمليات الضرب والقسمة. فنحن نعلم ان عملية الضرب هي في النهاية عملية جمع. فمثلا ضرب 2 في 3 هو اننا نجمع 2 زائد نفسها 3 مرات او اننا نجمع 3 زائد نفسها مرتين
2 . 3 = 2 +2 +2 = 3 +3
لكن ماذا عن الضرب في الصفر. فاننا اذا ضربنا الصفر في 3 فاننا نجمع الصفر زائد نفسه 3 مرات. وكما رأينا سابقا ستكون النتيحة هي الصفر مرة اخري
0.3 = 0 + 0 +0

وهذا يتكرر مع ضرب الصفر في اي عدد فتكون النتيجة هي دائما الصفر. ولكن هذا شئ غريب فلا يوجد اي عدد اخر يفرض قيمته على باقى الاعداد في حالة الضرب كما يفعل الصفر. ولكن ليس هذا كل شئ. فنحن نعلم ان الضرب هو عكس عملية القسمة والقسمة هي عكس عملية الضرب. فاذا ضربنا عدد في 3 ثم قسمنا النتيجة على 3 فسنحصل على العدد الاصلى مرة اخرى.

(2.3)/3 = 2
(4.5)/4 = 5

فاذا حاولنا ان نكرر هذا بالنسبة للصفر فينبغى ان تكون النتيجة كالتالى

(2.0)/0 = 0/0 = 2
(4.0)/0 = 0/0 =4

وهذا شئ غريب فمرة قسمة صفر على صفر تعطى النتيجة 2 ومرة اخرى اعطت النتيجة 4. وبالمثل يمكن ان نكرر المثالين السابقين مع اعداد اخرى فتكون نتيجة قسمة صفر على صفر هى اي نتيجة ممكنة. ويقول الرياضيون اليوم ان نتيجة قسمة صفر على صفر هي كمية غير معينة.

وبالمثل فان الضرب هو عكس القسمة فاذا بدأنا بالفسمة اولا ثم الضرب كما في:

(4/2).2 = 2.2 =4
(15/3).3 = 5.3 = 15

فاذا حاولنا ان نصنع ذلك مع الصفر نجد:

(1/0).0 = 1
ولكننا نعلم مما سبق ان ضرب الصفر مع اى عدد لابد وان يعطى صفر. اذن معنى هذا ان قسمة 1 على صفر تعطى عددا من نوع جديد لم نعرفه حتى الان!!

واذا حاولنا ان نري كيف كان يحسب الاغريق تحديدا سنكتشف ان الاغريق كانوا يحسبون بطريقة عجيبة. فالاغريق كان الحساب عندهم يساوى الهندسة. ولم تكن ادواتهم في الحساب الورقة والقلم بل المسطرة والبرجل. فهم كانوا يتخيلون الاعداد على انها خيط مرن او زمبرك. فاذا تخيلنا زمبركا طوله 30 سم. فضرب عدد في 2 يعنى عندهم استطالة هذا الزمبرك حتى يصبح ضعف طوله الاصلى. فيصبح طوله الجديد 60 سم. والقسمة على 2 تعنى ضغط هذا الزمبرك حتى يصبح نصف طوله. ولكن الضرب في صفر كان يعنى ان الزمبرك سوف يختفى تماما. وسوف تقع كل نقاط هذا الزمبرك فوق نقطة واحدة. اما القسمة على صفر فهى تعنى تفجير هذا الزمبرك ليصبح طوله المالانهاية. وكانت كل هذه الاشياء تمثل بالنسبة للاغريق ادعاءات سخيفة لايمكن قبولها.

ولكن لم تكن الاسباب الرياضية هى المسئولة وحدها عن رفض الاغريق للصفر. بل ان هذه الاسباب الرياضية كانت تمثل قمة جبل الثلج. فالاسباب الفلسفية كانت اعمق. كما ان عمالقة الاغريق العظام فيثاغورث وزينون وارسطو رفضوا الصفر. فالصفر كان بالنسبة لهم عدد مأفون. ومن بعد هؤلاء استمر الغرب ينظر الى الصفر فى العصور الوسطى على انه عدد نازق يمثل الكفر والهرطقة. ولكن هذه هي قصة طويلة اخرى.

لاشك ان اكتشاف الكتابة يعد اهم الانجازات البشرية على الاطلاق. فهذه الخطوة هى اللتى سمحت بتراكم المعرفة والمعلومات عبر الاجيال مما مهد للبشرية الخروج من بدائيتها الاولى الى الثورة العلمية والحضارية اللتى نعيشها الان. ويذكر لنا التاريخ ان الكتابة ظهرت اول ماظهرت على ارض العراق في الالفية الرابعة قبل الميلاد. حيث استخدم السومريون ما يعرف بالخط المسماري لتدوين كتاباتهم على الواح  من الطين المجفف. والسومريون هم شعب من اصول غير سامية سكنوا جنوب العراق بينما عاش في شمال العراق شعب اخر يعرف بألاكاديين.

وبعد فترة طويلة من الزمن ظهر البابليون في وسط العراق وهم شعب ينحدر من اصول سامية تمكنوا من بسط سلطانهم  فوق ارض العراق. وانشأوا حضارة فاقت حضارة السوماريين . وقد كان لهذه الحضارة تأثير ضخم في العالم القديم. بل ان بعض ملامح هذه الحضارة مازالت تؤثر في حياتنا الى الان.

ويعد حمورابي سادس الملوك البابليين من ابرز الملوك اللذين حكموا بابل. وقد  وامر حمورابى بكتابة اول قانون وضعى عرفته البشرية لينظم الحياة والعلاقات بين طوائف المجتمع المختلفة في ذلك الوقت .كما ان في عهده تطورت وسائل الري والحرث بشكل كبير.

وبرع البابليون في الفلك بشكل ضخم ووضعوا جداول لرصد وتتبع  الاجرام السماوية. كما انهم اهتموا ايضا بالتنجيم وربطوا حركة النجوم باحداث المستقبل. ومن اجل اجراء كل هذه الاشياء قام البابليون بتطوير نظام للاعداد خاص بهم. ولكن كان هذا النظام يتسم بشئ من الغرابة.

وترجع غرابة هذا النظام اولا الى انه لم يكن نظاما خماسيا او عشريا بل انه لم يكن حتى نظاما عشرينيا. بل كان نظاما ستينيا. والامر الاكثر غرابة ان البابليين استخدموا رمزين فقط للتعبير عن هذا النظام: رمز يشبه الوتد الرأسي وهو يمثل العدد 1 ورمز على شكل الزاوية القائمة يمثل العدد 10. ولكن النقطة الاكثر غرابة من كل ما سبق ان الرمز الواحد كان من الممكن ان يعبر عن اكثر من قيمة في نفس الوقت. فمثلا رمز الوتد الرأسى قد يعنى 1 او قد يعنى 60 او قد يعنى 3600 او اي قيمة اخرى هي نتيجة حساب اس صحيح موجب  للاساس 60 !!

النظام البابلي للاعداد

ولكن من ناحية اخري فلقد كان لهذا النظام مميزات اخرى جعلته من اهم نظم الاعداد المعروفة في عصره. وتحديدا اثبتت امكانية تعبير الرمز الواحد عن اكثر من قيمة انها نعمة اكثر منها نقمة و جعلت هذا النظام عمليا للغاية. و بالمناسبة فان نظام اعدادنا الحالى يتمتع بنفس هذه الخاصية. فمثلا العدد 111 يحتوي ثلاث مرات على العدد واحد. ولكن قيمة الرقم الاول اقصى اليمين تساوي واحد فعلا لانه مكتوب في خانة الاحاد. اما الرقم واحد في المنتصف فقيمته 10 لانه مكتوب في خانة العشرات. والواحد اقصى اليسار قيمته 100 لانه مكتوب في خانة المئات.

ولذلك عندما كتب البابليون العدد 61 احتاجوا الى رمزين فقط. وهما وتدان بجوار بعضهما. فتكون قيمة الوتد الاول 1 وقيمة الوتد الثانى 60 وتصبح قيمة الرقم النهائية 61. واذا قارنا هذا النظام بالنظام المصري القديم للاعداد لوجدنا ان النظام المصري يحتاج الى 7 ارقام  لكتابة العدد 61  : ستة رموز للحدوة المقلوبة رمز العشرة ورمز الشرطة الرأسية رمز الواحد. ولكن على الجانب المقابل لايجب ان ننسى ان النظام البابلى للاعداد كان سيئا جدا لكتابة الاعداد اقل من 60 . فلكتابة العدد 59 مثلا احتاج الى 14 رمز:9 مرات للوتد رمز الواحد وخمس مرات للزاوية القائمة رمز العشرة.

الصفر البابلي

ولكن مع ذلك فان هناك مشكلة  خطيرة ظهرت للبابليين وهي كيفية كتابة العدد 60 تحديدا؟ فكما قلنا ان الوتد قد يعنى1 او 60 او 3600 او ارقام لانهائية اخري. فكيف يمكن للبابليين ان يميزوا بين هذه الحالات المختلفة؟ وهنا طرأ للبابليين فكرة فريدة من نوعها فقد ادخلوا رمزا جديدا هو عبارة عن وتدين مائلين. وهذا الرمز لا يحمل قيمة في حد ذاته ولكنه يشغل خانة  فقط. بمعنى اننا اذا وضعناه على يمين رمز الوتد مرة واحدة اصبحت قيمة رمز الوتد 60 واذا وضعناه مرتين اصبحت قيمة رمز الوتد 3600 . اما اذا لم نضعه على الاطلاق تبقى قيمة الوتد واحد كماهي!!

ونحن في نظامنا الحالى نستخدم نفس الاسلوب فصفر على يمين الواحد تجعل قيمة الواحد 10 وصفران على يمينه تجعلها مائة وهكذا. وبالمثل اذا وضع البابليون رمز الوتدين المائلين بين وتدين رأسيين تصبح القيمة الكلية 3601 . فهذا الرمز الجديد كان يمثل ميلاد الصفر اللذي نعرفه اليوم.

وكان لنظام الاعداد البابلى ميزة اخري  مكنته من التعبير عن الكسور بشكل اسهل من النظام المصري القديم. فاننا اذا وضعنا هذا الرمز اقصى اليسار اصبح يعبر عن كسر عشري. فمثلا لكتابة العدد ثلاث ارباع فقد كتبه المصريون القدماء هكذا:
1/2 + 1/4
اما البابليون فقد كتبوه هكذا 0.45 ويجب الاننسى ان نظامهم كان ستينيا. كما انه كان للاساس 60 ميزة اضافية بالمقارنة بالاساس 10 في حالة التعبير عن الكسور لان العدد عشرة لايقبل القسمة بدون باق سوي على العددين: 2 و 5 فقط .اما العدد 60 فيقبل القسمة بدون اى باق على الاعداد: 2 و3 و 4 و5 و 6 و 10 و 12 و 15 و 20 و30 .

كما ان هذا النظام كان عمليا جدا في حالة اجراء الحساب عن طريق استخدام العدادات  Abacus كتلك اللتى يلهو بها الاطفال فى عصرنا الحالى. ففكرة عمل النظام البابلى تشبه تماما فكرة عمل هذه العدادات. فالعداد القديم كان عبارة عن مجموعة من الاحجار مصفوفة في صفوف او اعمدة. ولكن قيمة تلك الصفوف او الاعمدة تختلف عن بعضها فالصف اوالعمود الاول يعبر عن خانة الاحاد واللذي يليه يعبر عن العشرات والتالى عن المئات وهكذا.  وعن طريق تحريك الاحجار بسرعة فوق هذه الصفوف تمكن البابليون من اجراء عمليات الجمع والطرح بسرعة البرق. والطريف ان اسم الالة الحاسبة اليوم هو calculator او اسم الحساب نفسه calculus مشتق من كلمة calcium او كالسيوم وهي تعنى حجرا باللغة اللاتينية. والشئ الطريف ايضا ان اليابانيين حتى الان مازالوا يستخدمون العدادات في المدارس لتعليم الاطفال الحساب كما انهم يقومون بعمل  العديد من المسابقات ذات الجوائز القيمة على مستوي الدولة لتحديد اسرع حاسب عن طريق هذه العدادات.

عداد روماني

ولكننا يجب ان نلاحظ شيئا هاما  وهو ان هذا الرمز اللذى ادخله البابليون لا يكافئ صفرنا الحالي تماما. فصفرنا المعاصر ليس فقط مجرد شغل خانة ولكنه عددا يحمل قيمة في حد ذاته ويمكننا رسمه على خط الاعداد على يسار الواحد. فهو يفصل بين الاعداد الموجبة والاعداد السالبة. ولكن الصفر البابلى لم يكن عددا في حد ذاته فهو لم يحمل قيمة ولم يكن بالامكان التعبير عنه على خط الاعداد.

ولم يستخدم البابليون هذا الصفر في العد . فاذا اراد البابلى القديم العد فانه يبدأ من العدد 1 وليس من الصفر. على العكس من ذلك شعب المايا اللذي عرف نظاما عشرينيا للاعداد. ولكنهم عرفوا الصفر وكان اول الاعداد عندهم واستخدموه في العد وترقيم الاشياء فكان اول يوم عندهم في الشهر هو اليوم صفر.

وفي الواقع فان النظام البابلى انتشر بسرعة فائقة. ومازال تأثير هذا النظام قائما في حياتنا الى اليوم. فمن هذا النظام نقسم الساعة الى 60 دقيقة والدقيقة الى60 ثانية. كما ان طريقة تقسيم الزوايا تنبع ايضا من هذا النظام. واذا نظرنا لللامر بحيادية سنجد ان طريقتنا فى التعامل مع العدد صفر في حياتنا اليومية تتطابق مع موقف البابليين. فنحن صحيح عرفنا الصفر كعدد ونعرف انه ليس مجرد شغل خانة ولكننا لم نتقبله تماما ونسئ استخدامه. وشعب المايا هو بلا شك احصف منا في هذه النقطة. فنحن نبدأ ترقيم الاشياء دائما من العدد واحد وليس من الصفر اللهم اللا بعض الرياضيين في كتبهم. فتجد ان الكتاب يبدأ بالفصل صفر وليس بالفصل واحد. كما ان معظم لغات البرمجة تبدأ العد من العدد صفر.

يقول الكاتب الامريكى شارل سايف اننا مازلنا في حياتنا المعاصرة غير مقتنعين ان الصفر عددا عاديا مثله مثل سائر الاعداد و يسبق العدد واحد في الترتيب على خط الاعداد. وخير دليل على ذلك انظروا اين يوجد الصفر فوق لوحة جهاز حاسبكم او فوق تليفونكم المحمول؟!!

سنقوم اليوم بعمل قفزة 7000 سنة في الزمن الى الوراء لنتعرف على حضارة المصريين القدماء ونري كيف تعاملوا مع الرياضيات وهل عرفوا الصفر ام لا. في الحقيقة ان  حضارة المصريين القدماء كانت مثالا فريدا في التاريخ.  فقد كانت لهذه الحضارة ملامح اخلاقية وانسانية و دينية وعلمية اكثر من رائعة. وجاء اختراع الخط الهيروغليفى ليتوج هذه الحضارة ويخلدها بعد ذلك عبر التاريخ.

وهنا يبرز سؤال هل كتب قدماء المصريين الاعداد ؟ الاجابة هي نعم بكل تأكيد. بل ان واقع الحضارات الانسانية المختلفة يوضح ان الشعوب تكتب الاعداد اولا قبل ان تكتب الكلمات. بل ان بعض الشعوب كشعب الانكا لم يقرأ و لم يكتب. ولكنه مع ذلك قد كتب الاعداد.

فكيف كتب المصريون القدماء اعدادهم اذن؟ لقد  كتب المصريون القدماء اعدادهم باستخدام سبعة رموز فقط. فقد استخدم قدماء المصريين نظاما عشريا. ووضعوا سبعة  رموزا لاول سبعة عناصر من متوالية هندسية اول عدد فيها واحد ثم تتضاعف الاعداد بعد ذلك بالمعامل عشرة. اى تحديدا لقد وضعوا رموزا  للاعداد: 1 و 10 و100و 1000 و 10000 و 100000 و 1000000 كما في الجدول.

الاعداد الهيروغلوفية

و بالتالى كتبوا الرقم 305  بدلالة رمز الحلزونة اي رمز المائة  ثلاث مرات وبدلالة الشرطة الرأسية رمز الواحد خمس مرات .كما هو موضح في الشكل التالى.

العدد 305 بالهيروغلوفية

كما ان قدماء المصريين عرفوا الكسور وكتبوها على شكل شفاة تحتها قيمة المقام. وكان البسط  عند قدماء المصريين دائما العدد واحد. اي على الشكل 1/3 او 1/4 او 1/100 والاستثناء الوحيد لذلك كان العدد ثلثان.  وليس معنى ذلك ان قدماء المصرين لم يعرفوا كسورا اعتيادية اخرى قيمة بسطها لا تكون الواحد. بل لقد عرفوا تلك الكسور ولكنهم عبروا  عنها كمجموعة من الكسور السابق ذكرها اللتى تحتوي في بسطها على العدد واحد. مثال لذلك:

5/6 = 1/2 + 1/3

الكسور بالهيروغلوفية

واستطاع المصريون القدماء اجراء العمليات الحسابية الاساسية كالجمع والطرح والضرب والقسمة. وان كانوا قد اجرو ذلك بطريقة تختلف كلية عن الطريقة اللتى نجري بها حساباتنا اليوم. فلجمع عددين كرر المصريون القدماء الرموز المشتركة بين هذين العددين بحسب عدد مرات ظهورهما في العددين معا. واذا زاد عدد التكرارات عن عشرة فيتم استبدال 10 من تلك الرموز برمز ذو قيمة اعلى. اما بالنسبة لعملية الضرب فقد اجروها بطريقة معقدة مقارنة بطريقتنا اليوم. فلضرب عددين في بعضهما قام قدماء المصريين بمضاعفة احد العددين باستمرار مع تنصيف العدد الاخر باستمرار. واذا كان النصف يحتوي على كسر فيتم جبر العدد الى الاسفل. وهكذا حتى نصل الى العدد واحد. ثم نقوم باستبعاد الاسطر اللتى تحوي على انصاف زوجية ونبقى فقط الاسطر اللتى تحتوي على انصاف فردية ثم نقوم بجمع الارقام اللتى تمت مضاعفتها فنحصل في النهاية على النتيىجة المطلوبة. مثالا لذلك حاصل ضرب 13 في12 حيث النتيجة هي 156 . والان سنحاول ان نري كيف فعل ذلك قدماء المصريين عن طريق مضاعفة الرقم 12 وتنصيف العدد 13.

12  .   13
24       6  يتم استبعاد هذا الصف حيث 6 عدد زوجي
48       3
96        1
————
156

في الحقيقة ان اهم الانتقادات الموجهة الى قدماء المصريين انهم كانوا شعبا براجماتيا فهم قد اهتموا بالعلوم العملية فقط ولم يهتموا بالفلسفة فلم يظهر من وسطهم فلاسفة مرموقين كما كان الحال بالنسبة للاغريق. صحيح انه كان للمصريين القدماء اهتمام غير عادي بالدين وبالدار الاخرة  الاان التفلسف لم يكن من سيماهم. ومثالا يوضح براجماتية المصريين القدماء هو شغفهم بدراسة النجوم من اجل الاهتداء بها في تحديد الاتجاهات او فى تحديد الزمن. ولكنهم لم يهتموا بماهية هذه النجوم وكيف تشكلت ومن اى مادة تتكون.

وكان قدماء المصريين في معظمهم امييين وكانت الطبقة المتعلمة منهم قلية. وكان عامة المصريين ينظرون الى هذه الطبقة باحترام بالغ وكانت غاية الفلاح المصري ان يعلم ابنه اصول القراءة والكتابة حتى يمكنه من العمل كاتبا لدي الدولة. وكانت الاعداد بمثابة اشياء سحرية فلم يكن يتم التعامل معها كما نتعامل معها نحن اليوم. بل اعتقد المصريون القدماء ان خلف هذه الاعداد شيئا مقدسا. وفي فترة من الفترات اعتقد قدماء المصريين ان الدار الاخرة موجودة في مكان بعيد في السماء يفصلنا عنها بحر هائل. فعندما يموت الميت تاتى اليه  عبارة الموتى لتنقله الى الدار الاخرة. ولكن قبل ان يقله ربان العبارة   كان يطلب منه ان يتلو الاعداد من واحد الى خمسة فان عجز فانه لن يأخذه معه وستضيع روح المتوفى و يتنتهى نهاية مؤسفة. ولذلك كان المصريون القدماء حريصين على تلقين المحتضر هذه الاعداد. وكان للاغريق اعتقاد مشابه. لكن ربان العبارة في حالة الاغريق  كان يطلب مالا من الميت. ولذلك كان يحرص اهالى الميت الاغريقي على وضع قطعة من النقود تحت لسانه حتى يقدمها الى ربان عبارة نقل الموتى !.

واهتم المصريون القدماء بدراسة الفلك ودرسوا بعناية الشمس فهي كانت اهم معبوداتهم واقاموا المعابد خصيصا لها. كما انهم استخدمو الشمس في صناعة تقويم شمسي هو اساس تقويمنا اللذي نستخدمه اليوم. فقد كان المصريون القدماء مثلهم مثل سائر شعوب المنطقة يستخدمون تقويما قمريا. ولكن التقويم القمري لم يكن يناسب احتياجاتهم تماما. فالشهر القمري يتكون من 29 او 30 يوم. ولذلك فان السنة القمرية المكونة من 12 شهر هي اقصر من مثيلتها الشمسية ب 11 يوم. وينتج عن ذلك ان الشهور القمرية تتحرك عبر الفصول المختلفة على مر السنيين. فيأتى الشهر مرة في الصيف ثم يأتى نفس الشهر بعد مرور عدد من السنوات في الشتاء. وكان المصريون القدماء شعبا زراعيا ولذلك فهم احتاجوا الى مواقيت ثابتة  لكي يحددوا عن طريقها مواعيد زرعهم وحصدهم وحرثهم. وتوصل المصريون القدماء ان السنة الشمسية تتكون من 365 يوم. فقسموا السنة الى 12 شهر كل شهر يحتوي على 30 يوم تماما. ثم في نهاية السنة اضافوا 5 ايام مقدسة لاقامة الاعياد والاحتفالات.

ولم يعرف المصريون القدماء ان السنة الشمسية هي اكثر من 365 يوما وتحديدا فهي 365 يوم و 6 ساعات تقريبا. لذلك لم يعرف المصريون القدماء السنة الكبيسة اللتى كان اول من ادخلها يوليوس قيصر ولذلك يطلق على هذا التقويم التقويم اليولياني. وكان الشهر عند المصريين القدماء مقسم الى 3 اسابيع. كل اسبوع  مكون من 10 ايام. وهذا بالطبع منطقى لان المصريون القدماء استخدموا نظاما عشريا للاعداد. والطريف ان الفرنسيين ابان الثورة  الفرنسية عام 1789 اعادوا استخدام هذا التقويم مرة اخرى. فقد قامت الثورة الفرنسية ضد الملكية وضد الكنيسة في نفس الوقت واراد الثوار محو الاثار المسيحية من مظاهر الحياة في فرنسا فجعلوا الاسبوع 10 ايام حتى ينسى الناس مع الزمن يوم الاحد ولكن هذه التجربة لم يكتب لها النجاح.

كما برع المصريون القدماء في المساحة والهندسة. وهذا كان يرجع الى ضرورة فرضها عليهم فيضان نهر النيل كل عام. فالنيل كان يفيض كل عام على ارض مصر فيكسب تربتها خصوبة هائلة  عن طريق الطمى اللذي يجرفه معه عبر مساره عبر الاراضي المختلفة. فجعل النيل ارض الدلتا في مصر اكثر الاراضي خصوبة في العالم. ولكن من ناحية اخرى كان النيل يغرق الارض ويطمس ملامحها فكانت كل عام تظهر مشكلة ضخمة وهي كيف يحدد الفلاحون حدود اراضيهم مرة اخرى بعد ان ضاعت الحدود وتاهت المعالم. وهنا ظهر المساحون اللذين كانت مهمتهم اعادة ترسيم الحدود مرة اخرى على الوضع اللذي كانت عليه قبل حدوث الفيضان.

كما ان بناء الاهرام اكسب المصريون القدماء مهارات في حساب المساحات والحجوم وخصوصا حجم الهرم الكامل والناقص وتحديد كمية الاحجار الللازمة لبناء الهرم.

ولكن هل عرف المصريون القدماء الصفر؟ الاجابة هي لا. ففى كل المشاكل السابقة اللتى تعامل معها قدماء المصريون بكفاءة واقتدار لم تكن هناك حاجة الى الصفر. ولكن الصفر ظهرمن مكان اخر في بلد يقع ناحية الشرق اكثر. انها ارض الهلال الخصيب! انها بلاد بابل!!

قد يبدو عنوان موضوع اليوم غريبا و مثيرا للابتسام. فما نعرفه عن الرياضيات واصولها لاينسجم مع صورة العصر الحجرى البدائية المحفورة في اذهاننا. بل وحتى اذا افترضنا ان  اهل العصرى الحجرى  قد توصلوا بالفعل الى اكتشافات رياضية ما فكيف يتسنى لنى ان ندرك هذا وهم لم يتركوا وراءهم اثرا مكتوبا حتى نستطيع ان نقف على ماوصلوا اليه من علم ومعرفة؟ فمثلا كتاب العناصر لاقليدس هو دليل تفوق الاغريق في الرياضيات عموما وفي الهندسة خصوصا. وقد اعطى لمحة عما وصلوا اليه من تقدم سواء في اثينا في اليونان أو في الاسكندرية في مصر.

في الحقيقة ان انسان العصر الحجري قد توصل لبعض المعلومات الرياضية البسيطة. فهو قد توصل الى معرفة الاعداد وقام بعمليات جمع بسيطة. ولكن الاعداد اللتى عرفها انسان العصر الحجري لا تتطابق مع نظام الاعداد الموجود اليوم. فانسان العصر الحجري لم يعرف من الاعداد في البداية سوى الواحد. فكان يعد ارنب او ارانب كثيرة ولايميز ان كانت هذه الارانب ثلاثة او عشرة. ثم بعد ذلك وفي مرحلة اكثر تقدما  تعرف انسان العصر الحجري على العدد اثنين. فكان يعد 1 او 2 او كمية كبيرة. ونظام الاعداد هذا نستطيع ان نطلق عليه نظام ثنائى. ثم توصل انسان العصر الحجري الى استخدام العدد ثلاثة وكان هذا النظام الثلاثي للاعداد. ثم ارتقى انسان العصر الحجري ووصل حتى العدد 5 وربما اكثر من ذلك.

ولكن ماهو الدليل على صدق هذه التصورات؟ وهل هذا محض تكهنات واستنتاجات ام ان هناك دليل مادي و قرائن تدعم هذه الادعاءات؟ في الحقيقة يستند العلماء في استنتاجاتهم الى دليلين: الدليل الاول هو الحفريات اللتى تم اكتشافها في العصر الحديث. ققد توصل علماء الاثار في تشيكوسلوفاكيا السابقة الى حفريات يرجع تاريخها الى 30 الف سنة لعظام ذئب استخدمها انسان العصرى الحجري كعداد او الة حاسبة. فقد وجدوا عظمة ذئب موضوع عليها 55 خدشة او  شرطة. وكانت هذا الشرطات منظمة في مجموعات تضم كل مجموعة خمس شرطات. كما ان خلف كل خمس  مجموعات اى خلف كل 25 شرطة كانت هناك شرطة طويلة مما يسهل عملية المراجعة والحساب. وهذا النظام من الاعداد نستطيع ان  نطلق عليه نظام خماسي

عظام ذئب استخدمت في الحساب

.

اما الدليل الثانى فهو يتمثل في دراسة الشعوب البدائية اللتى مازالت موجودة حتى الان في عصرنا الحديث ولم تتأثر بحضارتنا الحديثة. فشعب السيريونا Siriona في بوليفيا لايعرفون اعداد اعلى من 3 . فهم يعدون 1 و 2 و3 ثم كمية كبيرة. كما ان شعب البروروزBororos في البرازيل لا يعرف سوى العددين واحد واثنين فقط. ولكنهم استغلو خاصية ان الاعداد قابلة للجمع فعدوا بعد ذلك اثنين زائد واحد ثم اثنين زائد اثنين ثم اثنين زائد اثنين زائد واحد وهكذا.

وادخل شعب البروروز بعض الاسماء المميزة للأعداد المميزة  لتسهيل التعامل.  فاطلقوا على العدد 5 يد وعلى العدد 10 يدين وعلى العدد 20 يدين وقدمين. وعرف قدماء المصريين نظام اعداد عشرى ومنه انتشر عند الاغريق والرومان. وعرفت شعوب الغال نظاما عشرينيا للاعداد  مازالت اثاره باقية في اللغة الفرنسية حتى اليوم. فالعدد 99 باللغة الفرنسية يكتب هكذا quatre-vingt-dix-neuf اي اربع عشرينات وعشرة وتسعة. والبابليون كان نظامهم للاعداد ستيني.

ومن هنا نري ان انسان العصر الحجرى تعرف على الاعداد ولكنه لم يعرف الصفر فهو لم يكن بحاجة اليه. فانسان العصرى الحجري قد احتاج الى حساب ثروته من الخراف او الدجاج او ماشابه ذلك ولكنه لم يكن بالتاكيد معنى بعد مالايملكه وان يخترع له رمزا مخصوصا. ويقول الرياضى وايتهيد Whitehead ان الانسان لا يحتاج الى الصفر فى حياته اليومية العادية, فالانسان لايذهب الى السوق ليشترى صفرا من  الاسماك. ولكن الصفر هو عدد توصلنا اليه عن طريق التفكير العميق. واستخدام الصفر يدل على رقى في التفكير. فالصفر هو اكثر الاعداد تحضرا.

الطراد يورك تاون

لعب و يلعب العلم الدور الرئيس في تطور حضارتنا المعاصرة. فلولا العلم لما تحققت الرفاهية اللتى نتمتع بها اليوم مقارنة بالازمان السالفة ولولا العلم لما تطور الطب هذا التطور المذهل مما نتج عنه تحسن صحة الانسان وبالتالي زيادة رفاهيته مرة اخرى. فالصحة هي تاج على رؤوس الاصحاء  والشئ المؤكد ان العلم لم يكن ليتطور بهذه الدرجة بدون اكتشاف الاعداد وبدون تقدم علم الرياضيات اللذي يتعامل مع الاعداد ويصنع منها المعجزات ان جاز لنا التعبير.

ومن وسط كل هذه الاعداد و الارقام يبرز عدد غريب بخواصه وهو الصفر. ولم يكن اكتشاف الصفر حاصلا منذ البداية بل ولم تكن عملية ولادته متيسرة بل كانت متعسرة وقاسية للغاية. وسنحاول في المرات القادمة ان  شاء الله ان نتعرف على قصة هذا الميلاد. فميلاد الصفر ليس موضوعا رياضيا فحسب بل هو موضوع انسانى و تاريخى واجتماعى وفلسفى ودينى في نفس الوقت.

فميدان الصفر كان ساحة مواجهة ساخنة تواجهت فيه عناصر مختلفة متنافسة ومتناحرة. فاكتشاف الصفر كان ساحة تواجه فيها الشرق والغرب. فالصفر هو اختراع شرقى يحمل نكهة الشرق ولذلك تم رفضه بقوة من العالم الغربى اللذي كان يمثل له الصفر نبتا شيطانيا. وكان نشوء الصفر ساحة تواجهت فيها الفلسفة الاغريقية ضد الفلسفة الاسلامية والهندية. بل ان الصفر كان ساحة مواجهة تواجهت فيها الفلسفه ضد الدين و الرياضيات ضد الفيزياء.

وبعد انتصار الصفر الساحق لاحقا الا انه مازال يشكل ساحة مواجهة في القرن الواحد والعشرين. فالصفر مازال يسبب المشاكل في ميدان الفيزياء. والبعض يربط بين تعثر الفيزياء اليوم وعدم قدرتها على السير قدما بوجود الصفر. فالصفر من وجهة نظر هؤلاء ليس له وجود حقيقي وانما هو مجرد فكرة  او وسيلة مساعدة تعيش في المخ فقط. فاين يوجد الصفر في الطبيعة؟ وهنا تتقدم في ساحة الفيزياء نظرية الاوتار الفائقة اللتى لاتحتوى على الصفر اللذي يسبب مشاكل لاحل لها خصوصا عند دراسة الثقوب السوداء او لحظة الانفجار العظيم.

ومشكلة الصفر انه كان يمثل دائما الرعب والفزع في تصورات الحضارات المختلفة فهو يمثل العدمية. فهو كان دائما فكرة مخيفة ومدمرة. وهناك واقعة من الماضى القريب توضح جبروت هذا الرقم اللذى لايتأتى لعدد سواه. في 21 سبتمبر سنة 1997 كان الطراد الاميركي يورك تاون واللذي يملك قوة 80 الف حصان في مهمة بحرية. وقيمة هذا الطراد هو مليار دولار امريكى وتم تصميمه بحيت يستطيع ان يتحمل اصابة مباشرة لطوربيد مائى بدون مشاكل. لكن هذا الطراد ليس محصنا ضد جبروت الصفر. فقد ادخل احد ملاحي الطراد عن طريق الخطأ  صفر في قاعدة بيانات الطراد بشكل يدوي مباشر. فنتج عن ذلك انه في مكان ما في برنامج تشغيل الطراد حدث شئ محظور في الرياضيات واللذي ينبغى تجنبه بأي ثمن وهو القسمة على صفر. فقد حاول البرنامج ان يقسم على صفر فسقط نظام عمل الطراد فورا وتوقف الطراد في الحال واصيب بالشلل التام. وجرت محاولات عديدة لانقاذه و اصلاحه استغرقت ساعات واياما. وتم سحب الطراد لاقرب ميناء بحرى من اجل اجراء الاصلاحات اللازمة عليه.

ولكن الصفر لايحمل بالضرورة اخبارا سيئة او كما يقول المثل مصائب قوم عند قوم فوائد. فقد شكلت مشكلة اخرى متعلقة بالصفر  نعمة كبيرة بالنسبة لقطاع واسع من مبرمجى الكمبيوتر فى التسعينيات. ففى تسعينيات القرن الماضى ظهرت مشكلة مرتبطة بقدوم العام 2000. فقد كان من المتوقع انه بحلول هذا العام سوف تحدث مشاكل هائلة في كل اجهزة الكمبيوتر فى العالم. والسبب في ذلك هو خطأ اولي وساذج وقع فيه مصممو الاجيال الاولى من اجهزة الكمبيوتر. وكان نتيجة لذلك انه بعد العام 1999 سوف يأتى العام 00 . اي ان الصفر سوف يظهرمرة اخرى وسوف تصاب كل الاجهزة المرتبطة طريقة عملها بالكميبوتر بعطب بالغ وخصوصا الاقمار الصناعية في الفضاء. ونتيجة لهذه المخاوف و المخاطر تم خلق فرص عمل عديدة للمبرمجين اللذين مازال سوق عملهم رائجا الى هذه الايام مع ان واقع الحال انه قبل تسعينيات القرن الماضى كان المبرمجون يشكلون اكبر شرائح الاكاديميين العاطلين عن العمل!

شهدت المانيا في العام 1846 ظروفا مناخية صعبة وادي ذلك الى فساد المحصول الزراعى في ذلك العام. وكانت هذه ضربة قاسية بالنسبة للفلاحين. وفى العام التالى ونتيجة لندرة المواد الغذائية فقد ارتفع سعرها بشكل ضخم مما اضعف القدرة الشرائية لدي المواطنين فكسدت بالتالى الصناعة وطردت المصانع الكثير من العمال اللذين اصبحوا بلا اي مصدر رزق. وكانت الحالة الاقتصادية بالنسبة للطبقة الفقيرة لاتحتمل. وكان الوضع الاقتصادي المتردي من العوامل المهمة اللتى ادت الى ثورة 1848 في المانيا.

ولكن لم يكن الفقر و الحالة الاقتصادية السيئة  وحدهما هما السببان الرئيسان لقيام ثورة 1848 . بل ان الطبقة الغنية ورجال الصناعة كانوا مستائين بدورهم من الوضع السياسي العام. فالمانيا كانت مقسمة الى امارات وممالك ودوقيات لكل منها حاكم. ولم تكن التجارة بين هذه الممالك ممكنة بدون دفع الضرائب والجمارك والمكوس. فكان رجال الصناعة يريدون دولة المانية موحدة تسقط فيها كل تلك الحواجز و الحدود. واذا راعينا عوامل اخرى كوحدة اللغة والعرق والتاريخ والجغرافيا فان كل هذه العوامل كانت تدعم وحدة المانيا و  توضح ان عدم وحدتها  هو ضرب من ضروب العبث.

وكان شكل الاتحاد المطلوب في ذلك الوقت هو الشكل الفيدرالى كما هو الوضع اليوم. فكل منطقة او اقليم ستبقى متمتعة بنظامها الداخلى الخاص ولكن مع ذلك فانه يجب ان يكون هناك سقف عام يغطي كل تلك الممالك بحيث تبدو للعالم الخارجي وكأنها دولة واحدة. وفي الحقيقة فان التجربة الفيدرالية متوغلة في تاريخ المانيا. واذا راعينا بجانب ذلك ان الالمان لا يتبعون نفس العقيدة المسيحية فجزء منهم كاثوليكي والجزء المتبقى  بروتستانتي وقد خاضوا فيما بينهم حروبا دينية ضارية ادت الى ادراكهم انهم في النهاية المان وانهم يجب ان يتعايشوا فيما بينهم بالرغم من اختلافاتهم العقائدية.

وفى ظل هذه الاجواء المتوترة قام الفرنسيون بعمل ثورتهم الثالثة في شهر فبراير عام  1848 واعلنوا قيام جمهوريتهم الثانية وكان لهذا الحدث تأثير بالغ على الالمان. فكانت البداية في 1 مارس سنة 1848 في مملكة بادن في الجزء الجنوبي الغربى من المانيا و اللتى تملك حدودا مشتركة مع فرنسا . وكانت هذه المملكة متطورة سياسيا ومتقدمة عن باقى الممالك الالمانية الاخرى في ميدان الحريات العامة. فثار الناس اولا في مدينة مانهايم وانتقلت الثورة سريعا الى مدينة هايدلبرج ثم مدينة كارلسروه عاصمة المملكة في ذلك الوقت. ومن ثم انتشرت المظاهرات في كافة الممالك الالمانية الاخري. وكان للمتظاهرين 4 مطالب رئيسة:

1 كتابة دستور المانى لاول مرة وتوحيد المانيا تحت هذا الدستور
2 تسليح الشعب حتى لايكون فريسة سهلة لجبروت الحكام اللذين يملكون القوة العسكرية ويحركون الجيوش
3 حرية الصحافة
4 نظام قضائى عادل. يتساوي فيه الجميع امام القضاء

وفي فترة وجيزة اقل من 3 اسابيع رضخ كل الملوك لطلبات الثوار ولم يستتطيعوا ان يصمدوا امام ارادة الشعب. وفي بعض الاماكن استجاب الحكام دون اندلاع اى احداث عنف كما كان الحال في مملكة بادن. ولكن في حالات اخرى لم يقبل الملوك الا بعد وقوع قتلى كما كان الحال في مملكة بروسيا وعاصمتها برلين وهناك اجبر الملك على الظهور امام جثث القتلى في الساحة الملكية وان يخلع قبعته احتراما للشهداء.

ويرجع انتصار الثورة السريع في البداية الى3 اسباب: اولا ان كل قوي الشعب كانت متوحدة خلف نفس المطالب والاهداف.و ثانيا الطابع الاوربي  لهذه الثورات. فهذه الثورة لم تكن ثورة المانية فحسب ولكنها اندلعت في اطار سلسلة ثورات شملت معظم الدول الاوروبية في نفس الوقت. ثالثا هو شعور الملوك والحكام ومن يقف بجوارهم بالضعف وقلة الحيلة امام هذه الثورات الخاطفة فلم يكن هناك بد سوى التسليم حتى ولو كان بدافع المناورة و كسب الوقت.

ولكن يلاحظ ان في كل تلك الثورات لم يكن مركز الملوك مهددا كما كان الحال في الثورة الفرنسية. بل ان الشعب كان يريد اصلاحا ثوريا سياسيا واجتماعيا تحت حكم هؤلاء الملوك. وكانت النتيجة المباشرة لهذه الثورات ان اقال الملوك حكوماتهم وعينوا حكومات جديدة تحت رئاسة الثوار ذوي الاتجاه الليبرالى. كما انه تم تشكيل برلمان مؤقت في مدينة فرانكفورت في كنيسة باول الشهيرة اللذي اتخذ العديد من القرارات. ومن اهم هذه القرارات الاعلان عن انتخابات لتشكيل برلمان نهائى يضع دستور للدولة الالمانية الموحدة. وبالفعل تشكل برلمان وطنى منتخب لاول مرة في تاريخ المانيا وكان يغلب عليه الاتجاه الليبرالى.

كان انتصار الثورة ساحقا وخصوصا انتصار الاتجاه الليبرالى اللذى صار اليه الحكم باغلبية مريحة. ولكن سرعان ما بدأت المشاكل. فقد ظهر الانقسام بين الليبراليين ومن هم سواهم من يساريين و جمهوريين. وكانت الخلافات تشمل تقريبا كل النقاط اللتى قامت من اجلها الثورة وخصوصا نقطة تسليح الشعب. فقد كان الجموريون واليساريون يريدون تسليح كل الشعب دون تمييز. اما الليبراليون فكانوا يريدون تسليح طبقة مميزة من الشعب فقط. اما بالنسبة للعدالة الاجتماعية كان الليبراليون يريدون تحرير الاقتصاد وتطبيق اقتصاديات السوق الحر ولا يدور بخلدهم اى افكار اشتراكية كاللتى ينادي بها الفريق الاخر. وحتى بالنسبة لنظام الانتخابات كان الجمهوريون واليساريون يريدون ان يكتسب كل الشعب حق الانتخاب دون تمييز. بينما كان الليبراليون يرون توسيع حق الانتخاب دون تعميمه. فالمواطن كامل الحقوق لابد و ان يكون نخبويا او على الاقل يمتلك حد ادنى من التعليم والثقافة والتمدن. كما انه لابد وان يملك دخلا محترما يضمن له العفاف. حتى على مستوية وحدة المانيا  فقد اختلف الالمان بين المانيا الكبرى اللتى تضم النمسا و المانيا الصغرى اللتى لاتكون النمسا جزئا منها.

ولم يكد يمر شهران حتى شعرت القوى الاشتراكية بانها لم تحقق اى شئ وان الثورة تسير على غير هواها. فحصلت اظطرابات ومظاهرات عديدة وظهرت دعوات لعمل ثورة ثانية. وحصل هجوم للعامة على مخزن اسلحة الملك في برلين من اجل الحصول على اسلحة لتسليح الشعب وتم اطلاق النار على الثوار وقتل عدد كبير منهم. حتى في مملكة بادن الالمانية مهد الثورة حصلت اضطرابات ومصادمات في شهر ابريل واطلق الليبراليون اللذين اصبحوا في الحكم النار على شركاء الاسابيع الماضية وسقط قتلى وجرحي.

وفي شهر يونيو تم قمع الثوار في فرنسا وكانت هذه رسالة قوية الى الملوك وقوى الثورة المضادة في المانيا بالتشجع وعدم الرضوخ مرة اخري والضرب بيد من حديد حتى تعود الامور الى سابق عهدها. وفي شهر سبتمبر حدث حادث جلل حيث هاجم الثوار البرلمان الالمانى. وسبب هذه القصة يرجع الى ثورة  سكان مملكتي شليزفيج و هولشتاين  الالمانيتين مطالبين بالاستقلال  في شهر ابريل. وكانت هاتان المملكتان متنازع عليهما بين الدنمارك والمانيا فارسل ملك الدنمارك جيشه على الفور لقمع تلك الثورة. وهنا تدخل ملك بروسيا على الجانب الاخر لحماية الثائرين الالمان. واستمرت الحرب بينهما حتى شهر اغسطس حيث توصل الطرفان الى معاهدة تقضى بوقف اطلاق النار. ولم يكن امام البرلمان  الالماني في فرانكفورت حيلة سوى ان يقر هذه المعاهدة فهو لم يكن يملك سلطانا على ملك بروسيا او على اى جيوش اخرى. وهنا ثارث ثائرة الثائرين و اعتبروا ان النواب  اللذين وافقوا على هذه المعاهدة قد خانوا الامة الالمانية وحاصروا مبنى البرلمان. وخشى المجتمعون في مبنى البرلمان على انفسهم فطلبوا سرا النجدة من ملكي بروسيا والنمسا اللذين ارسلا جيوشهما الى فرانكفورت. وهنا تفاجأ المتظاهرون بهذين الجيشين فاقتحموا البرلمان وقتلوا نائبين كانوا موجودين فيه. وكان هذا الموقف علامة واضحة بان الثورة الالمانية  تحتضر.

وهنا استشعر الجميع الخطر فعاد الجميع على اختلاف تياراتهم وتوحدوا وعملوا سويا من اجل عمل دستور يحقق الحد الادنى من تطلعات الجميع. وبالفعل نجح البرلمانيون بعد سنة من قيام الثورة  من الانتصار على انفسهم وانجاز اول دستور لالمانيا يقضي بانشاء دولة المانية موحدة تحت قيادة ملك بروسيا. وتقدم البرلمان بالدستور الى ملك بروسيا  في شهر ابريل سنة 1849 لكن المفاجأة ان ملك بروسيا رفض الدستور. فقد رفض ان يكون ملك بفضل من البرلمانيين و الدستور. وهو كانت له مشاريعه الخاصة بالنسبة لبروسيا وكان يريد ان يصبح قيصرا لالمانيا لكن على طريقته هو.

وهنا اصيبت الثورة بضربة قاتلة فالمشروع اللذي عمل القانونيون و البرلمانيون على انجازه رفضه ملك بروسيا بمنتهى السهولة. وحاول البعض اقناع ملك بروسيا على ان يعدل عن موقفه بينما حاول البعض الاخر اعمال الدستور بالقوة واعلان جمهوريات وممالك من جانب واحد . فقامت فى ولاية سكسونيا ثورة عارمة وتم اعلان جمهورية هناك الان ان ملك بروسيا توجه بجيشه وقضى على تلك الحركة. كما انه في شهر يوليو قامت في ولاية بادن حركة مشابهة وتم اعلان الجمهورية من مدينة راشتات الا ان ملك بروسيا توجه بجيشه ايضا واخمد تلك الحركة هناك. وكما بدأت الثورة من ولاية بادن فانها انتهت ايضا هناك.

ويرجع فشل الثورة الالمانية بصفة خاصة الى تشرزم الثوار بعد نجاحهم الابتدائى . فقد كان الليبراليون المعتدلون محاصرون بين قوى الثورة المضادة من ناحية وبين تطرف اليساريين و الثوار الجمهوريين الراديكاليين من ناحية اخرى. وليس معنى هذا ان الليبراليين المعتدلين كانوا ضحايا وانهم لا يتحملون قسطا من المسئولية. بل انهم يتحملون نصيبا ضخما بسبب عدم مرونتهم وعدم قدرتهم على التعامل مع الواقع القائم.

نتعرف اليوم على الثورة الفرنسية الثالثة او تلك الثورة اللتى اندلعت عام 1848. وربما يكون من المفيد ان نشير اولا الى الثورتين الاوليتين لما لهما من تأثير بالغ على مسار الثورة الفرنسية الثالثة. بل ان البعض يقول ان الثورة الثالثة ما هي الا المرحلة الثانية من الثورة الثانية اللتى اندلعت عام1830 .

كانت الثورة الفرنسية الاولى عام 1789 تجربة تاريخية فريدة بالنسبة لفرنسا وللعالم كله. فهذه الثورة اللتى استمرت 10 سنوات تقريبا كانت حقل تجارب سياسية لنظم الحكم المختلفة. فلقد استفاد العالم كله من تجربة فرنسا في تلك الفترة في كيفية اعداد الدساتير وتقييم نظم الحكم المختلفة. فقد بدأت الثورة عندما كان نظام لويس السادس عشر قائما ونظام حكم لويس السادس عشر كان نظاما ملكيا مطلقا ينسب شرعيته الى ارادة الله.  فكل نظم الحكم الاوروبية في ذلك الوقت كانت تري ان انفرادها بالملك انما هو ارادة الله وقدره. ولو اراد الله غير ذلك لما جلسوا فوق عروشهم. وبالتالى فان اي خارج او ثائر عليهم انما هو رافض لقدر الله متحديا لارادته.فالنظام الملكي المطلق كان هو نظام الحكم الاول. وفي يوليو عام 1789 عندما ثار الفرنسيون على النظام لم يطيحوا بالملك ولكنهم ابقوا عليه في اطار نظام حكم جديد وهوالنظام الملكى الدستوري. اى ان الملك يبقى ملكا بارادة الشعب كما ان للشعب ارادة يسير بها اموره. وبعد فترة تم اتهام الملك بمعاداة الثورة وانه يدعو لغزو فرنسا من الخارج  من اجل ارجاع النظام الملكي القديم مرة اخرى. وتم اعدام الملك و اعلان الجمهورية الفرنسية الاولى. وكان هذا نظام حكم مختلف ثالث. لكن الجمهوية غرقت بعد ذلك في بحار من الدماء فقد كان الكل يخون الكل وتدحرجت عشرات الالاف من الرؤوس تحت سكين المقصلة و اثارت اللجان الشعبية اللتى ملأت الشوارع الذعر والهلع. واحس الناس بانعدام الامن والامان وكانوا يشتاقون الى من يعيد لهم الامن والطمأنينة. وهنا ظهر نابليون بونابرت على الساحة فحقق الامن. ولكنه كان ديكتاتورا انهى النظام الجمهوري  واعلن نفسه امبراطورا لفرنسا. وكان هذا  نظام حكم جديد مرة اخرى.

وحقق نابليون الامن وحفظ دماء الفرنسيين داخل فرنسا و لكنه اراقها  انهارا خارج حدود فرنسا. فقد كان نابليون ذا خطط و احلام استعمارية توسعية خاض وتسبب في حروب جمة وكان اسمه يثير الرعب و الفزع فى اوروبا. وفي النهاية فشل مشروع نابليون وتم اسقاطه ونفيه خارج فرنسا.

رأى الفرنسيون بعد ذلك ان النظام الملكى هو افضل نظم الحكم الممكنة. فكل الدول الاوربية الاخرى كانت ملكية. واي نظام اخر سوف يكسبهم عداوة باقى الدول الاوروبية. فتولى مقاليد الحكم لويس الثامن عشر وهو كان ينتمى الى اسرة البوربون و اعتبروا ان ملكه امتداد لحقبة لويس السادس عشر. ولكن الحقبة الملكية الدستورية. ولكن الملك الجديد كان من داخله يريد اعادة النظام الملكى المطلق مرة اخرى. وحاول بقدر الامكان ان يسير بفرنسا في هذا الاتجاه. ثم مات لويس الثامن عشر فخلفه في الحكم اخوه شارل العاشر اللذي كان ملكيا متطرفا يريد ان يرجع الامور الى سابق عهدها بشكل فج فاصدر عدة قرارات عام 1830 من اجل انهاء حرية الصحافة و الغاء مجلس النواب وتخفيض عدد الفرنسيين اللذين يحق لهم التصويت الى 25% من العدد الحالي. فلم يتحمل الشعب الفرنسى هذه العجرفة وهذه القرارات فخرج الشعب الى الشارع في مظاهرات حاشدة وهرب الملك الى خارج البلاد. وكانت هذه ثورة 1830. وهنا صنع الشعب الفرنسى شيئا عجيبا فقد قال مرة اخرى فليكن الحاكم ملكا. ولكن في هذه المرة نحن سوف ننصب واحدا عاديا من الشعب ولاينتمى لاى اسرة مالكة او نبيلة ملكا . فاختار الشعب لويس فيليب ملكا عليهم بعد ان كان مواطنا عاديا. واسمحوا لي بهذه المزحة كان لويس فيليب ملكا ورجل اعمال! لويس فيلييب كان اغنى انسان فرنسى في ذلك الزمن وهو كان ينتمى الى الطبقة البرجوازية. طبعا لايجب الخلط بين الطبقة البرجوازية وطبقة النبلاء. فطبقة البرجوازية كانت طبقة صاعدة في اوروبا تضم رجال الاعمال او بمعنى ادق هم اصحاب الاعمال اللذين لايكسبون قوتهم عن طريق عمل يدوي مباشر بل عن طريق امتلاكهم لوسائل الانتاج كرأس المال او المعدات او العمالة. وهذه الطبقة لم تكن بالضروة ثرية. فهي كانت تضم 3 فئات: البرجوازيون الصغار وتلك الفئة كانت تشمل اصحاب المقاهي و الحوانيت الصغيرة او ماشابه ذلك. والطبقة الثانية هي البرجوازية الصناعية اللتى كانت تضم رجال الاعمال المرتبطة طبيعة عملهم بالصناعة. ثم كانت هناك فئة البرجوازية المالية واللتى كانت تضم اصحاب البنوك و المضاربون في البورصة وملاك الاراضي.

وكان لويس فيليب يعتبر نفسه من ضمن البرجوازيين الصغار لكن كل قرارت عهده كانت تصب في صالح البرجوازيين الماليين ولم يأبه للبرجوازيين الصناعيين او اللبرجوازيين الصغار. فاللذين كان لهم حق التصويت في تلك الفترة وطبقا للدستور الفرنسى كانوا ملاك الاراضى فقط. وبالتالى كانت كل الحكومة منهم وكانت كل القرارات تصب في صالحهم. فكانت حكومة لويس فيليب هي حكومة رجال الاعمال او بمعنى ادق رجال المال. وازدادت ثروة هذه الطبقة بشكل ضخم حين سادث حالة من  الكساد في فرنسا في الاعوام 1846 و 1847 ولكي يستطيع البرجوازيون الصغار تسيير امورهم  فقد اقترضوا قروضا كبيرة من رجال المال اللذي ازدادت ثرواتهم بهذا مرة اخري. وكان المطلب الاساسى للشعب اللذي ينادي به معظم الناس هو حق التصويت وبالتالى يجلس نواب عنهم في البرلمان وتدخل عناصر منهم الى داخل الحكومة لتأخذ قرارات تتبنى مصالحهم. وكان الفرنسيون ينظرون بعيون تملؤها الحسد نحو الانجليز حيث لم تقم عندهم اى ثورة وبالرغم من ذلك فقد صدر قرار بمنح كل من يدفع ضرائب للدولة تزيد قيمتها عن 10 جنيهات سنويا حق الانتخاب. وكانت وسيلة الفرنسيين في التعبير عن هذا تظهر من خلال الموائد الشعبية حيث كانت المظاهرات السياسية و التجمهرات ممنوعة في ذلك الوقت. فكان الفرنسيون يجلسون على هذه الموائد العامة يعلون الصوت بمطالبهم ويهتفون للحرية و للمساواة وللأخوة. ثم حدث واصدرت الحكومة قانونا تمنع فيه تلك الموائد. فكان الحنق و الغضب عظيمين.ورشحت الانباء ان الصقليين قد قاموا بثورة ضد حكم اسرة البوربون و اعلنوا استقلالهم فكان هذا الخبر كالشرارة اللتى انطلقت في مناخ متوترفانفجر الموقف. فخرج الفرنسيون الى الشارع يهتفون باسقاط الحكومة وكان طوفان الباريسيين في الشوارع لانهاية له.فاضطر الملك الى اقالة رئيس حكومته بعد يوم واحد من اندلاع المظاهرات. وفرحت الجماهير بسماع الخبر وانطلقت الى مبنى البرلمان تحوطه واراد البعض اقتحامه. وبسبب خطا ارتكبه احد الظباط فقد اطلق الجنود الرصاص على الشعب. فراح ضحية هذه الحادثة 52 انسان. فخرجت كل الجماهير تهتف بسقوط الملك. اللذي هرب الى انجلترا.

واسس الثوار جمهوريتهم الثانية في 23 فبراير عام 1848 . وتولت حكومة مؤقتة السلطة. ودعت الى انتخابات عامة بعد شهر تقريبا لاختيارجمعية تأسيسية تضع دستورا جديدا وتشكل حكومة وتحضر للانتخابات الرئاسية. واصدرت الحكومة المؤقتة قرارين في غاية الخطورة. القرار الاول هو اعطاء حق الانتخاب لكل الفرنسيين الذكور. وكان معنى ذلك اضافة 9 مليون ناخب جديد الى من يحق لهم الانتخاب. وبقى محظورا على المرأة الانتخاب كما كان الحال في كل الدول الاوروبية. اما القرار الثاني فكان اقرار ان حق العمل حق اساسي للمواطن الفرنسي وقامت الدولة بانشاء ورش عمل وطنية لمنح المتعطلين عن العمل فرصة لكسب الرزق عن طريق تعبيد الطرق او زرع الاشجار. فحصل اقبال رهيب على ورش العمل هذه وتم توظيف مئات الالوف بهذه الطريقة.

لكن ازمة فرنسا الاقتصادية كانت مرعبة. فعندما فر لويس فيليب لم يفر وحده انما فر معه الاثرياء باموالهم فحدث نزوح رهيب للثروة الى خارج فرنسا. كانت ايرادات البلد متوقفة و الاضرابات و المظاهرات قد شلت حركة البلد. ثم ان مشروع ورش العمل الوطنية قد كبد خزانة الدولة تكاليف باهظة.فمن اين تأتى الحكومة بالاموال؟ قد قررت رفع الضرائب على الفلاحين وملاك الاراضى الزرعية.لكن الفلاحين رفضوا تنفيذ هذا القرار. وقالو ان الدولة تريد ان تحل مشكلة اهل المدن الكسالى على حساب الفلاحين المظلومين. فبالتالى كانت ورطة الحكومة المؤقتة ضخمة. وساد وسط الفرنسيين ذعر وقلق بشأن المستقبل وفي اثناء هذه الظروف وبعد شهر من انطلاق الثورة نظمت قوى المحافظين انفسهم وكان شعارهم عودة النظام وانهاء حالة الفوضى. واسسوا حزبا يحمل اسم النظام. وكان معنى النظام عندهم عودة الامور كسابق عهدها ايام لويس فيليب. وفي هذه الاجواء تم تنظيم الانتخابات. وللمفاجاءة لم يحصل الثوارسوي على مقعد واحد واحد  في داخل المجلس التاسيسي  وكانت حصة الاسد لصالح حزب النظام وللقوى المعتدلة.  فشعر الثوار بخيبة الامل. وكانت الثورات الاوربية في بلاد اخرى قد بدأت في الحدوث .فاخذ الثوار يضغطون على الحكومة من اجل دعم تلك الثورات وخصوصا ثورة بولندا.

وتغيرت خريطة الثوار فبعد ان كانت تضم طبقة العمال والطبقات البرجوازية الصغيرة و الصناعية. وكانت لهذه الطبقات دورا مهما في ثورة 1848 وخصوصا طبقة البرجوازيين الصغار. تغيرت هذه الخريطة واصبح البرجوازيون و العمال يقفون في صفين متضادين. فلقد رأى البرجوازيون ضرورة الاستقرار واهمية ان تدور عجلة الحياة مرة اخرى. وخصوصا البرجوازيون الصغار اللذين كانوا على وشك الافلاس او افسلوا بالفعل.

ثم اصدرت الحكومة في شهر يونيو قرارا بالغاء ورش العمل الوطنية فثارت ثائرة العمال فخرجوا الى الشوارع ونصبوا المتاريس وقطعوا الطرق. وقامت حرب شوارع بين الثوار وقوات الجيش اللذي وصل عدد قواته الى اكثر من 120 الف. ووقف البرجوازيون وخاصة الصغار كما قلنا على الجانب المقابل وتم القضاء على هذه الانتفاضة. وكانت هذه الحادثة اشارة الى ان الثورة قد انتهت. والمفاجاءة انه بعد ان هدأت الامور وبعد ان بذل البرجوازيون الصغار جهدا ضخما في القضاء على انتفاضة العمال وجد البرجوازيون الصغار انفسهم في مقابل دعاوى قضائية لرد الديون اللتى عليهم واللتى هي واجبة السداد الان. وكان معظم هولاء عاجزين عن دفع ايجار محالهم منذ بداية الاحداث من الشهر الثاني. وفشلت كل المحاولات لجدولة ديون هؤلاء البرجوازيين الصغار على اعتبار ان الاحداث الثورية كانت السبب الاساس خلف تعثر هؤلاء الافراد. وكان سبب هذا الفشل تعنت البرجوازيين الماليين ووجودهم القوي في المجلس التأسيسى والحكومة. فافلس هؤلاء البرجوازيون الصغار و اضطروا مرة اخرى الى العودة الى صفوف العمال من اجل البحث عن عمل مقابل اجر.

وهنا فقدت شريحة كبيرة من القوى اللتى قامت بالثورة مكانها. ثم اقيمت الانتخابات الرئاسية في شهر ديسمبر عام 1848 وكان هناك 4 مرشحين متنافسين اهمهم لويس بونابرت وهو كان ابن اخى نابليون بونابرت. وكان دكتاتورا متسلطا ولكن الناس رأت ان الامان مع دكتاتور قادر خير من عدم الامان مع الثورة. وحصلت الانتخابات وحصل بونابرت على4 اضعاف عدد الاصوات اللتى حصل عليها اقرب منافس له. وكان اسم عائلته بونابرت من عوامل نجاحه فلقد اختاره دعاة الملكية ومعظم افراد الجيش وكل الفلاحين. وتم انتخاب مجلس وطنى ذو سلطات مع نابليون. وبعد 3 سنوات حل لويس بونابرت هذا المجلس رغم ان سلطاته الدستورية لم تكن تسمح له بذلك واعلن نفسه امبراطوارا للبلاد واطلق على نفسه اسم نابليون الثالث.

في عام 1848 اندلعت في قارة اوروبا ثورات شعبية هائلة. و اطلق المؤرخون على هذه الثورات اسم ثورات ربيع الشعوب. وقد كانت هذه الثورات  تحمل اهدافا نبيلة و قامت بها الشعوب الاوروبية لانها لم تكن راضية عن الوضع العام في ذلك الوقت. فقد اصابت الدول الاوروبية في تلك الفترة حالة من الجمود السياسى و الاجتماعى بينما مرحلة الثورة الصناعية كانت قد بدأت بالفعل. وقد شملت هذه الثورات 50 بلدا مختلفا دون تنسيق ما بينها. فقد انتشرت الثورات في هذه البلاد كما تنتشر النار في الهشيم من فرنسا الى المانيا الى المجر الى الدنمارك الى بولندا حتى ان روح هذه الثورة قد وصلت الى البرازيل في العالم الجديد.

وحقق الثوار في بداية الامر نجاحات ساحقة واستطاعوا في معظم الاحوال الامساك بزمام الامور. ولكن لم يكد عام 1849 ان ينصرم الا وقد استعادت قوى النظام القديم والثورة المضادة سلطانها مرة اخرى وتمكنت من بسط نفوذها بالكامل على أرجاء البلاد وكأن امرا لم يكن.

واذا اردنا ان نستعرض تاريخ تلك الثورات فلابد ان تكون حكمتنا ابحث عن فرنسا! فهناك مثل اوروبي يقول اذا عطست فرنسا فان اوروبا تصاب بنزلة برد. فاول بلد قامت به ثورة شعبية في التاريخ كان فرنسا  وكانت دائما هي السباقة في صنع الثورات و الاحداث الجسام. والمفاجئ في ثورات 1848 ان شرارة البدء في هذه المرة لم تنطلق من فرنسا ولكنها انطلقت من بلد صغير جدا وهو جزيرة صقلية الايطالية حين استطاعت في يناير عام 1848 القيام بثورة على حكم اسرة البوربون واسست دولة استمرت 16 شهرا ووضعت خلالها دستورا رائعا. وكان لما فعله الصقليون تأثير بالغ على الفرنسيين اللذين شعروا بالحماسة و الغيرة من ان الصقليين سبقوهم فقام الفرنسيون بثورتهم الثالثة في فبراير عام 1848 و طبعا كان الفرنسيون قد قاموا بصنع ثورتين قبل ذلك في اعوام 1789 و 1830. وعندما سقط حجر الدومينو الفرنسى الثقيل تتابعت احجار الدومينو الاوربية في السقوط. واليوم سنتعرض باختصار للثورات الاوربية في عامى 1848 و 1849 وفي المرتين القادمتين سنحاول التعرف بشىئ من التفصيل على حالتى فرنسا و المانيا خصوصا.

وفي البداية احب ان استعرض الخريطة السياسية الاوروبية و الوضع العام في عام 1848  من وجهة نظر كل من الملوك والحكام الاوروبيين من طرف و الشعوب نفسها من الطرف الاخر. فمن ناحية الحكام والملوك نجد ان  حدوث الثورة الفرنسية الاولى في عام 1789 قد غير الكثير من الاوضاع القائمة. فالفرنسيون قد تمكنوا من انشاء جمهوريتهم الاولي بعد الاطاحة بملكهم واعدامه بعد ذلك . الا ان الثورة الفرنسية قد تخبطت في مسارها وانتهى بها الحال بعد 10 سنوات بان قام نابليون بونابرت بتنصيب نفسه امبراطورا على فرنسا فاصبح لفرنسا امبراطوارا بعد ان كان لديها ملك. ولكن مع ذلك اجبر الوضع الجديد الملوك الاوربيين على القيام ببعض الاصلاحات في ممالكهم خوفا من قيام ثورات مشابهة للثورة الفرنسية في بلادهم وعلى طريقة بيدي لا بيد عمرو. ولكن بعد مرور السنوات وهدوء الوضع قليلا حاول الملوك الاوربيون بشتى الطرق اعادة الوضع القديم مرة اخرى. ففى عام 1815 قام حكام روسيا و النمسا وبروسيا بانشاء ما يعرف باسم الحلف المقدس اللذي يهدف الى اعادة نظم الحكم الشمولية السلطوية اللتى كانت قائمة قبل الثورة الفرنسية مرة اخري و اتففوا على  ابراز ان حكم هؤلاء الملوك حقا الهيا لايمكن منازعته. وقد انضمت  فرنسا نفسها الى هذا التحالف  في عام 1818. وكان هؤلاء الملوك يهدفون من ضمن ما يهدفون اليه اعادة النظام الاقطاعى القديم وتقسيم المجتمع الى 3 طبقات غير متساوية في الحقوق مرة اخري. وكانت ابرز الاسر الحاكمة هي اسرة البوربون الحاكمة في اسبانيا واجزاء اخري من اوروبا كصقلية ثم كانت هناك اسرة الهابسبورج النمساوية اللتى كانت تحكم النمسا و المجر واجزاء من المانيا واوروبا الشرقية. ثم كانت هناك قوة عسكرية صاعدة لايستهان بها في برلين في مملكة بروسيا الالمانية. وهذه الاسر هي محور احداث موضوع اليوم. بالطبع كانت هناك في اوروبا قوي اخرى كروسيا و انجلترا و الدولة العثمانية لكن هذه الدول لم تتأثر بثورات 1848 ولذلك فهى لا تعنينا اليوم.

اما بالنسبة للشعوب فعلى اختلاف طبقاتها  فانها كانت رافضة للاوضاع القائمة في ذلك الزمان. فهذا العهد كان بداية  الثورة الصناعية. وظهرت طبقة من رجال الاعمال البرجوازيين اصحاب الثروات الضخمة اللذين لم يكونوا من النبلاء وضاقهم استئثار الطبقة السياسية الحاكمة بالامر دون اعطاء فرصة لسواهم في المشاركة في الامر. كما ان اقكار الكتاب التنويريين كانت منتشرة وكان من المستحيل اخلاقيا الدفاع عن النظام الاقطاعى البغيض  اللذي يقوم على أن سيد يملك فدادين واسعة من الاراضي  يعيش عليها فلاحون يقضون طوال حياتهم في دفع الاتاوات والضرائب لصاحب هذه الارض. كان ايقاع الثورة الصناعية سريعا بينما كانت هذه المجتمعات قد اصابها الجمود. كانت الشعوب تريد دستورا ينظم حياتها و لايجعل الحكام يستبدون بالامر. فلييقى هؤلاء الملوك ولكن على الاقل يجب انشاء ملكيات دستورية وانتاج  دستور ينظم العلاقات الحاكمة بين الاطراف المختلفة. كانت الشعوب تريد ان تشارك في الحياة السياسية و كانت تريد ان تحصل على حق الانتخاب و التصويت من اجل اختيار ممثلين عنهم يدافعون عن مصالحهم. كانت الافكار الاشتراكية وافكار العدالة الاجتماعية تداعب خيال الكثيرين. كما كانت الشعوب تريد حكما اكثر ليبرالية تكون فيه حرية الصحافة وحرية التعبير مكفولة. كانوا يريدون للرقابة ان تنتهى وكانوا يريدون تقليلا لسلطات الدولة و الكنيسة وتوسيعا لحريات الافراد. كما كانت هناك الكثير من القوميات و الشعوب اللتى تريد الوحدة او الاستقلال. فالالمان كانوا مبعثرين في ممالك متعددة وكانوا يريدون انشاء وطنا يجمعهم وكذلك كان الايطاليون اللذين كانوا محتلين من قبل النمسا وكذلك كانت المجر وبولندا ورومانيا والتشيك.

ونضيف الى ذلك ان الاعوام السابقة شهدث ازمة اقتصادية خانقة. فبسبب الظروف الجوية السيئة فسد المحصول وندرت المواد الغذائية واصبحت باهظة الثمن. وكان العامل يعمل 15 ساعة يوميا ويصرف نصف دخله على الغذاء اللذي كان عبارة عن خبز وبطاطس. وكانت نسبة المتعطلين عن العمل عالية. باختصار كان الوضع لا يحتمل والتذمر بلغ مداه.

وفي يناير في عام 1848 وكما قلنا من قبل استطاع الصقليون انتزاع استقلالهم و اعلان دولتهم. وفي الشهر التالى قام الفرنسيون بثورتهم و اعلنوا الجمهورية الفرنسية الثانية واختارو لويس بونابرت ابن اخو نابليون بونابرت حاكما للبلاد. ثم في الشهر اللذي يليه شهر مارس قام الالمان اللذين كانوا يريدون انشاء دولة تجمعهم بعمل ثورتهم فتجمعوا في البرلمان في فرانكفورت ليعلنوا عن مشروعهم لوحدة المانيا. وفي اسابيع قليلة عمت الثورة ارجاء البلاد ورضخ جميع الملوك فلم يكن هناك اي بديل اخر سوى قبول طلبات الشعوب. وفي مملكة بروسيا هرب قائد الجيش البروسى المتعجرف واللذي كان اخا لملك بروسيا خارج البلاد. واضطر ملك بروسيا لاعلان موافقته على طلبات الثوار اللذين كانوا يطالبون بعمل دستور ينظم الحياة في دولة ملكية دستورية. وكذلك كان الحال في النمسا فبعد ايام قليلة من اندلاع الثورة في فيينا هرب الملك من العاصمة فيينا كما هرب ميترنخ المستشار الحديدي الى خارج البلاد. فلم يكن هناك من سبيل لايقاف هذا الطوفان الشعبى الجارف وكذلك كان الحال في المجر وبولندا والدنمارك وبلاد التشيك. فقد كانت معظم بلاد قارة اوروبا في حالة ثورة نثتثني من ذلك انجلترا و روسيا واسبانيا وبلجيكا والدولة العثمانية.

ولكن هذا الانتصار الثوري لم يستمر طويلا. فالحقيقة ان الملوك عندما قبلوا بطلبات الثوار انما كان هذا لكسب الوقت وتنظيم الصفوف والتخطيط لفعل ما. فقد اخذوا في اثارة النعرات القومية عند الاقليات وخصوصا في البلاد اللتى تحتوي على اعراق مختلفة كما في حالة المجر. كما ان القوة العسكرية حافظت على ولائها للملوك ورفضت النظام الجديد. كما ان الثوار لم تكن عندهم قوة عسكرية يدافعون بها عن انفسهم خصوصا عندما يتعرضون لغزو خارجي. وهكذا انهار الحلم الالمانى عندما احتلت جيوش الدنمارك بعض الاراضى الالمانية ورفض ملك بروسيا التدخل لحماية هذه الاراضى. فادرك المثقفون والمفكرون والاساتذة المجتمعين في البرلمان في فرانكفورت انهم لاحول لهم ولا قوة. كما ان الثوار انفسهم يتحملون قسطا كبيرا من مسئولية فشل ثورتهم. فقد كانوا فى البداية متوحدين ومجتمعين على نفس الاهداف على الرغم من الاختلاف فيما بينهم في الايدولوجيات والرؤى. الاانهم عندما شعروا بانتصارهم في البداية اختلفوا وتناحروا وانقسموا الى ليبراليين ويساريين فخسروا جميعا. وادركوا ذلك فى النهاية فعادوا ووحدوا صفوفهم واتفقوا على نفس الاهداف لكن كان ذلك بعد فوات الاوان.

في عام 1849 استعادت اسرة البوربون الحكم في صقلية مرة اخرى. ثم قام لويس بونابرت بالانقلاب على الثورة واعلن نفسه امبراطورا جديدا لفرنسا. كما انهار الحلم الالمانى في توحيد المانيا في  دولة حديثة. ولكن تمت الوحدة بعد ذلك بعد فترة قصيرة ولكن ليس عن طريق افكار المفكرين و المثقفين ولكن عن طريق بسمارك مستشار مملكة بروسيا وبسياسة الحديد والنار. وانهارت القوات المجرية اخر معاقل الثورة الباقية امام القوات النمساوية.

وكانت نتيجة الثورات وقوع عدد كبير من القتلى والجرحى وقامت حروب اهلية في عدد من البلاد. بل حروب دولية بين دول وبعضها. وتم اعدام كثير من الثوار وفر عدد كبير منهم الى خارج البلاد وخصوصا الى الولايات المتحدة الامريكية. وكان يطلق على هذا الفوج الضخم من النازخين مهاجرين 48 . ومن اشهر الفارين كارل ماركس الالمانى مؤسس الشيوعية اللذي حصل على لجوء وعاش في انجلترا حتى مات هناك. ولكن على الجانب الاخر كانت لهذه الثورات انجازاتها. فهي كانت علامة فارقة في التاريخ الاوروبى. صحيح انها كانت معركة خاسرة الا انها لم تكن نهاية الحرب. فهي كانت رسالة واضحة ان التغيير قادم ولو بعد حين. ومن رمزيات تلك المرحلة ان العلم الالمانى الحالي بالوانه الاحمر و الاسود و الذهبي كان هو علم الثوار الالمان في تلك المرحلة.

الجمهورية هي احد اهم اعمال افلاطون الفلسفية والادبية. وهذا العمل يقع في عشرة كتيبات. وكما  هو واضح من العنوان فان هذا العمل ينتمى الى ميدان الفلسفة السياسية. ولكنه ينتمى ايضا و بشكل اقوي الى ميدان فلسفة الاخلاق كما انه يحتوي على اهم الانجازات التاريخية في ميدان الميتافيزيقا حيث انه يحتوي على نظرية المعرفة لافلاطون. ولم تكن السياسة هي هدف افلاطون الرئيسي من وراء هذا العمل ولكنه اراد ان يوضح اهمية الاستقامة والعدالة على مستوى السلوك الفردي. فاختار افلاطون ان يوضح ذلك عن طريق الدولة. لان الدولة تعتبر تكبيرا ميكروسكوبيا للفرد. فاراد افلاطون ان يستخلص النتائج و العبر من دراسة الدولة واسقاط تلك النتائح والاحكام على الفرد.
كانت قصة حياة سقراط استاذ افلاطون و الصراعات اللتى خاضها مع السفسطائيين وهم فلاسفة اثينا العظماء في ذلك الوقت هي الدافع وراء كتابة افلاطون لهذا العمل. و في البداية علينا ان ننتبه الى ان اسم السفسطائيين كان يعنى سابقا الحكماء ولكنه قد تغير معناه اليوم واصبح سلبيا. فالسفسطائى اليوم هو الانسان اللذي يجادل من اجل الجدال مع ان اطروحاته فارغة او انه لايملك اطروحات اساسا. وكان سقراط انسانا محترما ذا مبادئ لا يتزحزح عنها. وكان ايضا متواضعا  ينادي بالاستقامة والتزام جادة الحق مادام الى ذلك سبيل. والتف حوله شباب اثينا الاثرياء واعجبوا باطروحاته وبعلمه وبفصاحته وكان افلاطون احد هؤلاء الشباب اللذين التفوا حول سقراط. ولكن السفسطائيون غاروا من سقراط وكادوا له و اتهموه بانه يفسد شباب اثينا وانه ملحد يزدري الالهة ويسئ اليهم. وتم الحكم عليه بالاعدام وتم تنفيذ الحكم عن طريق تجرع كأس السم وكانت هي وسيلة الاعدام المتبعة لاعدام المواطنين  الاثينيين في ذلك الوقت.
وكان السفسطائيون في ذلك الوقت يرون ان من الحصافة ان يكسر الانسان القانون بشرط الا يفتضح امره. فالقانون هو من صنع الاقوياء. والعدل هو  ما يحكم به القوي ولاعزاء للضعفاء. والعدالة و الاستقامة  قيم فارغة و الدليل على ذلك سقراط اللذي عاش مستقيما امينا ثم حكم عليه بالاعدام. و الافضل بلا شك ان يعيش الانسان حياة انتهازية فيتحصل على اقصى ما يمكن ان يصل اليه طالما امن العقاب. فلو استطاع الانسان ان يحصل على نصيب اكثر من حقه فليفعل ذلك وهو بالتأكيد سيكون اكثر سعادة مما لو اكتفى بنصيبه فقط و اذا تمكن الانسان من امتلاك خاتما سحريا يجعله يختفى عن الانظار وبهذا يستطيع ان يأتى بجميع الاثام دون ان يفتضح امره ويظل في نظر الناس انسانا مستقيما شريفا فعليه الا يتردد و ان يستغل هذه الخاتم اسوأ استغلال. لانه بالتأكيد سيكون اكثر سعادة عندما تتعاظم مكتسباته وسيكون اكثر حظا من التعيس سقراط اللذي زرع وردا وجنى شوكا.
واراد افلاطون ان يضحض هذا الرأي و ان يبين خطأه و اراد ان يبين ان العدالة شئ ثمين وانها قيمة غالية ليس فقط في ذاتها بل لانها تحقق للانسان اللذي يتمسك بها مكسبا مباشرا عظيما  وتعود عليه بالخير الكثير.

يقول افلاطون ان سكان جمهوريته او اي دولة ينتمون الى 3 طبقات: طبقة الحكام و طبقة الحراس وطبقة العمال اللتى تشمل اصحاب الحرف اليدوية و الفلاحين. ويضع افلاطون خطة لاعداد وتهيئة كل طبقة من الطبقات الثلاثة التهيئة المثلى. ولكن افلاطون اهتم في كتابه بتهيئة الحكام و الحراس اكثر من طبقة العمال ولذلك يرى الكثيرون ان افلاطون كان نخبويا.

ويبدأ الاعداد للدولة الفاضلة منذ ولادة الافراد وبطريقة غريبة لا شك في غرابتها.  فتبدأ رحلة الاعداد  بالتخلص من المواليد المرضى و الضعفاء و لا يتم الاحتفاظ سوي بالمواليد الاصحاء الاقوياء. ويتم انتزاع الاطفال من امهاتهم حيث ان المسئول عن تربية الاطفال هي الدولة و لا توجد عائلة او اسرة في جمهورية افلاطون حتى لاتنشأ عصبيات اسرية  او قبلية. فالاطفال لا يعرفون لهم عائلة سوي الدولة ويتم تنشئة كل الاطفال سويا. ويتم اعداد خطة لكل فريق من الأطفال على حسب المهارات اللتى يظهرونها وبعد معرفة لاي طبقة سوف ينتمى هؤلاء الاطفال. فبعضهم سوف ينتمى الى طبقة الحكام و بعضهم سيكون من طبقة الحراس و الباقى سيكون من طبقة العمال. وعندما يكبر الاطفال شيئا ما يتم اخبارهم بما يطلق عليه الخداع النبيل. وهو ان يتم اخبار الاطفال ان الله قد خلقهم جميعا من الارض ولكن اثناء خلقه اياهم اضاف لكل واحد منهم معدن ما من معادن الارض. فالبعض اضاف الله له ذهبا وهؤلاء سوف يصبحون حكاما و البعض الاخر اضاف لهم فضة وهؤلاء سيصبحون حراسا و البعض الاخر اضاف الله لهم برونزا فهؤلاء سوف يصبحون اصحاب حرف يدوية و البعض اضاف لهم حديدا فسيصبحون فلاحين وعمال بسيطين. ويتم اخبار الاطفال ان الذكريات اللتى قد يحملها بعضهم عن مرحلة الطفولة وعن نشأتهم الاولي ما هي الا اوهام و احلام سخيفة. وفائدة الخداع النبيل ان تجعل الاطفال يقبلون اقدارهم  فلا يطمع انسان الى  ان يخرج من طبقته وينتمى الى طبقة اعلى  لان هذا مستحيل ومرتبط بالمعدن الموجود بداخله كما تجعل الاطفال يرتبطون بالارض لانها امهم كما انهم يرتبطون بباقى الاطفال لانهم اخوتهم.

ويوضح افلاطون انه يجب اعداد الاطفال اللذين سوف يصبحون حراسا اعدادا يكسبهم الشجاعة و الحماسة والاقدام. اما الاطفال اللذي سوف يصبحون حكاما فيجب اعدادهم اعدادا فسلفيا سليما ويتم تدريبهم على اعمال العقل و الحكمة ويجب تدريبهم على اصدار القرارات اللتى تفيد الجماعة واللتى هي بعيدة كل البعد عن المصلحة الشخصية. ويوصى افلاطون بان يتم عمل اختبارات و اغواءات كثيرة ومتعددة لهؤلاء الاطفال اثناء فترة الاعداد ليتم غربلتهم بشكل جيد ولا يتبقى فعلا الا هؤلاء الاطفال اللذين يتمتعون بالحكمة و القدرة على اتخاذ القرارات المفيدة للصالح العام وللمجتمع.

وعندما يكبر الاطفال ويشبوا فلا يسمح لهم بالزواج و تكوين اسر. ولانجاب الاطفال يتم في الاعياد و المناسبات عمل قرعة بين الرجال و النساء  لممارسة الجنس و انجاب الاطفال. ولكن حتى هذه القرعة لن تكون نزيهة بل هي مزورة فنتيجة القرعة قد اعدها الحكام مسبقا للحفاظ على نقاء الطبقات ولكي يتم ضمان انجاب اذكى واصح واقوى  الاطفال. فالشاب الذكي يتم اختيار شابة ذكية له حتى ينجبوا اطفال اذكياء وكذلك بالنسبة للرجل القوي يتم اختيار امراة ذات صحة ممتازة حتى يتم ضمان جودة النسل. ولكن لا يتم اخبار الشعب بحقيقة الامر حتى لايصابوا بالاحباط و تجرح مشاعرهم بل يتم اخبارهم ان هذه هي نتيجة القرعة وما قرره الحظ.

ويقول افلاطون ان الحكام في الدولة الفاضلة ينبغى ان يكونوا من الفلاسفة ويتعلل بذلك بنظرية مملكة الافكار. وهذه النظرية هي اهم ما يميز افلاطون ويميز مدرسته الفلسفية وعندما نسمع بمصطلح الافلاطونيين فان المقصود يكون تحديدا من يؤمنون بنظرية مملكة الافكار او مايشابهها. ويمكن توضيح هذه النظرية كالتالى: اذا تخيلنا طاولة ما. فاننا نعلم ان للطاولات اشكال مختلفة بعضها مستدير والاخر مربع و الاخر مستطيل او غير ذلك من الاشكال.و بعضها يمتلك ثلات قوائم و البعض يمتلك اربع قوائم والبعض الاخر غير ذلك. لكن المهم انه عندما يشاهد اى انسان اى طاولة فانه يدرك فورا ان هذه طاولة. ولكن لماذا؟ هنا يقول افلاطون بان هناك طاولة مثالية وهي عبارة عن فكرة موجودة في العقل وكل الطاولات الموجودة في الحياة ماهى الا محاولات لتقليد الطاولة المثالية الموجودة في عالم الافكار. اذن ففكرة الطاولة موجودة وجودا حقيقيا وهذه الفكرة خالدة لا تزول و لاتتغير او تتبدل مع الزمن مع ان كل اشكال الطاولات في حياتنا تتغير وتتبدل لانها زائفة ومجرد تقليد. ومن الاشياء المهمة ايضا  فكرة الخير. فالخير فى حياة البشر منبثق من فكرة الخيرالمطلق وهي فكرة موجودة وجودا حقيقا في عالم الافكار وكل محاولات الفلاسفة لادراك الحقيقة وطلبها منبعثة من هذه الفكرة النبيلة الاساسية ولو لم يكن الخير المطلق موجودا لما دري الانسان شيئا عن عالم الافكار وبقى هائما على وجهه في دنيا الافكار المزيفة والتقليدات البائسة. وهنا يبرز دور الفلاسفة حيث انهم المحبون للحكمة الطالبون لها ولذلك هم اقرب الناس الى فتح ابواب عالم الافكار وفهم الاشياء على حقيقتها ولاينغروا بالزخرف الزائل في هذه الدنيا.

وفي هذا الجزء من العمل يكتب افلاطون العمل الرائع المعروف باسم كهف افلاطون اللذي يوضح عالم الافكار ونظرية المعرفة ويفصل دور الحكماء و الفلاسفة في اكتشاف الحقيقة وعجز من سواهم عن ذلك. وقد تعرضنا لكهف افلاطون في تدوينة سابقة. فمن يرغب في مراجعته مرة اخره فعلية مراجعة هذه التدوينة.

ولنفس السبب يرفض افلاطون الفن ويطرد الفنانين من دولته سواء كانوا رسامين او نحاتين او شعراء. ويعلل لذلك لسببين. .السبب الاول ان هؤلاء الفنانين يقلدون التقليد فيبعدون الناس عن ادراك الحقيقة اكثر واكثر. فعند افلاطون ان الله خلق فكرة الطاولة فى عالم الافكار ثم يأتى النجار فيحاول تقليد تلك الفكرة فينتج تقليدا مشوها وغير كاملا  ثم يأتى الفنان ويحاول ان يقلد التقليد مرة اخرى ولكنه  لن يستطيع ان يصنع ذلك بطريقة نستطيع ان نقول عنها انها كاملة فينتج مسخا يبعد الناس  اكثر و اكثر عن فهم الحقيقية. واما السبب الثانى فهو ان الفنانين يخاطبون غالبا الجانب النفسى غير الحكيم في النفس البشرية. فهم يلعبون دائما على وتر المشاعر والاحاسيس وهذا يؤثر بالتالى على سلامة اتخاذ القرار السليم. والطريف ان افلاطون نفسه كان من اقوي شعراء عصره.وكتب كل اعماله بصورة شعرية وادبية رائعة.

اما موقف افلاطون من المرأة فقد كان متطورا فقد قال ان المرأة يجب ان تحوز على جميع الحقوق كالرجل تماما وتشارك معه في نفس التدريبات بل وقال بأن المراة من الممكن ان تكون حاكمة وان كان قد استبعد ذلك. ولكنه مع ذلك ترك لها الباب مفتوحا لتأخذ فرصتها كاملة أن استطاعت. وكان هذا بالطبع موقفا ثوريا من جانب افلاطون حيث ان المرأة كانت في هذا الوقت اسيرة في بيتها محرومة من معظم الاشياء.

ونتيجة نظام الاعداد الذي تصوره افلاطون فان جمهوريته سوف تكون مثالية لانه سوف يتوفر فيها 4 خصال في غاية الاهمية. وهذه الاربع خصال هي: الحكمة وتأتى من طبقة الحكام اللذين تم اعدادهم كاحسن ما يكون. والخصلة الثانية هي البسالة وهذه الخصلة تأتى بصفة خاصة من طبقة الحراس اللذين تم اعدادهم بشكل مناسب. اما الخصلة الثالثة فهى التحكم في النفس وهي تاتى من الطبقة الثالثة و من السيطرة عليهم مما يعنى السيطرة على الغرائز و الشهوات وذلك يكون عن طريق قرارات الحكام الحكيمة والمتوازنة.  ويتم ضمان تنفيذ تلك القرارات عن طريق طبقة الحراس. اما الخصلة الرابعة وهي العدل. ومعنى العدل عند افلاطون هو التناغم بين طبقات الجمهورية وان كل طبقة تصنع ماهي مهيأة له. وهذا هو معنى  العدل عند افلاطون.

ثم يضرب افلاطون اربعة امثلة لنظم حكم سيئة ومريضة. وهذه النظم هي الدولة الدكتاتورية اللتى تسيطر فيها طبقة الحكام على باقى الطبقات والمثال الثاني السئ هو الدولة العسكرية وفيها تستبد طبقة الحراس بالسلطة ومثال لذلك دولة سبارطة العسكرية. والمثال الثالث هي دولة الاغنياء اللتى يسيطر فيها التجار واصحاب الثروات على السلطة. اما المثال الرابع فهو الدولة الديموقراطية اللتى كان افلاطون يراها نظاما سيئا!! لماذا؟ لانها تعنى سيطرة الاغلبية من طبقة العمال على السلطة. ومعنى ذلك ان الشهوات والغرائز ستكون عنوان هذه الدولة. حيث ان الحاكم سيحاول ان يتقرب الى شعبه عن طريق ارضاء شهواتهم ولكنه لن يتخذ القرارات السليمة. ثم ان الحاكم في النظام الديموقراطى صديق للشعب منافق لهم ولكنه لم يتم اعداده الاعداد اللازم لكي يشغل هذا المنصب.

ثم نصل الان الى مستوى الفرد فيري افلاطون ان الفرد هو نموذج مصغر للدولة. فالنفس البشرية تتكون من 3 اجزاء و العلاقة بين هذه الاجزاء تحدد السلوك العام للفرد. والجزء الاول في النفس البشرية هو الجزء الخاص بالحكمة والجزء الثانى خاص بالغضب والشجاعة و الاقدام والجزء الثالث خاص بالشهوات و الغرائز. وهذه الاجزاء الثلاثة تتنازع فيما بينها. فاحيانا يرغب الانسان في عمل اشياء مع انه يدري انها مضرة وفيها خسارة له. والفيلسوف هو من يجعل الجزء الخاص بالحكمة ينظم حياته ويرتبها فيعطى لكل جزء من نفسه نصيبا. والخصال الاربعة السابق ذكرها في الدول: الحكمة و الشجاعة و التحكم في النفس و العدل موجودة ايضا لدي الانسان. واهم هذه الخصال الخصلة الرابعة لانها تضمن تحقق الخصال الثلاثة الاولى وبصورة متناغمة. فكل جزء من اجزاء النفس البشرية مع تحقق العدالة يحصل على نصيبه كاملا.  وبلا شكل فان هذا الانسان المتحققة فيه صفة العدالة يكون في قمة السعادة ومنسجما مع نفسه. وهنا يصل افلاطون الى النتيجة اللتى كان يبتغيها . فلقد توصل الى ان العدالة لها قيمة في ذاتها ولكنها تحقق ايضا للفرد السعادة والتوازن و الانسجام.

كان هذا عرضا سريعا لجمهورية افلاطون. واما اهم الانتقادات اللتى و جهت الى هذا العمل انه غير انساني خاصة ما يتعلق بقتل الاطفال المرضى و الضعفاء. كما ان برنامج افلاطون مملوء بالغش والخداع خاصة ما يتعلق بالخداع والنبيل وتزوير قرعة التزاوج. كما انه بنى فكرته على عالم الافكار اللذى لايؤمن بها كل الناس. وبدون هذه الفكرة تسقط كثير من نتائج افلاطون كازدراء الفن و طرد الفنانين من الجمهورية. كما تسقط بذلك ايضا حتمية ان الفلاسفة هم وحدهم من يصلحون للحكم و انهم اجدر من يكونوا ملوكا.

قانون اويلر

سيعلم الجمع من ضم مجلسنا
بأننى خير من تسعى به قدم
انا اللذي نظر الاعمى الى ادبي
واسمعت كلماتى من به صمم
الخيل والليل والبيداء تعرفنى
والسيف والرمح والقرطاس والقلم

على غرار هذه الابيات الرائعة للمتنبى اخال قانون اليوم يفاخر بنفسه مزهوا. فقانون اليوم هو ابيات شعر رياضية موزونة ومقفاة. ويشعر بجمال قانون اليوم كل من له نصيب في الاحساس بالجمال حتى وان كان المامه بالرياضيات يسير. فهو علاقة تجمع الثوابت الاساسية في الرياضيات في قانون واحد. ولم يكن المرء ليتخيل انه بالامكان جمع كل تلك الثوابت في علاقة واحدة بديعة كهذه. وقد كتبت كتب عديدة عن كل واحد من هذه الثوابت على حده فهي كالاحجار الكريمة و الآلئ اللتى اصطفت في تاج هو قانون اليوم الموضوع على قمة النظريات الرياضية الاكثر جمالا.

ومكتشف قانون اليوم هو السويسري اويلر Euler اللذي تعرفنا عليه في نظريتين من قبل. فقانونه اليوم هو ثالث قانون له في النظريات العشر الاكثر جمالا بل النظريات الخمس الاكثر جمالا على وجة الدقة. وفيما يلى نتعرف على الثوابت اللتى ظهرت في قانون اليوم بشئ من التفصيل:

اولا الصفر. وهو عدد ساحر وهو العدد المحايد الجمعى. فاذا جمعنا اي عدد على الصفر فتكون النتيجة هي العدد نفسه دون تغيير. والعدد صفر لا غنى عنه في الرياضيات وقد احتل مكانة بارزة لا يتزحزح عنها بعد ان كان عددا مرفوضا من قبل الفلاسفة اليونانيين لانه كان عددا عبثيا يثير الفوضي والخوف و الفزع. كما انه كان مرفوضا من قبل رجال الكنيسة الغربية في العصور الوسطى لانه كان من وجهة نظرهم هرطقة وكفر. ولكنه في النهاية تبوأ مكانته اللتى لا يضانيه فيها الا توأمه الاخر وللذي للاسف لم يظهر في علاقة اليوم: المالانهاية!

ثانيا العدد واحد. وهو المحايد الضربي بمعنى اننا اذا ضربنا اي عدد في واحد فسوف تكون النتيىجة العدد نفسه. والعدد واحد هو اول الاعداد الطبيعية كما انه العدد اللذي تقبل كل الاعداد الطبيعية الاخرى القسمة عليه بدون باق. بينما هو لايقبل القسمة سوي على نفسه فقط. وهو مع ذلك ليس عددا اوليا. و الرقمان صفر و واحد لاغنى عنهم في اي نظام رياضي بينما باقى الارقام الاخري من 2 الى 9 يمكن الاستغناء عنها. صحيح انها مفيدة ولكنها ليست ضرورية. وخير دليل على ذلك جهاز الحاسوب اللذي امامك فهو لا يعرف سوي رقمين فقط هما الصفر و الواحد وهو مع ذلك يقوم بكل العمليات الحسابية بمنتهي الدقة. وفائدة الاعداد من 2 الى 9 تأتى في انها تختصر الحيز اللازم للتعبير عن الاعداد. فمثلا العدد 9 يحتاج في النظام العشرى الى موضع واحد اما في النظام الثنائى فان العدد 9 يأخذ هذه الصورة 1001 اي انه يحتاج الى 4 مواضع ليعبر عن نفس القيمة.

ثالثا الثابت ط. وهو ثابت الدائرة ويعبر عن النسبة الثابتة بين محيط الدائرة وقطرها. وقد تعرضنا لهذا الثابت مرتين من قبل وعلمنا ان الثابت ط عدد متسامى وغير نسبي. ولن نتعرض للعدد ط مرة اخرى اليوم ونحيل من يرغب في المزيد من المعلومات عن العدد ط الى نظريتي المركزين الثامن و الخامس.

رابعا الثابت e وهو يساوي تقريبا 2.7 . وهذا العدد  هو ايضا عدد متسامى وغير نسبى كالثابت ط تماما. وبالتالى فان عدد ارقام الثابت e بعد العلامة العشرية هو مالانهاية. وقد تمكن الرياضيون حتى الان من تحديد اول تريليون رقم بعد العلامة العشرية. ومن هنا نري اهمية ان نرمز لهذا العدد بالحرف e لاننا من المستحيل ان نكتبه كاملا. ولانعرف على وجه التحديد سبب اختيار الحرف e كرمز لهذا العدد ولكن من الجائز انه يكون مأخوذ لأنه الحرف الاول في اسم Euler مكتشف هذا العدد ومكتشف قانون اليوم. وهذا العدد يعرف بانه اساس اللوغاريتمات الطبييعة ولكن تعريفه الرياضي الدقيق ينبع من قانون حساب الفائدة البنكية المركبة. فكيف ذلك؟ لو تخيلنا اننا اودعنا دولارا في بنك يعطى فائدة 50% اي 0.5 فاننا بعد عام ستصبح قيمة الدولار

1.5 = (1+0.5)*1

أي دولارا ونصف وبعد عامين اذا تركنا المبلغ برمته في البنك ولم نسحب منه شئ فسوف تصير القيمة:

2.25 = 2^(1+0.5)*1 =(1+0.5)*(1+0.5)*1

والان اذا افترضنا ان البنك يعطى فائدة 100% او 1. فاننا بعد سنة سوف نحصل على

2=(1+1)*1

واذا افترضنا الان ان البنك لا يوزع الفائدة مرة واحدة في نهاية العام 100% ولكنه يوزعها على مرتين كل مرة 50% فاننا نحصل في نهاية العام على القيمة التالية:
2.25 = 2^(1+1/2)*1

واذا افترضنا ان البنك يوزع الفائدة كل 12 شهر فان القيمة سوف تكون:

2.613 =12^(1+1/12)*1

واذا افترضنا ان البنك يوزع الفائدة يوميا فان القيمة سوف تكون:
2.715 = 365^(1+1/365)*1

وهكذا فاننا نقترب تدريجا من قيمة الثابت e واللتى سوف نصل اليها تماما عندما يوزع البنك فائدته لحظيا او ان

e=lim(1+1/n)^n
وذلك عندما تئول قيمة n الى مالانهاية.

خامسا العدد i وهو عدد تخيلي ويساوي جذر ناقص واحد بمعنى ان:

i^1= i  , i^2 = -1   , i^3=-i  , i^4=1
i^5=i    , i^6=-1   , i^7=-i  , i^8=1

وهكذا دواليك!

وقد يتسأل اللانسان عن هذه الاعداد التخيلية ومن اين اتت؟ الاجابة الاعداد التخيلية مثلها مثل باقى الاعداد تنبع من كونها  حلولا ممكنة  للمعادلات المختلفة.

فمثلا المعادلات:
x-1= 0
x+1=0
2x-1=0
x^2-2=0

حلولها هي كالتالى: حل المعادلة الاولي 1 وهو عدد طبيعى اما حل المعادلة الثانية فهو ناقص واحد وهو عدد صحيح اما حل المعادلة الثالتة فهو 1/2 وهو عدد نسبى اما حل المعادلة الرابعة فهو احد امكانيتين اما جذر 2 او سالب جذر 2 وهما عددان حقيقيان. لكن ماذا عن المعادلة التالية :

x^2 +1 = 0
?

نستطيع ان نكتب المعادلة السابقة على هذه الصورة:

x*x = -1
ومن هنا نري ان الحل لايمكن ان يكون عددا حقيقيا لان هناك 3 احتمالات لقيمة x اما قيمة موجبة او قيمة سالبة او صفر. لكن الصفر  ليس حلا لهذه المعادلة . كما ان x لايمكن ان يكون موجبا لان موجب ضرب موجب يعطي موجب. كما انه لايمكن ان يكون ايضا سالبا لان سالب ضرب سالب يعطي مرة اخرى موجب. اذن حل المعادلة المذكورة لا يمكن ان يكون عددا حقيقيا. ومن هنا جاء اختراع الاعداد التخيلية.

في البداية اعترض بعض الرياضيين و الفلاسفة على الاعداد التخيلية وقالوا انها مستحيلة او انها عبث لاطائل من ورائه. ولكن الاعداد التخيلية اثبتت لنا اليوم انها في غاية الاهمية ولايمكن الاستغناء عنها وهي تستخدم في الفيزياء بشكل اساسى خصوصا في ميادين الكهرباء و فيزياء الكم و النظرية النسبية. ولكن حتى في مجال الميكانيكا الكلاسيكية فالاعداد التخيلية موجودة بقوة فهي تظهر في قوانين الاهتزاز.

ومن هنا فكما ان مجموعة الاعداد الصحيحة تشمل مجموعة الاعداد الطبيعية وكما ان مجموعة الاعداد النسبية تشمل مجموعة الاعداد الصحيحة وكما  ان مجموعة الاعداد الحقيقية تشمل مجموعة الاعداد النسبية فاننا بامكاننا ان نقول ان هناك مجموعة اعم من مجموعة الاعداد الحقيقية وهي مجموعة الاعداد المركبة. وهي اعداد تتكون من جزأين او  عددين: عدد حقيقي و اخر تخيلي. ولكن ليست مجموعة الاعداد المركبة نهاية المطاف فهناك مجموعة  اعداد اعم وهي الكواترينيونات ولكن هذا موضوع اخر.

اما برهان هذا القانون فينبع من التعويض في القانون

e^ix = cosx + i sinx

بالقيمة PI  في x فنحصل على:

e^i*PI = -1
e^i*PI +1 = 0

ومن هنا نحصل على برهان القانون الرائع اللذي ابهر المتصوفين والفلاسفة والعلماء و الرياضيين  كل على حد سواء.

نتعرف اليوم على قانون المركز الثانى. و للمرة الثانية نتعرف على قانون ينتمى لميدان الهندسة الفراغية. وقد كانت المرة الاولى عندما تعرضنا لقانون المركز الرابع واللذي يفيد بأن عدد الاجسام الافلاطونية هو خمسة. كما ان هذا القانون هو ايضا ثانى مرة نتعرف فيها على قانون منسوب لأويلر حيث كانت المرة الاولى عندما تعرضنا لقانون المركز الخامس الخاص بالعدد ط. ومن قبيل المصادفة الطريفة ايضا ان قانون اليوم يحتوي على العدد 2 في الطرف الثانى من المعادلة. فقانون اليوم يقول ان:
V-E+F=2
حيث ان V هو عدد اركان الجسم الفراغى المحدب وهو مشتق من الكلمة الانجليزية vertex
و E هو عدد حواف الجسم الفراغى المحدب وهو مشتق من الكلمة الانجليزية edge
و F هو عدد اوجه الجسم الفراغى المحدب وهو مشتق من الكلمة الانجليزية face
وفيما يلى نتعرف على القانون بشئ من التفصيل.

في ميدان الهندسة المستوية من السهل علينا ملاحظة خواص الاشكال المختلفة فالمثلث له 3 اضلاع و 3 زوايا و المربع له 4 اضلاع و اربع زوايا وكذلك الحال بالنسبة الى المخمس فله 5 اضلاع و 5 زوايا الي اخره. ولكن اذا  انتقلنا الى ميدان الهندسة الفراغية فان الموضوع لن يكون بهذا الوضوح! نعلم ان الاجسام الفراغية لها عدة سطوح او اوجه. واذا تقاطع وجهان في خط فاننا نطلق على هذا الخط حافة. واذا تقاطعت ثلاثة اسطح على الاقل في نقطة فاننا نطلق على هذه النقطة ركن. اذن الاوجه و الحواف و الاركان هي كلها خواص وسمات واضحة للاجسام الفراغية فهل توجد علاقة بسيطة تربط كل هذه المكونات والصفات الرئيسة ببعضها؟ الاجابة هى نعم. وقانون اليوم يتعامل تحديدا مع هذا السؤال ويقول بانه بالنسبة لاي جسم فراغي محدب سواء كان منتظم ام لا فاننا اذا جمعنا عدد اركان هذا الجسم زائد عدد اوجهه ثم طرحنا من النتيجة عدد حوافه فان النتيجة تكون دائما 2! مثال لهذا المكعب: فالمكعب يحتوي على 8 اركان و 6 اوجه اذن فالمجموع هو 14 فاذا طرحنا عدد حواف المكعب وهو 12 تكون النتيجة 2. و اذا اردنا دراسة اجسام اكثر تعقيدا من المكعب كما الجسم في الرسم فان النتيجة سوف تكون هي نفسها.

عدد الاوجه 32 و الاركان 60 و الحواف 90

اول من توصل الى هذا القانون كان الفيلسوف و الرياضى و الفيزيائي الفرنسي ديكارت René Descartes في القرن السابع عشر. ولكنه لم يستطع ان يبرهن هذا القانون. ثم ذكر ليونيل اويلر هذا القانون في رسالة الى صديقه جولدباخ. ولكنه ذكر انه اكتشف هذا القانون بالنسبة لاي شبكة مسطحة متصلة من الخطوط. وفي الحقيقة فان هناك طريقة معينة نستطيع بواستطها ان نفرد اى جسم فراغى محدب الى شبكة مستوية متصلة بحيث يكون لها نفس عدد الاركان و الاوجه و الحواف. ومن هنا نري ان قانون اويلر للشبكات المتصلة ينطبق ايضا على الاجسام الفراغية المحدبة. و اليوم يوجد اكثر من 19 برهانا منفصلا لهذا القانون.

ومن الرائع ان نتفكر في امر التطور الفكري في ميدان الهندسة او الرياضيات عموما. فالهندسة المستوية لاشك انها بديعة و ساحرة. ولكن عندما ننتقل من الهندسة المستوية الى الهندسة الفراغية فان النقلة لن تكون سهلة. فالانسان يحتاج الى التعامل مع الهندسة الفراغية الى خيال اكثر وقدرة على التخيل اوسع منها في حالة الهندسة المستوية. وقد راينا في قانونين المرتين السابقتين كيف ان الخيال و العقل يتقابلان. ففى قانون الاجسام الافلاطونية الخمسة حسم العقل ان الخيال لن يمكنه ايجاد جسم افلاطوني سادس بينما فتح العقل للخيال الباب في ميدان الاعداد الاولية لتخيل اعداد اولية اكبر و اكبر. لكن في ميدان الهندسة فان هناك مفاجأة فالهندسة ليست مقصورة  على 3 ابعاد فقط.بل ان الهندسة تقول ان هناك فضاءات ذوات 4 او 10 او 100 بعد واكثر من ذلك بكثير. لكن كيف يمكن لنا ان نتخيل لنا اجسام تشغل ذلك العدد من الابعاد؟ في الحقيقة اننا لا يمكننا ذلك. فنحن لا يمكننا ان نتخيل اكثر من 3 ابعاد مكانية. اذن حيث يتوقف الخيال ويتعطل  تماما فان العقل مازال قادرا على اسقاط احكام قاطعة على هذه الاجسام ذوات الابعاد فوق الثلاثية   وبثقة رهيبة !!

ومن هنا نري ان التخيل هو اداة من ادوات العقل يستخدمها حينما يكون استخدامها مفيدا. وحين تبطل هذه الاداة او تعجز فان العقل يستخدم اداة او ادوات  اخرى للوصول الى هدفه. وقد تكون هذه الاداة الاخري هي اداة القياس او اداة التجريد حين يبحت العقل بشكل تصوفى حول الحقيقة المجردة خلف الاشياء: ماهو السطح المجرد او مامعنى حافة مجردة او معنى  مسافة او خط فعلا؟ والقدرة على التخيل هي نعمة رهيبة يمكن تشبيها بنعمة البصر. ولكن البصر ليست الوسيلة الوحيدة للادراك. لانه لو كان الامر كذلك لما كان من الممكن ان يصبح لطه حسين او لابي العلاء المعري اى شأن.

وفي النهاية نري ان قانون اليوم  بسيط وجميل حتى على مستوي صياغته. فاننا نري التناغم في بنائه فنرى ان الحد الاول له اشارة موجبة ثم الحد الثانى في المنتصف له اشارة سالبة ثم الحد الثالث و الاخير له اشارة موجبة مرة اخري.ولسهولة حفظ القانون نلاحظ ان الحد الاول وهوعدد الاركان. والركن هو نقطة اي ان عدد ابعاده صفر. ثم يأتى الحد الثانى اللذي يعبر عن الحواف .و الحواف هي خطوط لها بعد واحد.ثم يأتى الحد الاخير اللذي يعبر عن عدد  الاوجه. و الاوجه لها بعدان. لكن جمال القانون ليس مرتبط بشكله وصياغته فقط ولكنه كما نري له معنى عميق ويشى عن روح تصوفية في عالم الهندسة و الاشكال و الاجسام.

نظرية المركز الثالث تقول ان مجموعة الاعداد الاولية لانهائية. وقد برهن هذا القانون الرياضي الاغريقى الشهير اقليدس اللذي كان ينتمى الي مدرسة الاسكندرية المصرية وقد عاش في الفترة مابين 360 الى 280 قبل الميلاد. وقانون اليوم يتعرض للاعداد الاولية كما كان قانون المركز العاشر يتعرض للاعداد الاولية ايضا.

يتعلم التلاميذ في المدارس اول ما يتعلمون مجموعة الاعداد الطبيعية: 1 و 2 و3 و … الى اخره.  ومجموعة الاعداد الطبيعية هي مجموعة ساحرة. ففي الحقيقة فان الانسان  يبدو مفطورا عليها. فعندما تلقن طفلا صغيرا لم يبلغ مرحلة الدراسة بعد هذه الاعداد فانه يتقبلها فورا ولن يسألك ما معنى ثلاثة او خمسة  مع ان دأب الاطفال ان يسألوا عن كل شئ بماذا ولماذا. ولكن يبدو ان هذه الاعداد لها سر خاص. ولذلك يقول بعض الرياضيين السابقين وحتى الحاليين ان الاعداد الفعلية هي الاعداد الطبيعية بينما باقى الاعداد مصطنعة لا وجود لها فعلا لكنها مجرد وسائل مساعدة يستخدمها الانسان للوصول لهدف معين ثم يتخلص منها. اي انها مجرد وسيلة وليست هدف او حقيقة. ويقول كرون أيكر Kronecker الرياضى الالماني اللذي عاش في نهاية القرن التاسع عشر ومكتشف الدالة الشهيرة باسم دلتا: ان الله خلق الاعداد الصحيحة اما بقية الاعداد الاخري فهي من صنع الانسان.

وعندما يكبر التلاميذ شيئا ما ويبدأون في اجراء بعض العمليات الحسابية البسيطة كالجمع و الطرح ويحفظون جدول الضرب يعلمون ان هناك اعدادا اولية وهي عبارة عن مجموعة اعداد جزئية من  مجموعة الاعداد الطبيعية ولكنها لاتقبل القسمة سوي على نفسها فقط وعلى العدد واحد. وهذه الاعداد هي: 2 و 3 و5 و7 و 11 و 13و ….الى اخره. وبحكم التعريف فان 1 ليس عددا اوليا والاعداد الأولية تبدأ من 2 فيما فوق. وكذلك 4 ليس عددا اوليا لانه يقبل القسمة على عدد اخر بخلاف نفسه. فهو يقبل القسمة على 2.

ثم يبدأ التلاميذ الصغار ولكن في مرحلة اكثر تقدما  في ايجاد ما يعرف باسم القاسم المشترك الاعظم لعددين وتحليل الارقام الى حاصل ضرب اعداد اولية. فمثلا العددان 48 و 60 القاسم المشترك الاعظم بينهما هو 12 وهو حاصل ضرب 3 في 2 في 2 . كما ان العدد 48 يمكن تحليله الى ضرب 3 في 2 في 2 في 2 في 2 . كما ان العدد 60 يمكن تحليله الى ضرب 5 في 3 في 2 في 2.

اذن فكما ان الاعداد الطبيعية هي اسم على مسمي لان طبيعة الانسان مفطورة عليها نجد ايضا ان اسم الاعداد الاولية هو ايضا اسم على مسمى. فكل الاعداد الطبيعية يمكن تحليلها الى حاصل ضرب اعداد اولية. ويمكننا ان نعمم القول ونقول ان اي عدد طبيعى اكبر من واحد اما انه نفسه عدد اولى و اما انه حاصل ضرب مجموعة اعداد اولية في بعضها.

ولا يشترك اى رقم طبيعى مع رقم اخر في توليفة الاعداد الطبيعية اللتى يتكون منها هذا الرقم. ومن هنا تبدو توليفة الاعداد الاولية هذه وكأنها رقم قومي او بصمة جينية لا تتكرر و لا توجد الا في عدد واحد.

ومن هنا يمكننا ان نشبه الاعداد الاولية في الرياضيات بالعناصر الدورية في الكيمياء. فاي شئ نراه او نلمسه او نتذوقه. اى شئ في الكون. اي مادة في اي حالة كانت سائلة صلبة او غازية يمكننا ان نرده الى عدد محدود من العناصر الموجودة في الجدول الدوري . وهذا العدد المحدود من العناصر واللذي يقارب ال 120 عنصر يتكون منه كل شئ في حياتنا. كما ان 28 حرف اللذين يكونون حروف اللغة العربية نستطيع ان نكون منهم عدد هائل من الكلمات و الاصوات بغض النظر ان كان لهذه الكلمات او الاصوات معنى ام لا. وهنا يظهر سؤال : هل ايضا الاعداد الاولية محدودة كحروف اللغة او عناصر الجدول الدوري؟ اليس بديهيا انه كلما كبرت الاعداد كلما قبلت القسمة بالتاكيد على عدد ما اقل منها؟ هذه كلها اسئلة تبدو منطقية ومقبولة ولكن اجابة اقليدس كانت رائعة: لا. فالاعداد الاولية هي لانهائية وليست محدودة و لاتنتهي ابدا. ويمكننا تشبيه ذلك بالهواء فهو دائما موجود. ولكنه موجود في الاسفل بكثرة وكلما صعدنا الى اعلى يقل الهواء ويشح ولكنه لاينقطع ابدا فقط كثافته و تركيزه يقلان. وهكذا الاعداد الاولية فبعد كل عدد اولى يمكنك التأكد من انه يوجد عدد اولي اخر اكبر!!

والحقيقة فان نظرية الاعداد من المواضيع الشيقة في الرياضيات ولكن كثير من الدارسين يستخفون بها و لا يقدرونها حق قدرها ويظنون ان مواضيع اخري كالتفاضل او حساب الموترات اهم شأنا وأعلى قيمة. ولكن هذا غير صحيح. فهناك العديد من الاسرار اللتى مازالت غامضة في هذا الميدان وهناك العديد من الحدسيات العالقة اللتى بالرغم من مضى القرون الطوال عليها الا انه لم يتمكن احد من اثباتها الى الان. وكثير من هذه القضايا العالقة تتعلق بالأعداد الاولية. مثال على ذلك هناك مقولة تقول انه بين كل عددين مربعين اكبر من الواحد  يوجد عدد اولي واحد على الاقل. فمثلا بين 4 و 9 تقع الاعداد الاولية 5و 7 وبين العددين المربعين 9 و 16 تقع الاعداد 11و 13 وهكذا. ولكن تبقى هذه المقولة غير مبرهنة حتى الان وتحتاج الى رياضى يثبتها او ينفيها. وان كانت التجربة حتى الان توضح ان هذه مقولة صحيحة.
اما برهان قانون اليوم واللذي توصل اليه اقليدس فهو كالتالى: افترض اقليدس اولا ان الاعداد الاولية منتهية. وان اكبر عدد اولي موجود هو p . الان نكون رقما جديدا عن طريق ضرب p مع جميع الارقام الاقل منه ثم نضيف واحد الى النتيجة النهائية فنحصل علي رقم كبير جديد هو :

1+px….3x2x1
وهناك الان احتمالان لهذا الرقم الجديد: اما ان يكون اولى ولكن هذا يتعارض مع الفرض بان p هو  اكبر عدد اولى موجود. و الاحتمال الاخر ان يكون هذا العدد غير اولى اذن فلابد وان يقبل هذا الرقم القسمة على عدد ما بخلاف نفسه و الواحد. ولكننا نري ان هذا القاسم لايمكن ان يكون العدد 2 او 3 او 4 او 5 او … او حتى p لان في النهاية يتبقى العدد واحد. اذن وحيث ان هذا العدد غير اولى فلابد انه يقبل القسمة على اعداد غير اولية هي كلها اكبر من p . ولكن هذا يتعارض مرة اخرى مع ان p هو اكبر عدد اولي موجود. ومن هنا نري خطأ الفرضية الابتدائية بان الاعداد الاولية منتهية وان p هو اكبر عدد اولي موجود فيها.

وفي النهاية اود ان اشير الى جمال قانون اليوم فهو قصير وواضح بشكل مذهل وينطبق عليه المثل العربي اوجز فانجز. كما ان نتيجة هذا القانون تحمل مفاجأة لطيفة وهي ليست بالضرورة النتيجة اللتى قد يتوقعها معظم الناس لانه كما سبق وذكرنا عاليه فانه قد يعتقد البعض بانه كلما كبر الرقم كلما قبل القسمة بالتأكيد على عدد ما اصغر منه. ومرة اخري نري كما في نظرية المرة الماضية كيف ان العقل و الخيال يتقابلان. ولكن في هذه المرة العقل اعطى الضوء الاخضر للخيال في الانطلاق و البحث عن اعداد اولية اكبر و اكبر.

نصل اليوم  الى نظرية المركز الرابع وهي نظرية تنتمي الى ميدان الهندسة الفراغية وتقول ان عدد الاجسام الافلاطونية خمسة. وقد برهن هذه النظرية الاغريقي الاثيني ثياتيتوس Theaetetus اللذي عاش في الفترة مابين 417 الى 369 قبل الميلاد.

والسؤال الاول اللذي قد يطرح نفسه ما هي هذه الاجسام الافلاطونية؟ ولأجابة هذا السؤال لابد ان نستدعى في مخيلتنا المضلعات المنتظمة كالمثلث المتساوي الاضلاع او المربع او الخماسي المنتظم او السداسى المنتظم الى اخر هذه الاشكال المنتظمة اللانهائية حتى نصل في نهاية الأمر الى الدائرة اللتى تعتبر مضلعا منتظما ذا عدد لانهائي من الاضلاع . وما يميز كل هذه المضلعات المنتظمة أن كل اضلاعها متساوية في الطول كما ان زواياها متساوية ايضا. كما ان بامكاننا ان نرسم دائرة تحتوي على هذه الاشكال وبحيث يمر محيطها  باركان هذا المضلعات المنتظمة.  وكما سبق وذكرنا ضمنيا فان هناك عدد لانهائى من تلك المضلعات المنتظمة. ولذلك فأن بامكاننا ان نرسم مضلع منتظم ذا مليون او حتى مليار ضلع ولاتوجد اي مشكلة في ذلك.

والان ننتقل من حالة المستوي او الفضاء ذي البعدين الى الفضاء ذي الثلاثة ابعاد. فهل توجد اجسام فراغية منتظمة في الفضاء الثلاثى الابعاد كما توجد مضلعات منتظمة في الفضاء الثنائى الابعاد؟واجابة السؤال هي نعم وهذه الاجسام الفراغية المنتظمة في الفضاء الثلاثى الابعاد واللتى تمتلك عددا محدودا من الاضلاع هي الاجسام الافلاطونية. وربما يقفز الى مخيلتنا فورا اشكال مشهورة كالكرة أو المكعب فهي بالتاكيد اجسام منتظمة في الفضاء الثلاثى الابعاد.

لكن في البداية اود ان ابين ان الكرة ليست جسما افلاطونيا. صحيح انها جسم منتظم و لكن عدد اضلاعها  يعتبر لانهائي. و الاجسام الافلاطونية هي اجسام منتظمة ذات عدد محدود من الاضلاع.اذن يتبقى لنا المكعب. فهل يوجد بجوار المكعب اجسام افلاطونية اخري؟

الاجابة هي  مرة اخرى نعم. وهذه الاجسام معروفة مند عهد الاغريق. فالاغريق كانوا امة  هندسية بامتياز فقد اهتموا اهتماما عجيبا بعلم الهندسة وبحثوا فيه بشكل ضخم واولوا عناية كبيرة بالاجسام الافلاطونية . وقد درس فيثاغورث 4 اجسام افلاطونية بشكل مستفيض. وهذه الاجسام هي:

رباعى الاوجه

1 رباعى الاسطح المنتظم Tetrahedron وهو عبارة عن هرم ذي اربعة اسطح هي كلها مثلثات مثساوية الاضلاع.

مكعب

2  المكعب hexahedron او cube وهو جسم له 6 اسطح هي عبارة عن مربعات متساوية

ثمانى الاوجه

3  ثمانى الاسطح المنتظم Octahedron وهو جسم له 8 اسطح عبارة عن مثلثات متساوية الاضلاع وهو عبارة عن هرمين ملتصقين عند قاعدتهما المربعة

والاشكال الثلاثة الاولي هي اشكال تهم الكيميائيين بشكل خاص. لان كل  البلورات المعروفة تصطف ذراتها على اركان احد هذه الاشكال الثلاثة السابقة نظرا لما تمتاز به هذه الاشكال  من صفات هندسية مميزة وتناسق وثبات في الابعاد.

اثنا عشرى الاوجه

4 الاثنى عشرى الاسطح المنتظم Dodecahedron وهو عبارة عن جسم له اثنا عشر سطح هي كلها عبارة عن مخمسات منتظمة

وهناك شكل خامس لم يعرفه فيثاغورث ولكن ثياتيتوس صاحب نظرية اليوم هو اللذي اكتشفه. وهذا الشكل الخامس هو:

عشرونى الاوجه

5 العشرينى الاسطح المنتظم Icosahedron وهو عبارة عن جسم له 20 وجها هي كلها عبارة عن مثلثات متساوية الاضلاع.

كرة القدم هي عشرون وجهي مشطوف

و الجسمين الافلاطونيين الرابع و الخامس يهمون بصفة خاصة عشاق لعبة كرة القدم. لانهما اوحيا بتصميم شكل  كرة القدم الرسمية الحالي. وهو شكل يعرف تحديدا بعشرينى الوجوه المشطوف

وقد استغل الفنانون والرسامون ايام عصر النهضة امثال دافنشى هذه الاجسام الافلاطونية الخمسة لما فيها من انسجام وتناغم في رسم لوحاتهم. كما ان هذه الاشكال تهم صناع النرود حيث ان الارقام المطبوعةعلى اوجه حجر نرد على شكل جسم افلاطوني تحمل كلها نفس احتمالات الظهور. ويقال على النرد في هذه الحالة انه سليم او عادل.

ولكن لماذا وصفت هذه الاجسام بالافلاطونية مع ان افلاطون ليس مكتشف هذه الاجسام؟ الاجابة لان افلاطون اهتم جدا بهذه الاجسام وعنى بها ضمن فلسفته ليس فقط بسبب صفاتها الهندسية البديعة بل لانه اعتبرها ترمز الى العناصر الاولية: النار و الماء و الارض و الهواء. فرباعى الاوجه Tetrahedron يشبه باركانه المدببة النار بينما يشبه العشرينى الاوجه Icosahedron بحوافه الملساء الماء ويشبه المكعب الارض بينما يشبه ذو الثمانى اوجه Octahedron الهواء.ولم يهتم افلاطون بذي الاوجه الاثنى عشر Dodecahedron ولكن في العصور الوسطى تم اعتباره يرمز الى المادة اللتى تتكون منها الاجرام السماوية!!

وحيت ان اجواء اليوم اغريقية بامتياز. نضيف ان الكلمات   tetra و hexa و octa و dodeca و icosa تعنى بالاغريقية الاعداد 4 و6و 8 و 12 و 20 .

نعود مرة اخري الى نظرية اليوم فقد اثبت ثياتيتس انه لاتوجد أي اجسام افلاطونية اخرى بخلاف الاجسام الخمسة المذكورة. ثم احب ان اوضح ماهي الاسس و الشروط الرياضية اللتى يجب ان تتوفر في جسم فراغى حتى نقول انه جسم منتظم . في الحقيقة ان الجسم يكون منتظما عندما تتوافر فيه الشروط الثلاثة التالية:

شكل محدب

1 ان يكون الجسم محدبا . والجسم المحدب هو الجسم اللذي يقع اي خط بصل بين نقطتين فيه في داخل هذا الجسم بالكامل

2 ان تكون جميع اسطح هذا الجسم مضلعات منتظمة ولها نفس عدد الاضلاع. فمثلا اوجه المكعب كلها مربعات اي عدد الاضلاع فيها 4 واوجه الرباعى الاوجه Tetrahedron كلها مثلثات متساوية الاضلاع و عدد اضلاعها ثلاثة بينما اوجه الاثنى عشرى الوجوه Dodecahedron كلها مخمسات منتظمة و عدد اضلعها 5

3 تتقاطع عند اركان هذه الاشكال نفس العدد من من الحواف. ففى حالة المكعب يلتقى عند كل ركن 3 حواف. بينما بالنسبة للثمانى الوجوه يلتقى عند كل ركن 4 حواف.

في النهاية نري انه من الطبيعى ان يكون لنظرية اليوم مكانا بين النظريات الاكثر جمالا. فاولا  هي تتعلق باجسام اعتبرها

شكل غير محدب

الفنانون و الفلاسفة السابقون و الحالون رموزا للجمال. وثانيا فان هذه النظرية تحمل مفاجأة لطيفة فربما كان الاقرب للتوقع ان عدد الاجسام الافلاطونية يتخطى الخسمة اجسام. وثالثا فاننا نعلم ان الخيال البشري هائل ولاحدود و لا نهاية له ولكن نظرية اليوم تضع حدودا وقيودا لهذا الخيال وتنص على انه مهما حاول الانسان ان يتخيل اجساما منتظمة بخلاف الخمسة المذكورة عاليه فانه سيفشل. فهنا العقل البشري يضع حدودا للخيال للبشري.

نصل اليوم الى النصف الاعلى من المسابقة  ونتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز الخامس وهي نظرية تتعلق مرة  اخرى بالثابت ط  وقد تعرفنا منذ عدة ايام على نظرية المركز الثامن و اللتى تقول ان الثابت ط عدد متسامي. اما نظرية اليوم فتقول ان سدس مربع قيمة ط يمكن التعبير عنه في صورة متسلسلة لانهائية هي عبارة عن ناتج جمع مقلوب مربع واحد زائد مقلوب مربع 2 زائد مقلوب مربع 3 وهكذا. وقد توصل لهذا القانون السويسرى ليونهارد اويلر اللذي عاش في الفترة بين 1707 حتى 1783 .

ثابت ط طبقا لاويلر

وكما علمنا من نظرية المركز الثامن بان ط هوعدد متسامي وبالتالى فهو عدد غير نسبى.  وبالتالى نعلم ايضا ان عدد الارقام بعد الفاصلة العشرية هو عدد لا نهائى  و انه لا يوجد نمط معين يتكرر بداخل هذه الارقام والا كان ط عدد دوري وليس عدد غير نسبي. ويتسابق الرياضيون اليوم فيما بينهم من اجل تحديد اكبر عدد ممكن من الارقام بعد العلامة العشرية. وتاريخيا نجد ان عملية تحديد قيمة الثابت ط مرت بمراحل عديدة نشير الي بعضها فيما يلى:

1 قبل 4 الاف سنة افترض البابليون القيمة 1/8 3 ل ط بينما افترض المصريون القدماء القيمة 256/81  أو  3.1605

2 في القرن الثالث قبل الميلاد توصل ارشميدس عن طريق انشاء شكل منتظم متعدد الاضلاع عدد اضلاعه 96 ان قيمة ط تنحصر بين 10/71 3   و 1/7 3

3 تمكن غياث الدين الكاشى عام 1436 من تحديد 16 رقما من ط بعد الفاصلة العشرية

4 في عام 1593 توصف فيته  François Viète  لصيغة ل ط تتكون من عدد لانهائى من الحدود مضروبة في بعضها

5 في الفترة ما بين القرن السادس عشر و التاسع عشر حاول الكثيرون من اهم الاسماء في ميدان الرياضيات تعيين قيمة ط بدقة اعلى ومن ضمن هذه الاسماء نيوتن وهيجنز ولايبنز واويلر واخرون

اما في عصرنا اليوم وبعد تقدم الحاسبات الالكترونية فقد تمكن اليابانيون عام 1997 من تحديد 51 مليار رقم بعد العلامة العشرية.  وفي عام 2010 وصل هذا الرقم الى 2.7 تريليون رقم بعد العلامة العشرية. وبعدها بفترة وجيزة تم تحطيم هذا الرقم ليكون 5 تريليون رقم بعد العلامة العشرية. وبما ان اجهزة الكمبيوتر تتطور يوما بعد يوم فلاشك في ان الارقام القياسية سوف تواصل انهيارها الواحدة بعد الاخرى. ويدخل الرياضيون والمبرمجون فيما بينهم سباقا محموما لتعيين اكبر عدد ممكن من هذه الارقام. وهذا السباق يمكن تشبيهه بسباق التسلح بين الولايات المتحدة الامريكية و الاتحاد السوفيتى السابق ايام الحرب الباردة. وفيما يلى قيمة ط بدلالة 1000 رقم منها بعد العلامة العشرية:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

ولكن هنا قد يظهر سؤال حول ما هيى الفائدة الفيزيائية لتعيين اعداد اكترمن الثابت ط. فقد توصل عالمان كنديان الى ان 39 رقما بعد العلامة العشرية كافية لحساب محيط كوننا المعلوم بنسبة خطأ لا تزيد عن قطر ذرة هيدروجين واحدة!! كما ان 62 رقم بعد العلامة كافية ليكون الخطأ اقل من طول بلانك!!

وقد يود البعض ولو حتى  من دافع الفضول من ان يعرفوا كيف يتمكن الرياضيون يوما بعد يوم من زيادة رصيدهم من ارقام الثابت ط. وقانون اليوم هو احد الاجابات الممكنة لهذا السؤال فهو يوضح كيف يتمكن الانسان عن طريق متسلسلة لانهائية من ان يحدد قيمة الثابت ط. فصحيح ان الانسان او الحاسوب لن يستطيع ان ينجز كل تلك الخطوات اللانهائية ولكنه على كل الاحوال كلما انجز خطوة جديدة منها كلما اقترب من تحديد قيمة الثابت ط.

ولادراك جمال نظرية اليوم نستدعى في ذاكرتنا ماقاله الفيزيائى والرياضي بنروز فقد قال ان جمال الرياضيات يكمن في بساطتها وخصوصا عندما لايتوقع احد هذه البساطة. وقانون اليوم هو خير تمثيل لهذه المقولة. فكما نعرف ان الثابت ط هو عدد غير نسبى وتأتى الارقام بعد الفاصلة العشرية بصورة عشوائية. بل يتوقع الرياضيون ان الثابت ط يحتوي على اي رقم في العالم يمكن تخيله. وهناك العديد من المقارنات تمت بين ارقام الثابت ط بعد الفاصلة وبين الارقام الناتجة من محركات توليد الارقام العشوائية لمعرفة هل الثابت ط اكثر عشوائية ام ان هذه المحركات هي الاكثر عشوائية. والجمال في قانون اليوم انه وسط هذه اللخبطة ومن رحم هذه الفوضى يولد لنا نظاما بديعا. فهذه الفوضى العجيبة في ارقام الثابت ط يحصل عليها الانسان عندما يجمع مقلوب مربع واحد زائد مقلوب مربع 2 زائد مقلوب مربع ثلاثة وهكذا. فيحصل الانسان في النهاية على مربع قيمة ط مقسومة على 6. انه فعلا اختراق ساحر للفوضى وللعشوائية.

وقد يرغب البعض في التعرف الى الطريقة اللتى تم بها برهنة هذا القانون. وهناك في الحقيقة اكثر من برهان لهذا القانون ولكنها تعتمد في معظمها على طريقة تكوين المتسلسلات لتايلور اللذي استطاع بطريقة بديعة ايجاد طريقة من شأنها تحويل الدوال رياضية الى شكل متسلسلة. وباستخدام الدوال الهندسية نعلم التالي:
tan(PI/4) =1
ومنها
tan-1(1) =PI/4
ونعلم ايضا من متسلسلات تايلور ان:
tan-1(x) = x -x^3/3 + x^5/5 -x^7/7 + … etc
اذن بالتعويض في x بواحد ومما سبق نحصل على:
PI/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -1/7 + … etc

وهذا ليس قانون اليوم ولكنه شبيه له اما قانون اليوم فقد برهنه الفرنسى لوفيك William J. LeVeque عام 1956 .

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز السادس وهي نظرية تنتمى للمواضيع المتقدمة واللتى غالبا لا تدرس الا في الجامعات وبداخل التخصصات الرياضية فقط. وبالرغم من عدم شيوع صيت هذه النظرية بين عموم الدارسين والطلاب الا انها مع ذلك تحمل اهمية رياضية قصوي.

و الصياغة البسيطة والأشهر لهذه النظرية  تقول:أي دالة مستمرة تربط نقاط قرص مستدير مركزه نقطة الاصل ونصف قطره الوحدة بنقاط القرص نفسها لابد وان تقدم على الاقل نقطة ثابتة واحدة. ومعنى نقطة ثابتة هي نقطة على القرص يتطابق اصلها مع صورتها. والصياغة الاوسع و الاعم لهذه النظرية لا تحتوي على كلمة قرص ولكنها تقول: كل دالة مستمرة تربط نقاط  فضاء  أقليدي جزئي  مضغوط بنفسها تقدم نقطة ثابتة واحدة على الاقل. اي ان هذه النظرية ليست مرتبطة بالفضاء الثنائى الابعاد فقط ولكنها صالحة لاي فضاء ذي اى عدد من الابعاد.

وأود ان اضيف ان نظرية اليوم ليست نظرية وحيدة ولكنها تنتمى الى عائلة كبيرة من نظريات النقاط الثابتة واللتى تتعلق بميادين رياضية مختلفة وسنتعرض لهذا لاحقا.

وتنسب هذه النظرية الى الهولندي براور  L. E. J. Brouwer اللذي عاش في الفترة من 1881 حتى عام  1966 . وتقول القصة انه كان ذات يوم يشرب فنجانا من القهوة واراد تذويب قطعة من السكر في فنجان القهوة فقام بتحريك القهوة بواسطة الملعقة. ولكنه لاحظ بداخل فنجان القهوة تبدو بعض النقاط وكأنها ثابتة ولاتبارح مكانها. ولا يعنى هذا ان نفس النقاط تبقى ثابتة على الدوام. ولكن هذا يعنى انه في كل لحظة توجد نقطة او مجموعة نقاط تبدو وكأنها لا تبارح مكانها بالرغم من التحريك بالملعقة وبالرغم من أن معظم النقاط الباقية قد غيرت من مواضعها.

دعونا الان نحاول ان نتعرف على هذه النظرية بامثلة سهلة وكلمات بسيطة  ولكنها مع ذلك مازالت تحافظ على روح النظرية  فدعونا نتخيل المثال التالى:

انت وزملاؤك تحتفلون بمناسبة ما فقررتم ان تهدوا لانفسكم شيئا بمناسبة  هذه المناسبة فقام كل واحد منكم بشراء هدية معينة وقام بتغليفها ووضعها في مخلاة كبيرة. ثم يأتى يوم الاحتفال وتوزيع الهدايا فيأتى كل شخص ويسحب من هذه المخلاة هدية من دون ان يراها. فما هي حتمية ان يسحب اى منكم نفس الهدية اللتى قد قام هو بشراؤها من قبل؟ أن نظرية النقاط الثابتة تتعامل مع هذه  الحتمية وتحدد متى يكون هذا الشئ امرا حتميا. وبالطبع في المثال السابق فان الحتمية ليست موجودة . بل بالامكان توزيع الهدايا بحيث يحصل كل شخص على هدية لم يقم بشراؤها بنفسه. واماكنية لهذا التوزيع ان يصطف جميع المشاركين في حلقة ويحمل كل انسان الهدية اللتى قام بشراؤها ثم يعطيها للشخص الواقف على يمينه. وبهذا التوزيع يحصل كل انسان على هدية لم يقم بشرائها.

نقطة اخير لازالة اي سوء للفهم قد ينشأ. فقد يعترض انسان ويقول ولكن امكانية ان يقوم شخص بسحب هدية قام بشراؤها مازالت موجودة بل قد يسحب كل الاشخاص نفس الهدايا اللتى قاموا بشرائها من قبل. ولكن ما احب ان اوضحه أن نظرية النقاط الثابتة لا تتعامل مع امكانية سحب نفس الهدايا اللتى قام الانسان بشراؤها بنفسه من قبل ولكنها تتحدث عن حتمية ذلك.ومتى يكون هذا الامر حتميا لامناص عنه وهذا هو احد اسباب جمال هذه النظرية!

المثال السابق كان مثالا سلبيا ويبين انه بالرغم من تطابق مجموعة المعطيات الداخلة مع مجموعة النتائج حيث ان كلا المجموعتين هي الهدايا نفسها فلا توجد نقاط ثابتة.لكننا الان نريد ان نري مثالا ايجابيا يوضح فكرة التوزيع ذي النقاط ثابتة. والمثال التالى يوضح هذا الامر كما انه يحتوي على لمسة جمالية بشأن هذه النظرية.

تخيل انك موجود في مدينة ما وانك تملك خريطة لهذه المدينة. قم الان بوضع هذه الخريطة مفرودة على الارض. وهنا ينبغى ان نلاحظ شيئين:

أولا ان اى نقطة موجودة بداخل مدينتك تطابق نقطة موجودة بداخل الخريطة

ثانيا ومن ناحية اخرى فاي نقطة على الخريطة حيثا انها مفرودة على الارض فهي ايضا جزء من ارض المدينة

وهنا انتبهوا معى تأتى النتيجة الجميلة و المفاجئة لهذه النظرية اللتى تقول ان هناك نقطة  ما على الخريطة تتناسب مع نقطة ما في المدينة تقع تحتها مباشرة.

ويمكننا تصور ذلك كالتالى حيث ان الخريطة مرسومة بمقياس رسم مصغر مثلا واحد الى الف فنجد ان الاطوال على الخريطة اقل منها في الحقيقة بالف مرة. فاذا حددنا الشارع اللذي نحن موجودين فيه فسنجده على الخريطة طوله 5 سم مثلا. ولكن هذه ال 5 سم تنتمى بدورها الى المدينة وصورتها في الخريطة يكون طولها 0.05 مم. ولكن هذه الصورة هي في نفس الوقت نقاط حقيقية داخل المدينة ولها صورة ايضا على الخريطة ونستطيع ان نكرر ذلك حتى نصل الى نقطة تنطبق على نفسها!

المثال السابق كان مرتبطا بفضاء ثنائى الابعاد وهو فضاء ارض المدينة ولكن المثال التالى يوضح نتائج النظرية بالنسبة لفضاء احادي الابعاد:

نتخيل ان هناك زنبرك حر وهذا هو الوضع الابتدائي ونقاط الزنبرك في البداية تعبر عن  مجموعات المدخلات. ثم نقوم بضغط هذا الزنبرك فتشكل النقاط الجديدة للزنبرك وهي مجموعة جزئية من المجموعة الابتدائية مجموعة النتائج. وتقول نظرية اليوم ان هناك حتما نقطة ثابتة من مجموعة المدخلات لم تتحرك ولم تفارق موضعها بالرغم من الضغط ومن تحرك باقى النقاط.

تقاطع منحنى الدالة مع الخط الاخضر يعطي نقطة ثابتة حيث y=x

اذن بهدوء فنظرية اليوم تتعرض للشروط اللتى تجعل من النقاط الثابتة امرا حتميا. وهذه الشروط و الاشتراطات هي مفاهيم رياضية متقدمة ربما لايتسع المكان هنا لتفسيرها ولكنى اعرضها سريعا:

1 مجموعة النتائج مجموعة جزئية من مجموعة المدخلات اوتتطابق معها

2 ان تكون الدالة مستمرة

3 ان تكون مجموعة المدخلات مضغوطة وهذا تعبير رياضى يعنى انها محصورة وتحتوي على حدودها

4 ان تكون مجموعة المدخلات محدبة. بمعنى ان اي خط يصل بين نقطتين في الفضاء يقع بالكامل في داخل الفضاء

اما اهمية هذه النظرية فهي كبيرة جدا فكما قلنا من قبل ان نظرية اليوم تنتمي الى عائلة كبيرة من نظريات النقاط الثابتة اللتى تنتمى لميادين الرياضيات المختلفة. ويبلغ عدد هذه النظريات حوالى العشر نظريات. ويمكننا تشبييه تواجد نظريات النقاط الثابتة في ميادين الرياضيات المختلفة بتواجد حزب الخضر او جماعة الاخوان المسلمين  في كثيرمن دول العالم. ومن اشهر قرينات نظرية اليوم نظرية النقطة الثابتة لبناخ  ولها تطبيقات هائلة في ميدان التحليل الجبري. ولتوضيح قيمة نظرية اليوم نذكر ان  نظرية اليوم تنتمى لميدان التوبولوجي وتعتبر من النظريات الرئيسة فيه. كما انها تستخدم بشكل حيوي في ميدان حل المعادلات التفاضلية  كما انها تستخدم بشكل مميز في حل المعادلات العادية وطريقة نيوتن الرقمية لحل المعادلات مرتبطة بنظرية اليوم. كما ان نظرية اليوم ترتبط بنظرية اللعب game theory اللتى تستخدم في اتخاذ القرارات. كما ان لها استخداماتها في الاقتصاد واستخدمت في توضيح ان هناك نقطة اتزان ممكنة في الاسواق الاقتصادية المختلفة.

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز السابع و اللتى تقول بكل بساطة ان جذر 2 هو عدد غير نسبي. وقد برهن هذه النظرية الرياضى الشهير اقليدس اللذي عاش في الفترة ما بين 360 الى 280 قبل الميلاد في عهد الدولة البطلمية في مدينة الاسكندرية المصرية.

دعونا نتعرف اولا على ماهي الاعداد الغير نسبية. في البداية احب ان اشير الى اعجابى الشديد بالترجمة العربية لهذه الكلمة. فالكلمة باللغة الانجليزية هي irrational numbers والترجمة الحرفية لهذه الكلمة هي الاعداد البلهاء او الغبية!! لكن المعرب هنا لم يلتزم بحرفية اللفظ ولكنه اهتم بالمعنى والمقصد من وراء هذه الاعداد ولم يهتم بسبها وقذفها. ولكن ما هي هذه الاعداد؟ ولماذا وصفت بانها بلهاء؟ ولماذا هذا الذم والقدح فيها؟

عرف الانسان اول ماعرف مجموعة الاعداد الطبيعية وهي تشمل الاعداد: 1 2 3 …. الى اخره. وهذه الاعداد عرفها الانسان البدائي. و الاثار الموجودة منذ العصر الحجرى تدل على ان الانسان عرف هذه الاعداد واستخدمها ربما لعد الدجاج او قطعان الشاة او لاي سبب اخر. وهذه المجموعة لا تشتمل على العدد صفر لان الصفر تم اكتشافه متأخرا. ولكن بعض الرياضيين المعاصرين يضمون الصفر الى هذه المجموعة باعتبار انه يتناسب وظيفيا مع هذه المجموعة بينما البعض الاخر يرفض هذا الضم و يتعلل بالاسباب التاريخية وانها لم تكون معروفة منذ البداية. و الخلاف بين هذين الفريقين من الرياضيين عميق و النزاع بينهما اشبه بالحروب العقائدية فكل فريق متمسك بفكرته ويرفض الفكرة الاخرى رفضا قاطعا. وانا من وجهة نظري الشخصية المتواضعة واللتى لا تعنى شيئا اميل الى ضم الصفر الى مجموعة الاعداد الطبيعية.

نتخطى الان عصر الانسان البدائى ونأتى لعصر الاغريق. نجد ان الاغريق تعاملوا مع الاعداد بمنطق يختلف عن تعاملنا معها اليوم. فالاغريق قاموا بتوأمة الاعداد مع الهندسة. وكانت الاعداد تعنى بالنسبة لهم اشكال هندسية كما ان العمليات الرياضية كانت عمليات هندسية صرفة. فاذا تحدث الاغريقي عن العدد 3 فانه يتخيل خطا طوله 3 متر. واذا تحدث عن العدد 5 فانه يتخيل خطا طوله 5 متر. فاذا تحدث عن جمع 3 زائد 5 فانه يتخيل اضافة خط طوله 3 متر الى خط طوله 5 متر فيكون الناتج خط طوله 8 متر او العدد 8.

ومن هنا عرف الاغريق الاعداد النسبية. فالنسبة بين الخطين في المثال السابق هي 3/5 لان الخط الاول اذا قسناه بقضيب عياري طوله 1 متر  فان هذا القضيب سينطبق على الخط الاول 3 مرات وسينطبق على الخط الثانى 5 مرات ومن هنا تأتى النسبة 3/5 . وكان الاغريق يعتقدون انهم بامكانهم تكرار هذه العملية بالنسبة لكافة الاطوال مهما كانت. فمثلا اذا تخيلنا خطا طوله ربع متر ثم وضعنا علامة على بعد 6 سم من بداية هذا الخط فقسمت العلامة هذا الخط الى قسمين غير متساويين فان نسبة هذين القسمين بعضهما الى بعض ستكون 6/19 . لاننا باستخدام قضيب قياس عياري طوله ا سم فان هذا القضيب سينطبق على القسم الاول من الخط 6 مرات بينما سينطبق على القسم الثانى 19 مرة. وهكذا ظن الاغريق انهم بالنسبة لاي طول موجود فانهم سيستطيعون تخيل قضبان قياس عيارية قصيرة بحيث تنطبق هذه القضبان على الاطوال الموجودة عدد صحيح من المرات. ولايهم ان كان طول هذا القضيب العياري ا متر او 1 سم او ا مم او ا نانو متر او اقل من ذلك. فالمهم هو المبدأ و الاعداد الطبيعية هى الاعداد الوحيدة المنطقية في هذا الكون والاعداد النسبية هى نسبة بين هذه الاعداد الطبيعية.

وزاد اتباع مدرسة فيثاغورث عن ذلك واعتقدوا ان سر الكون يكمن في الاعداد و ان الاعداد النسبية لها معنى عميق. فهناك نسبة معينة تعبر عن الجمال في هذا الكون وهي نسبة المقطع الذهبي ونسبة اخر تعبر عن القبح وهكذا. كما ان كل قوانين الكون تعبر عنها اعداد نسبية فهناك نسبة تربط بين طول قطر اي مربع وطول ضلعه وهكذا. اذن فهذه الارقام تنظم الكون و لها مغزي وحكمة وهدف فهى اعداد حكيمة ولذلك تسمى rational و لا يمكن ان توجد اعداد خلاف ذلك والا فهي بلهاء لامعنى لها وكوننا حكيم لايسمح بوجود اعداد بلهاء فيه.

ولكن الفيثاغورثيين كانوا مخطئين فالنسبة بين طول قطر المربع وطول ضلعه هي عدد غير نسبي او عدد ابله كما كان يطلق عليه الفيثاغورثيون. بل ان المصيبة ان عدد المقطع الذهبى اللذي يعبر عن الجمال ورمز الفيتاغورثيين انفسهم هو ايضا عدد غير نسبى. وقد ادرك الفيثاغورثيون انفسهم هذه الفاجعة ولكنهم تكتموا الامر حتى يجدوا مخرجا لهذه المشكلة. لكن احد الاتباع خان الامانة وفشى السر فقرروا اعدامه جزاءا لخيانته واختلفت القصص فى طريقة اعدامه فبعض القصص تقول انه تم حمله في قارب ثم القى به في البحر و بعض الروايات الاخرى تقول انه تم اعدامه عند الشاطئ وهناك روايات اخرى تقول نهايات مختلفة.

دعونا الان نتأمل بعمق في معنى الاعداد الغير نسبية. و ماذا تعنى العلاقة بين  طول قطر مربع وطول ضلعه؟ حيث ان العلاقة هي عدد غير نسبي فان معنى هذا اننا لن نستطيع ان نجد اي قضيب قياس مهما كان قصيرا حتى لو كان اقصر من قطر ذرة الهيدروجين بحيث ينطبق هذا القضيب على قطر المربع و على الضلع عدد صحيح من المرات. او كما يقول التعبير الرياضى ان العدد الغير النسبى a لايمكن التعبير عنه في الصورة p/q حيث p , q عددان صحيحان او طبيعيان حيث ان الاغريق لم يعرفوا الاعداد السالبة.

و استطاع اقليدس ان يبرهن ان العدد جذر 2 هو عدد غير نسبى. اذن فطبقا لنظرية فيثاعورث فان وتر مثلت قائم طولا ضلعى قائمته ا متر هو عدد غير نسبى ويساوي جذر 2 رغم انف فيثاغورث نفسه. ولكن كيف توصل اقليدس لهذا البرهان؟

برهن اقليدس هذا القانون بما يعرف بانه برهان بالتناقض اي انه يفترض شئ في البداية ثم يصل في النهاية الى عكس الافتراض مما يعنى ان الافتراض خاطئ ولا يجوز.

اذن فاقليدس ابتدأ برهانه و  قال اننا يمكننا ان نعبر عن العدد جذر 2 في صورة رقم نسبى مختصر p/q حيث p و q رقمان طبييعان  ليس بينهما قاسم مشترك بخلاف العدد 1 .

اذن فالعددان p و q ليسا عددان زوجيان. لانهما لو كانا عددين زوجيين لتمكنا من اختصارهما كما اننا نختصر 6/4 الى 3/2 وهذا يتنافى مع الفرض ان العددان هما مختصران لاقصى درجات الاختصار الممكنة.

بتربيع العدد نحصل على .

ومنها
1  ********   

معنى ذلك ان p^2 هو عدد زوجي لاننا كما نري هو ضعف العدد q^2

نتستنتج من ذلك ان p نفسه عدد زوجى لان حاصل ضرب عدد فردي في نفسه هو عدد فردي ايضا لانه الارقام الاولية الداخلة في تركيب العدد و تربيعه لا تتغير

من هنا يمكننا ان نفترض ان :

p = 2k

حيث k  عدد طبيعى ما. بالتعويض في المعادلة 1  نحصل على

ومنها

اذن q^2 عدد زوجي ومنها ان q هو عدد زوجي هو الاخر وهذا يخالف الفرض الابتدائى ان العددان لايملكان اى قاسم مشترك بخلاف الواحد. ومن هنا استنتج اقليدس ان جذر 2  هو عدد غير نسبى!!

نصل اليوم الى نظرية المركز الثامن. وقد احتل هذا المركز قانون ذو منطوق قصير ينص على ان الثابت ط هو عدد متسامى. وقد اكتشف هذا القانون الالمانى فيردناد فون ليندمان Ferdinand von Lindemann عام 1882.وقانون اليوم يتكون من جزئين فدعونا نتعرف عليهما:

الجزء الاول يتعلق بالثابت ط. و الثابت ط يعرفه تلاميذ المدارس بصورته التقريبية وهي 22/7 او 3.14 . ويجب ان نراعى ان هذه قيم تقريبية لان الثابت ط هو عدد غير نسبى وبالتالى فلا يمكن حصره في صورة رقم نسبي او رقم عشرى عدد الارقام فيه بعد العلامة العشرية اثنان. بل اننا نعلم ان عدد الارقام في الثابت ط بعد العلامة العشرية يبلغ المالانهاية من الارقام. اما معنى الثابت ط ووظيفته فهو يعبر عن النسبة بين محيط الدائرة و قطرها وقد عرفه قدماء المصريين و البابليون منذ قديم الزمان.

ونظرا لاهمية هذا الثابت الرياضي وشهرته فقد كتبت عنه العديد من المؤلفات تعنى به فقط. ومن امثال هذه الكتب كتاب “متعة الثابت ط” او  “joy of PI” للمؤلف David Blatner . ولكن شهرة الثابت ط لا ترجع لاسباب رياضية فقط بل لاسباب اخرى قد تكون اكثر غرابة واثارة. وهنا نعدد بعض هذه الاسباب:

1 مجموع اول 144 رقم من ط بعد الفاصلة العشرية يعطى الناتج 666. وهذا الرقم يمثل الجحيم في السحر الاسود.

2 كما ان القيمة 144 نحصل عليها من الحساب (6+6).(6+6) .

3 نتيجة جمع جميع الاعداد في لعبة الروليت يعطى ايضا 666

4 تنطق كلمة ط في اللغة الانجليزية ك pie مع انها تكتب pi وكلمة pie تعنى تورتة. ولذلك يتم الاحتفال بالثابت ط في يوم  14 من الشهر الثالث في تمام  الساعة الواحدة و 59 دقيقة. وهذا لان الارقام الاولي من الثابت ط تكتب كالتالي 3.14159 . مع ملاحظة ان التاريخ الامريكي يكتب فيه الشهر قبل اليوم. بمعنى ان 14 مارس تكتب فى الولايات المتحدة على الشكل التالى 03.14 بينما في انجلترا وكل دول العالم تكتب على هذا الشكل 14.03 . اما كيفية الاحتفال في هذا اليوم فتكون عن طريق الدوران حول طبق محفور فى قلبه قيمة ط مقربة لاول 100 رقم بعد الفاصلة العشرية وطبعا تقدم التورتة في هذا الاحتفال

5 الاعداد بعد الفاصلة العشرية تأخذ توزيع عشوائي ولذلك فهي تحتوي تقريبا على اى رقم رقم يمكن تخيله. فالثابت ط يحتوي على تاريخ ميلادك.و لمعرفة اين يأتى تاريخ ميلادك في الثابت ط  يمكنك استخدام هذه الصفحة. فاذا فرضنا ان تاريخ ميلادك هو 01.01.1980 فادخل الرقم 010180 في هذه الصفحة وستجد ان هذه التاريخ يظهر بعد 1787531 مركز بعد الفاصلة العشرية.

نأتى للان للجزء الثانى في القانون هو يشمل عبارة عدد متسامى. فما معنى عدد متسامى؟ اولا احب ان اشير الى ان الكلمة  الانجليزية هي Transcendental ومعناها غيبي او روحانى. وهذا يضيف المزيد للاجواء السحرية و الغامضة للثابت ط. لكن دعونا الان من كل تلك الاسقاطات الميتافيزيقية  فماذا  تعنى لفظة عدد متسامى رياضيا؟

نعلم ان الاعداد في الرياضيات يتم تصنيفها كالتالى:
1 هناك مجموعة الاعداد الطبيعية : 1   2  3  ..

2 مجموعة الاعداد الصحيحة وتشمل الاعداد الطبيعية بالاضافة للصفر و الاعداد السالبة : -1  0  1  …

3 مجموعة الاعداد النسبية وتشمل الأعداد على هيئة نسبة  موجبة كانت او سالبة :  1/2 او 1/3

4 مجموعة الاعداد الحقيقية وتشمل الاعداد النسبية والغير نسبية كجذر 2 مثلا.

ولكن هناك تقسيم اخر للاعداد الحقيقية الى اعداد جبرية واعداد متسامية. فما هي هذه الاعداد؟ الاعداد الجبرية هي الاعداد اللتى يمكن ان تكون حلا لمعادلة حدية. فما هي المعادلات الحدية؟ المعادلات الحدية هي معادلات تحمل الصورة التالية:

حيث n رقم صحيح اكبر من 1 بينما a عبارة عن ارقام نسبية.

فعلى سبييل المثال العدد جذر 2 هو عبارة عن عدد جبري وليس عدد متسامي لانه حل للمعادلة:

x^2 -2=0

اما بالنسبة للاعداد المتسامية فاننا لايمكننا ان نجد اي معادلة حدية مهما حاولنا بحيث تكون الاعداد المتسامية حلولا لها. و قد تم اكتشاف مفهوم الاعداد المتسامية لاول مرة في عام 1844 بينما كان الثابت ط كما علمنا معروفا من قبل ذلك بكثير وكان يظهر في كثير من القوانين الرياضية. لكن قانون فون ليندمان قد اوضح على عكس المتوقع اننا لايمكن ان نجد اي معادلة حدية بحيث تكون ط حلا لها. وبالتالى ط هو عدد متسامي. وكنتيجة جانبية فقد حل هذا القانون معضلة كانت قائمة وقتذاك وكانت هذه المعضلة تعرف بمشكلة بتربيع الدائرة. وهذه المشكلة كانت تبحث في الطريقة اللتى يمكننا بها ان نحول دائرة الى مربع له نفس مساحة الدائرة. ولكن قانون فون ليندمان قد وضح ان تربيع الدائرة امر غير ممكن ابدا بسبب ان ط عدد متساميى.

مثال لخريطة يتم تلوينها باربعة الوان فقط

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز التاسع في مسابقة اجمل النظريات الرياضية على مدي التاريخ. ومنطوق هذه النظرية يقول اننا باستخدام 4 الوان كحد اقصى نستطيع ان نلون اي خريطة حقيقية كانت ام افتراضية بحيث تأخذ كل منطقة لون يخالف اللون اللذي تأخذه منطقة مجاورة لها حدود مشتركة معها. ومبدئيا فان هذه النظرية من النظريات الرياضيات القليلة اللتى يمكن للقارئ ان يتخلها في وعيه في شكل صورة بصرية واضحة. ومع ذلك فان اثباتها رياضيا عسير جدا.

وقصة هذه النظرية ترجع الى الفرنسي جوتري Francis Guthrie وهو كان رياضى فرنسي شاب انهى دراسته الجامعية. وفي عام 1852 طلب منه ان يلون خريطة خاصة بالاراضى الاقطاعية الانجليزية بحيث تحصل كل قطعة ارض على لون مخالف لجارتها اللتى تمتلك معها حدود مشتركة. واكتشف جوتري ان 4 الوان كافية لتحقيق هذه المهمة ولكنه عجز عن تفسير هذا رياضيا فارسل خطابا الى اخيه الاصغر اللذي كان ما زال يدرس بالجامعة تحت اشراف الاستاذ المشهور في ذلك الوقت دي مورجان Augustus de Morgan  اللذي حار بدوره في هذه المسألة ومن هنا اكتسبت هذه المسألة شهرة كبيرة وحاول كثيرون من هواة و محترفين حل هذه المسألة ولكن دون جدوي. و بعد مرور 124 سنة في عام 1976 تمكن فريق رياضي امريكي من برهنة هذه النظرية.

وبرهان هذه النظرية مر بالعديد من المراحل وربما يكون من المفيد التعرض الى ذكرها. اولا استطاع جوتري ودي مورجان من اثبات اننا لا يمكننا ان نضع اي 5 مناطق بجوار بعضها على لوحة او خريطة بحيث تصبح لكل منطقة حدود مشتركة مع باقى القطع الاخري. وفي عام 1890 برهن الامريكي هيوود Percy John Heawood اننا باستخدام 5 الوان نستطيع ان نلون أي خريطة بهذه الطريقة المطلوبة. لكن برهان ان هذا ممكن ايضا باستخدام 4 الوان بقى امرا عصيا. وفي عام 1922 تم اثبات انه اذا كانت عدد قطع الارض في الخريطة 25 او اقل فان بالفعل 4 الوان تكون كافية للتلوين. وفي عام 1926 تم اثبات هذا بالنسبة ل 27 قطعة. ثم في عام 1938 تم اثبات هذا بالنسبة ل 31 قطعة وفي عام 1940 تم اثبات هذا بالنسبة ل 35 قطعة . ثم في عام 1970 تم اثبات هذا بالنسبة ل 40 قطعة . ثم ارتفع هذا العدد الى 96 قطعة قبيل اكتشاف البرهان النهائى عام 1976.

و لاترجع اهمية هذه النظرية الى مضمونها المباشر. بل ان اهميتها ترجع بصفة اساسية الي انه في الطريق الى برهنة هذه النظرية وعبر اكثر من مائة وعشرين سنة تم اكتشاف العديد من النظريات الرياضية اللتى تلعب دورا كبيرا في حياتنا اليوم. فنظرية الشبكات network theory ونظرية المخططات graph theory هي امثلة لتلك النظريات اللتى تم اكتشافها في الطريق الى برهان نظرية اليوم.

ولكن برهان هذه النظرية كان يحمل في طياته صدمة مروعة. ولايزال البعض يرفض هذا البرهان الى اليوم. لماذا؟ لان البرهان اللذي وجده الفريق الامريكى المكون من باحثين هما ابل Kenneth Appel الامريكي و هاكن Wolfgang Haken ذي الاصول الالمانية كان يعتمد في الجزء الاهم منه على الكمبيوتر وليس على الورقة و القلم . فمن اجل هذا البرهان قام الرياضيان بكتابة برنامج كمبيوتر وظل هذا البرنامج يعمل لمدة 1200 ساعة متصلة حتى وصل الى هذا البرهان. وهذا شئ مروع في نظر فريق من الرياضيين. فكيف يتسنى لنا ان نتحقق من ان الكمبيوتر كان يعمل طوال الوقت بالطريقة اللتى ينبغى عليه ان يعمل بها؟ ففي الواقع لا يوجد اي ضمان لذلك. بل الادهي ان هذا البرنامج اعتمد على معطيات رقمية كانت هي من انتاج البرنامج نفسه.

وهذة الطريقة في البراهين تعتبر في نظر البعض  فيلم رعب. فهل هذه بداية لأن يحل الكمبيوتر محل الانسان في ميدان الرياضيات؟ ثم ما هو الضامن ان هذا البرهان صحيحا اذا لم يكن بمقدور اي بشري ان يتحقق بنفسه من سلامة البرهان؟

لكن على الجانب الاخر يقول المؤيدون لهذه الطريقة ان الباحثين قد سلموا خوارزميات برنامجهم وهنا يستطيع فريق بحثى اخر ان يصنع برنامج اخر بلغة برمجة اخري بناء على هذه الخوارزميات ويختبر ان كان سيصل لنفس النتيجة ام لا. وهذا في حد ذاته يعتبر برهان رياضي.

وبعد مرور 20 سنة من اكتشاف هذا البرهان تمكن فريق امريكي اخر من اكتشفاف برهان جديد لهذه النظرية. ولكن كان هذا البرهان الجديد بدوره يعتمد على الكمبيوتر وان كانت عدد ساعات الحساب اقل بكثير. فالبرهان الجديد أحتاج الى 12 ساعة حساب من الكمبيوتر فقط. ويتنبأ البعض انه بعد مرور 50 الى مائة سنة من اليوم سوف تصبح البراهين عن طريق استخدام الكمبيوتر شيئا عاديا. بل قد تصبح هى القاعدة وماعدا ذلك هو الاستثناء.

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز العاشر. وهو قانون وضعه الفرنسي  فيرمات Pierre de Fermat . ولم يكن فيرمات اللذي عاش فى الفترة بين 1607 , 1665 رياضيا محترفا متخصصا ولكنه كان هاويا. فيرمات كان رجل قانون ولكنه عشق الرياضيات وتعلمها بنفسه واكتشف العديد من القوانين المشهورة ولذلك يستنكف بعض المؤرخين الرياضيين تصنيفه من ضمن الهواة ويعدوه  من ضمن المحترفين.

وموضوع اليوم مرتبط بالاعداد الاولية و الأعداد المربعة. السؤال الان ماهي الاعداد الاولية وما هي الاعداد المربعة؟ الاعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية اللتى لاتقبل القسمة سوي على العدد واحد وعلى نفسها. وواحد ليس عددا اوليا بالاصطلاح و الاتفاق ولذلك فان الاعداد الاولية تبدأ من 2 . للتوضيح:

العدد 1 ليس اولى وهذا بحكم التعريف

العدد 2 عدد اولى لانه يقبل القسمة على 2 و 1 فقط

العدد 3 اولى لانه لايقبل القسمة سوي على 3 و ا فقط

العدد 4 ليس اولى لانه يقبل القسمة على2

العدد 5 عدد اولى لانه لايقبل القسمة سوى على 5 و 1

وهكذا.

اما الاعداد المربعة فهي الاعداد الطبيعية اللتى لها جذر تربيعي عبارة عن عدد طبيعي مثل 1و4و9و 16و25و… حيث ان الجذور التربيعية لهذه الاعداد هي 1و2و3و4و5.

وتأتى تلك الصفة تربيعي كما هو جلي من شكل المربع حيث ان مربع طولا ضلعاه 3 سم تكون مساحته 9 سم مربع . وهذه التسمية ترجع الى عهد الاغريق اللذن ارتبطت الاعداد عندهم بالاشكال الهندسية.

اما قانون اليوم فيفيد بان الاعداد الاولية اللتى تحمل الصورة 4n+1 تساوي مجموع عددين مربعين. ونوضح ذلك بالامثلة:

5=4×1+1=4+1

13=4×3+1=4+9

17=4×4+1=1+16

29=4×7+1=4+25

اما اول من برهن هذا القانون فقانة اويلر Euler .

قامت مجلة رياضية متخصصة وهي مجلة  “The Mathematical Intelligencer” بتنظيم مسابقة هي الاولي من نوعها لاختيار اجمل 10 نظريات رياضية. ولذلك قامت المجلة عام 1988 باقتراح اسم 24 نظرية رياضية لدخول المسابقة. وكان على القراء التصويت على هذه الاقتراحات لتحديد ماهي اجمل 10 نظريات رياضية. واستمرت فترة التصويت حتى عام 1990 وهو عام اعلان نتائج التصويت.

ولكن ربما السؤال اللذي يطرح نفسه ما هو الشئ الجميل في الرياضيات من الاساس حتى يتم تنظيم مسابقة لاختيار اجمل النظريات الرياضية؟ فالرأي الشائع عن الرياضيات انها جافة وقبيحة وجامدة. فاي حلاوة توجد في الرياضيات؟ يقول الفيلسوف الالمانى ارثر شوبنهاور : حينما يبدأ الحساب ينتهى الفهم!! بل زاد الفيلسوف الالماني عن هذا وقال  ان الرياضيات قوامها براهين تفتقد للوضوح بصورة مزعجة. كما انه انتقد ان هذه البراهين تحتاج في كثيرمن الاحول الى خطوات عمل مساعدة كما هو الحال في  برهان نظرية فيثاغورث. ولكن خطوط العمل هذه تبدو وكانها هبطت فجأة من السماء. و لايستطيع الانسان ان يفهم بسهولة لماذا قمنا تحديدا بانشاء ذلك الخط المساعد ولم ننشئ خطا اخر. فبالنسبة لشوبنهاور صحيح ان هذه البراهين سليمة رياضيا ولكنها لاتحتوي على تفسيرعميق وشافى لماذا تكون هذه النتيجة على هذه الصورة.

وبالفعل فان احد اسباب مشاكل تقبل الرياضيات لدي عامة الناس تكمن في خطوات العمل المساعدة اللتى يقوم بها الرياضيون بينما يتسأل القارئ العادي لماذا فعل الرياضي هذه الخطوة تحديدا ولم يقم باتخاذ خطوة اخرى. ولتشبيه ذلك بمثال يمكننا تخيل الاهرامات المصرية في الجيزة. فلبناء هذه الاهرامات قام عمال البناء بانشاء بعض الانشاءات المؤقتة  وبعد اكتمال بناء الاهرامات قام البناءون بازالة تلك المنشئات. ونحن الان نشاهد اعجوبة الاهرامات و نتسأل ونتعجب كيف بنى هؤلاء العمال الاهرامات واي وسائل مساعدة استخدموها حيث انه ليس بامكاننا اليوم ان ندرك ماهية تلك الوسائل المساعدة.

من ناحية اخرى يري افلاطون ان الرياضيات شيئ رائع وراق  بل هي تكاد ان تكون وحي الهي. بل هي عمل فنى مثل الشعر والادب وهي متعة للعقل وللبصيرة. ويقول الرياضي والفيزيائى الانجليزي بنروز ان الحلاوة في الرياضيات تكمن في بساطتها حينما لا يتوقع احد تلك البساطة.

نعود الان لموضوعنا فبالفعل اختار القراء 10 نظريات رياضية واعتبروها الاجمل على الاطلاق. ومعايير الاختيار لدى القراء كما بينت المجلة لا ينبغى ان تكون لها علاقة ببرهان او اهمية تلك النظرية او استخداماتها. ففقط ما يهم هو انطباع القارئ حول النظرية وحول شكلها وقوامها. و الغريب ان معظم النظريات اللتى تفوقت في الترشيحات لا يتم تدريسها في المدارس او الجامعات. وسنحاول ان نتعرف في المرات القادمة على هذه النظريات الرياضية.

قصة كهف افلاطون هي من اشهر الاعمال الفلسفية على مدي التاريخ و لها قيمتها الادبية والفلسفية العالية. وكما هو واضح من الاسم فان صاحب هذا العمل هو افلاطون. وهذه القصة تتعرض لمصير الحكماء والانبياء و المثقفين وانهم لاكرامة لهم في اوطانهم. فهؤلاء بالرغم من انهم اصحاب رؤى مستنيرة وامال مبشرة الا ان العامة قد لاتقبلهم وقد تلفظهم الاغلبية بالرغم من اخلاصهم ونبل مقاصدهم وحسن نواياهم.

وكان افلاطون متأثرا بقصة سقراط ونهايته المأساوية. فسقراط كان رجلا صالحا يدافع عن القيم و الاخلاق و الحق. لكن قومه كرهوه واتهموه بانه يتعرض لالهتهم بسوء وتم الحكم عليه بالاعدام. ومات سقراط نتيجة لهذا الحكم الظالم ولم يهرب بالرغم من ان الفرصة قد واتته لعمل ذلك ولكنه فضل الموت على ان يكسر القانون اللذي عاش طوال عمره لينادي باحترامه.

وتتكون القصة من 5 اجزاء:

1 مجموعة من المساجين محبوسون منذ نعومة اظافرهم في كهف تحت الارض. وهم يجلسون بحيث تكون ظهورهم موجهة لمدخل هذا الكهف. وهم مكبلون من اعناقهم وارجلهم بحيث انهم لا يستطيعون القيام أو الالتفات الى الخلف. ويوجد خلف هؤلاء المساجين مسرح عالى لايرونه كمسرح العرائس المتحركة. وتوجد فوق هذا المسرح نار خافتة هي مصدر الاضاءة الوحيد في هذا الكهف. ويمر امام هذه النار حراس وهم يحملون تماثيل ونماذج للاشياء المختلفة كالحيوانات و النباتات الى اخره. فيري المساجين ظلال هذه التماثيل و النماذج على الجدار القائم امامهم. واحيانا يصدر الحراس اصواتا  فيعتقد المساجين ان هذه الاصوات تصدر من الظلال امامهم. ويكون شاغل المساجين الشاغل هو تفسير هذه الظلال. وقد يتبارون فيما بينهم في تفسير ما يرونه ومن منهم صاحب افضل تفسير.

2 يتقدم احد الحراس نحو سقراط القابع وسط هؤلاء المحبوسين ويجبره ان يدير عنقه الى الخلف ليرى النار ويري الاشياء المحمولة في الخلف. فهل ستكون هذه العملية سهلة؟ بالتأكيد لا. فهذه عملية مؤلمة. وسوف يقاوم ادارة رقبته. كما ان ضياء النور المباشر قد يضايق عينيه. و اذا اخبره احد الحراس ان هذه الاشياء هى اقرب للواقع من الظلال اللتى يراها على الجدار فهل سيؤمن بذلك؟ بالتأكيد لا. بل سيعتقد ان الظلال اللتى كان يراها والفها طوال عمره هي الحقيقة وان هذه النماذج و التماثيل هي شئ مصطنع و ليس اصلى.

3 الان يجبر الحراس سقراط على النهوض والخروج خارج الكهف الي ضوء النهار. بالطبع ستكون هذه العملية في غاية القسوة. فشدة الضوء سوف تعمي عينه عن الرؤية و سوف يصاب بالذعر والحيرة. ولكن بعد فترة سيتعلم ان يتأقلم على الوضع الجديد. فسوف ينظر اولا الى ظلال الاشياء على الارض  وبعد فترة سينظر الى انعاكاساتها فوق سطح الماء وبعد فترة سينظر الى الاشياء مباشرة . وسيدرك العلاقة بين هذه الاشياء  و الظلال اللتى كان يراها سابقا في الكهف. ثم بعد ذلك سينظر الى السماء ليري الضياء و النجوم و القمر.

4 الان سوف ينظر سقراط الى الشمس نفسها ويدرك انها مصدر الضياء في الكون بل انها مصدر النار اللتى كانت في الكهف. وسيدرك الحقيقة كاملة وسيرثى على حاله سابقا وحال زملائه في الكهف الان. حيث انهم قابعون في اوهام ولا يدركون عن الواقع شيئا.

5 الان ينزل سقراط مرة اخرة الى الكهف حيث يوجد رفاقه السابقون. ولكن سقراط قد طرأ عليه تغيير فهو لم يعد سقراط القديم وعيناه لم تعد معتادتين على الظلام كما كانتا في السابق. وسيعتقد زملاؤه ان رحلته للخارج قد اتلفت عينيه وسيحاول ان يخبرهم بالحقيقة ولكنهم لن يصدقوه وسيفشل في اى تحدي يخوضه معهم فعيناه لم تعد تدرك ما كانت تدركاه سابقا.وسيسخر منه زملاؤه وسيقولون ان عقله قد تلف ايضا. واذا حاول ان ينهضهم بالقوة ويحملهم على الخروج الى الخارج فسوف يثورون عليه وقد يقتلوه.

كانت هذه قصة كهف افلاطون. ومن خلال هذه القصة يلمح افلاطون الى النقاط التالية:

1 المرحلة الاولى تعبر عن الواقع القائم. فالناس عبيد لحواسهم المباشرة. ومايدركونه من صور واصوات ليس الا زيف وخداع واشياء زائلة و لاتعكس الحقيقة الاصيلة الاصلية.

2 الجزء الثانى من القصة يمثل اول مراحل الادراك. وهذه العملية مؤلمة وفيها يدرك الانسان حقائق اعمق ويضحي بالصور المباشرة اللتى تقدمها لها حواسه مقابل تفسير اعمق واشمل. وهذه المرحلة تمثل مرحلة اكتساب العلوم الطبيعية التجريبية

3 الجزء الثالث. وهو يمثل ثانى مراحل الادراك وفيها يتعرف الانسان على اصل الاشياء وعلى الافكار الحقيقية الصحيحة خلف المظاهر المختلفة. وهذا يمثل علم الرياضيات والفنون

4 الجزء الرابع وهو يمثل المرحلة النهائية للأدراك البشري وفيها يدرك الانسان الحقيقة الاساسية اللتى هي وراء كل الحقائق الاخرى

5 الجزء الخامس وهو يمثل الالتزام الاخلاقى لسقراط او للفيلسوف عموما بتوعية اهله وتنويرهم حتى وان كان ذلك يمثل خطورة عليه وان ارادوا قتله.

وهنا نكون انتهينا من عرض موضوع قصة الكهف لافلاطون. وهي قصة قد تبدو  مثيرة  ومسلية. بل يمكن ان تكون اكثر من ذلك فقد تكون باعثا على التأمل والتدبر فيما وراءها. لكن لموضوع هذه القصة  ولعالم الافكار الميتافيزيقى الافلاطوني محاولات للاستخدام في مجالات تطبيقات الكمبيوتر. فموضوع البحث فيما وراء الاشياء  وعلم الوجود او الانتولوجي  امر يهم محركات البحث كجوجل. فعندما يدخل انسان انه يبحث عن مكان للنوم مقابل اجر فعلى ماكينة البحث ان تدرك انه يبحث في حقيقة الامر عن فندق.

السفر الي المستقبل او الماضي يعد من القضايا المثيرة اللتى تشغل عقل الانسان المعاصر. وقد تمت صياغة العديد من الافلام السينمائية الناجحة حول هذا الموضوع. والنظرية النسبية الخاصة تقول بان السفر للمستقبل امر ممكن وطبيعى. ومفارقة التوأم هي مفارقة متعلقة بالسفر للمستقبل وقد عالجنا هذا الموضوع من قبل ووجدنا ان مفارقة التوأم ليست مفارقة حقيقية بل يمكن حل تناقضها  في ضوء النظرية النسبية الخاصة.

اما النظرية النسبية العامة فهي تتعرض للنوع الاخر من السفر وهو السفر الى الماضي. وينشأ عن السفر الى الماضى مفارقة تعرف باسم مفارقة الجد و الحفيد. وهي تدور حول شخص يسافر الى الماضي لكي يقابل جده وهو مازال في مرحلة الطفولة ثم يقوم بقتله. وهنا تنشأ المفارقة فكيف اذن يتسنى للجد ان ينجب الاب اللذي بدوره ينجب الحفيد اللذي يقوم برحلة في الزمن الى الماضي ليقتل جده؟!!

كان اول من نبه الى امكانية السفر الى الماضى في اطار النظرية النسبية العامة الرياضى الشهير جودل اللذي زامل اينشتاين فترة في الولايات المتحدة الامريكية وارتبط معه بعلاقة صداقة مميزة. وجودل يعتبر من اذكي العقول البشرية اللتى ظهرت على مدار التاريخ البشري ان لم يكن اذكاها على الاطللاق. و قال جودل ان كون دوار يسمح بالسفر الى الماضى. وصعق اينشتاين عند سماعه هذا الخبر فهو كان يعتقد ان نظريته لا تسمح بالسفر الى الماضي. والطريف ان هذا الخبر كانت هدية جودل لاينشتاين في يوم عيد ميلاده فبدل من ان يفرحه اصابه بالذعر. لكن هاهو العبقري الرياضي جودل يثبت بطريقة لاتدع مجالا الى الشك ان السفر الى الماضي ممكن  في اطار النظرية النسبية العامة. ولكن مع ذلك بقى هذا الاكتشاف غير مؤثر حيث اننا نعلم ان كوننا لايدور.اذن فالشروط اللتى وضعها جودل للسفر الى الماضي لاتتطابق مع واقعنا. لكن استطاع العلماء بعد ذلك ان يجدوا شروطا اخرى تمكن من السفر الى الماضي.

وجد العلماء ان الانحناء الزمكانى الناشئ نتيجة لدوران ثقب اسود اسود حول نفسه يسمح بالسفر الى الماضي. كما ان وجود وترين كونيين عظيمين يتحركات بسرعة عالية في اتجاهين متقابلين يخلقان ايضا زمكان يسمح بالسفر الى الماضي. وربما كانت هذه الاوتار موجودة في مرحلة مبكرة  من كوننا.

الثقب الدودي

واكتشف اينشتاين وروزن مايعرف بالثقب الدودي. وهذا الثقب يسمح بالانتقال من منطقة الى اخري في الزمكان بطريقة مختصرة. وقد يكون هذا الامر مفيدا في حالة السفر مسافات شاسعة بين المجرات المختلفة . فهذا الثقب قد يجعل الرحلة  اللتى كانت تستغرق ملايين السنوات تستغرق الان زمنا معقولا. وقد يستخدم هذا الثقب الدودي في السفر الى الماضي. فالزمان منسوج مع المكان في النظرية النسبية. ويمكننا تشبيه امر الثقب الدودي بورقة. ونحن نريد ان نصل من نقطة في اعلى الورقة الى نقطة في اسفلها. ولكي نفعل ذلك فان علينا ان نحرك اصبعنا مسافة اكثر من 20 سم. ولكن حيث ان النظرية النسبية العامة هي نظرية انحناء الزمكان فأننا اذا طوينا هذه الورقة فستصبح هاتان النقطتان قريبتين جدا من بعضهما. وقد تصبحان على مسافة مليمترات قليلة فقط من بعضها. وهذا هو الحال بالنسبة للثقوب الدودية. وكان اينشتاين يقول ان هذه الثقوب هي جسور تربط بين النقاط المختلفة في الزمكان. ولكنه اوضح ان عمر هذه الجسور قصير جدا ولا يسمح لسفينة فضاء بعبورها . لكن مع تقدم ميكانيكا الكم توصل العلماء الى انه من الممكن على الاقل نظريا ابقاء هذه الجسور مفتوحة لفترة طويلة تمكننا من عبور هذه الجسور بسفننا الفضائية.

ولكن كيف يمكننا حل هذا التناقض المرتبط بمفارقة الجد و الحفيد؟في الحقيقة فان هناك اقتراحان لحل هذه المفارقة.  يقول الاقتراح الاول انه اذا تمكن الانسان من السفر الى الماضي فانه لن يستطيع ان يقوم بعمل اي احداث من شأنها ان تغير مصير المستقبل. اي ان الحفيد عندما يرجع الى الماضى فلن يستطيع ان يقتل جده ابدا. وهذا الاقتراح يعنى ضمنيا ان الانسان ليست له ارادة حرة و ان الانسان مجبر وليس مخير ولايستطيع ان يصنع ما يحلو له.كما ان الحفيد سيستطيع التنبؤ بكل افعال جده لانها ماضي بالنسبة له.

اما الاقتراح الثانى فهو مرتبط بنظرية الاكوان المتوازية.فالحفيد سيعود في الزمان ولكنه سوف يعود الى كون موازي اخر يموت الجد فيه صغيرا و لاينجب اي اولاد.
في الحقيقة اشعر اليوم بسعادة بالغة اذ وفقنى الله ان احقق ثاني اهدافى. فبعد النظرية النسبية الخاصة كانت اليوم اخر تدوينة في موضوع النظرية النسبية العامة.

سابرامينين شاندراشكهار كان طالبا هنديا في التاسعة عشرة من عمره عندما حصل على منحة دراسية للدراسة بجامة كامبريدج في انجلترا. وكان استاذه اللذي سوف يتتلمذ على يديه هو السير ارثر ادنجتون ذلك العالم الفيزيائى المرموق و الفلكى الشهير اللذي اثبت صحة نظرية اينشتاين اثناء رحلته الاستكشافية الشهيرة لدراسة كسوف الشمس في غرب افريقيا. وفي هذه البعثة الاستكشافية استطاع ادنجتون ان يسجل ان الضوء ينحنى عندما يمر في مجال جاذبية قوي. وكان ادنجتون شديد الثقة في نفسه وفي علمه.  وتروي رواية ان احد الصحفيين قد سأله ذات مرة ان النظرية النسبية العامة لايفهما في العالم كله الا ثلاثة اشخاص. فما رأيه في ذلك وهل هذا صحيح؟ فاطرق ادنجتون في التفكير لفترة ثم اجاب انى كنت افكر من هو ياتري ذلك الشخص الثالث!!

وكان شاندراشكهار سعيدا وفخورا بمغامرته الدراسية اللتى سوف يبدأها في انجلترا. وفي الطريق وفي عرض البحر في الرحلة اللتى استغرقت 18 يوما من مدينة مدراس الهندية الى ساوثهامبتون الانجليزية توصل ابن التاسعة عشرة  الى استنتاجات ثورية كان لها ابلغ الاثر في تطور علم الفلك الفيزيائي. فلقد كان من اوائل من تدبر في امر النجوم النيترونية اللتى هي مرحلة سابقة للثقوب السوداء.

وقبل ان اتطرق الى امر الثقوب السوداء اود ان اشير الى ان الثقوب السوداء هي مفصلة محورية بين النظريتين الرئيستين في الفيزياء الحديثة اليوم: النظرية النسبية ونظرية الكم. فكل نظرية على حدة لاتستطيع ان تفسر امر الثقوب السوداء تفسيرا مرضيا ولكنها  تستطيع فقط ان تغطي جانبا مختلفا من أمر الثقوب السوداء.

وفي الحقيقة فان فكرة الثقوب السوداء فكرة قديمة وترجع لاكثر من قرنين من الزمان. وكان في تلك الفترة الاضطراب سائدا حول طبيعة الضوء اهي موجية ام مادية. وكانت الفكرة كالتالى اذا كانت للضوء طبيعة موجية فانه لن يتأثر بقوة الجاذبية.اما اذا كانت للضوء طبيعة مادية فانه سوف يتأثر بقوة الجاذبية كما تتأثر قذائف المدفع بجاذبية الارض. ولن يستطيع الضوء ان يهرب من قوة الجاذبية الا في حالة واحدة فقط وهي ان تكون للضوء سرعة انتشار لانهائية. وكانت تجربة رومر قد اثبتت ان للضوء سرعة انتشار محدودة وليست لا نهائية.

واول من كتب في هذا الموضوع كان جون ميتشل في عام 1783.  وقد كتب انه اذا كان النجم ذا كتلة كبيرة فان الضوء نفسه لن يستطيع ان يفلت من جاذبية النجم الهائلة وسيبدو هذا النجم اسود لانه لا ينبعث منه اي ضوء. ولكننا مع ذلك يمكننا ان نستدل على هذا النجم عن طريق تأثير جاذبيته اللتى تبقى موجودة. وكتب ميتشل بان الكون ملئ بهذه النجوم السوداء المختفية ولكننا لا نستطيع ان نستدل عليها بواسطة التليسكوبات. كما ان العالم الفرنسي الشهير لابلاس قد ذكر في كتابه عرض لنظم العالم في طبعتيه الاولى و الثانية تلك النجوم السوداء ولكنه حذفها من الطبعة الثالثة لانه يبدو قد تراجع عن رأيه فيما بعد. وكانت تلك هي الفترة اللتى تم الانتصار فيها لفكرة ان الضوء ذو طبيعة موجية.

نعود مرة اخرى الى شاندراشكهار على سطح السفينة. فهو اخذ يفكر في امر النجوم وماذا يحدث لها عندما تموت. والمعلوم ان النجوم عبارة عن كتلة هائلة من غاز الهيدروجين اللذي يتحول تحت ضغط الجاذبية الى غاز الهيليوم فيما يشبه مفاعل نووي هائل او قنبلة هيدروجينية بطيئة. ويتولد نتيجة لهذه العملية طاقة هائلة ولكن هذه العملية لا تستمر الى مالانهاية فبعد فترة ينضب مخزون النجم من الهيدروجين ويعنى هذا موت النجم وفي هذه الحالة يكون النجم واقعا تحت تأثير قوة جاذبيته فقط. و النجم الصحيح الفتى يعيش كل عمره تحت تأثير قوتين: قوة الجاذبية اللتى تجمع اجزاؤه وتجذبها بأتجاه المركز وتحاول باستمرار هذه القوة تقليص حجم النجم وتقليل قطره. والقوة الثانية تصنع العكس تماما فهي قوة طاردة للخارج وتنشأ بسبب التفاعلات النووية والتمدد الحادث نتيجة للحرارة الهائلة اللتى تصدر عن هذا التفاعل النووي الرهيب في قلب النجم. وفي النهاية يحافظ النجم على حجمه وشكله تحت تأثير هاتين القوتين مالم تطغي احدى هذه  القوتين على الاخرى. لكن ماذا يحدث عندما ينضب الوقود النووي؟ في هذه الحالة يكون النجم واقعا تحت رحمة قوة الجاذبية فقط وسينكمش النجم الى حد صغير جدا. ويتوقع العلماء ان تكون نهاية شمسنا بعد 5 مليارات سنة  حيث تكون قد استنفذت كل وقودها النووي. وستنكمش الشمس حتى تصبح في حجم الارض تقريبا ولكن ستكون كثافة المادة فيها عالية جدا وتبلغ مئات الاطنان للسنتيمتر المكعب. وستتحول الشمس الى قزم ابيض.

وعلى ظهر السفينة فكر شاندراشكهار في ماذا اللذي  يعيق النجم عن الانكماش اكثر وان يتعدي مرحلة القزم الابيض في الانكماش. ووجد ان السبب يرجع الى الالكترونات الموجودة في مدارات الذرات. فاننا كما نعلم ان الالكترونات تتنافر  ولا نستطيع ان نقرب الكترونين من بعضهما من دون بذل قوة عالية. وهذه الظاهرة يفسرها  قانون باولى. وهو قانون في نظرية الكم ويوضح انه لايمكن ان يوجد الكترونان لهما نفس الحالة تماما في نفس المكان. ومعنى هذا انه اذا تواجد الكترونان في نفس المكان فلابد وان تختلف سرعاتهما عن بعض. ولكن شاندراشكهار قد نبه ان هذا الاختلاف  لايمكن ان يزيد عن مقدارسرعة الضوء وهذا طبقا لما تقوله  النظرية النسبية.

وتوصل شاندراشكهار بانه اذا كانت للنجم كتلة تساوي 1.4 من كتلة الشمس فان قوة الجاذبية سوف تتغلب على مقاومة الالكترونات طبقا لقانون باولى وسيواصل النجم انهياره. وستتساقط الالكترونات من مداراتها الى داخل النواة حيث تلتحم مع البروتونات الموجودة هناك ويتحول الاثنان الى نيترونات. ونحصل في هذه الحالة على نجم نيتروني. ويبلغ قطر النجم النيتروني 30 كيلومتر وتبلغ كثافته مئات ملايين الاطنان للسنتيمتر المكعب.

وعندما عرض شاندراشكهار افكاره رفضها ادنجتون رفضا قاطعا وقال ان هذا امر سخيف ولايمكن تصوره. ولا يمكن ان ينكمش نجم لهذا الحد. وتسأل ادنجتون معترضا وماذا سوف يحدث اذا زادت الكتلة بحيث ان النترونات نفسها وطبقا لقانون باولي مرة اخرى لا تستطيع ان تتحمل قوة الجاذبية فهل ستستمر النجوم فى الانهيار؟وكتب البرت اينشتاين مقالا يعارض فيه فكرة الثقوب السوداء ويقول انه ادعاء سخيف ان يصير حجم النجم صفر.  وتحت تاثير هذه المعارضة القوية توقف شاندراشكهار عن الخوض في هذا الموضوع. الا ان محاربة ادنجتون له لم تتوقف بل واستمرت حتى على المستوي الشخصى مما اظطر شاندراشكهار الى الرحيل الى جامعة شيكاغو حيث عاش هناك حتى مات.

الثقب الاسود هو ثقب في الزمكان

ولكن العلماء قد وجدوا بعد ذلك ان ماقاله شاندراشكهار هو المعقول والمنطقى بل وقال اوبنهايمر ابو القنبلة الذرية اكثر من ذلك وقال انه بالفعل اذا زادت كتلة النجم عن ذلك فانه يتحول الى ثقب اسود حتى ان الضوء لن يستطيع ان يفلت منه. وفي ضوء النظرية النسبية العامة اللتى تكون الجاذبية فيها ليست الا انحناء وتشوه للزمكان يمكننا تشبيه ذلك بمفرش مفرود ومشدود وموضوع فيه كتلة هي اللتى تسبب انحناء المفرش اللذي يمثل الزمكان. وفي حالة الثقب الاسود فان هذه الكتلة تسبب خرقا او ثقبا في المفرش. وفي هذا الثقب يتوقف الزمن تماما. ومن هنا نري ايحاء اخر لمعنى كلمة الثقب الاسود تللك الكلمة اللتى اطلقها جون هويلر لاول مرة في عام 1967.

و استطاع العلماء اثبات وجود النجوم النيترونية فلكيا عندما تقدمت الوسائل التكنولوجية وحاز شاندراشكهار في عام 1983 على جائزة نوبل في الفيزياء.

في الفيزياء توجد كميات قياسية اساسية كالكتلة ووحدة قياسها الكيلوجرام و المسافة ووحدة قياسها المتر و الزمن ووحدة قياسه الثانية. ومن هذه الكميات الاساسية يتم اشتقاق باقى الكميات الاخرى الاكثر تعقيدا كالسرعة والعجلة والقوة الى اخره. وقد اثبت اينشتاين ان هذه الكميات ليست قيما مطلقة ولكنها قيم نسبية تتوقف قيمتها على الاطار اللذي يتم من خلاله رصد هذه الكميات. فالفارق بين 1 كج في اطار و 1 كج في اطار اخر كالفارق بين الدولار الامريكي و الدولار الاسترالي في كل من الولايات المتحدة الامريكية و استراليا. فكل واحد كيلوجرام يساوي واحد في اطار دولته. ولكن عندما ينظر اليه من خارج اطار دولته تكون له قيمة اخرى.

واستطاع اينشتاين ان يتوصل الى هذه النتيجة في ضوء النظرية النسبية الخاصة اللتى تقوم على مبدأين لايتطرق الشك الى صحتهما. وقد تم تأكيدهما عن طريق العديد من التجارب و المشاهدات المختلفة. المبدأ الاول ينص على تكافؤ جميع الاطر القصورية في رصد القوانين الفيزيائية السليمة و تكون لهذه القوانين نفس الصيغة الرياضية. و المبدأ الثانى ينص على ثبوت سرعة الضوء بالنسبة للأطر القصورية المختلفة. وبناء على تعميم هذين المبدأين تم التوصل الى نتائج مثيرة منها نسبية الكميات القياسية الاساسية كالكيلوجرام و المتر والثانية كما سبق ذكره عاليه. بالاضافة الى هذه النتيجة وجب افتراض ان سرعة جسم ما لاينبغى ان تتعدى سرعة الضوء وان سرعة الضوء هي سقف السرعات الممكنة. لأنه اذا كانت سرعة جسم او سرعة انتشار اشارة او قوة ما لانهائية لاخل هذا بمبدأ نسبية الانية ولتمكنا من صناعة ساعات تعطي الزمن المطلق وتستطيع خلق التزامن بين الساعات المختلفة. اما اذا افترضنا ان السرعة ليست لانهائية ولكنها فقط اعلى من سرعة الضوء لاخل هذا بقدسية قانون السببية اللذي يوضح ان لكل نتيجة سبب ما يسبقها ويسبب حدوثها. فلو كانت السرعات الاعلى من سرعة الضوء ممكنة لكان معنى ذلك انه بالنسبة لبعض اطر الرصد من الممكن ان تسبق النتيجة سببها. وهذا شئ عجيب لا يمكن تقبله بسهولة.

واصطدمت النظرية النسبية الخاصة بقانون الجاذبية لنيوتن لان قوة الجاذبية النتيوتونية كانت قوة تنشر بسرعة لانهائية وتؤثر لحظيا وهذا كان كما سبق ووضحنا لايمكن قبوله فقرر اينشتاين ان يضع نظرية جديدة تفسر قوة الجاذبية في ضوء النظرية النسبية. وكانت النتيجة هي النظرية النسبية العامة. ومن اجل ذلك افترض اينشاين مبدأين : المبدأ الاول وهو مبدأ التكافؤ وهو يفيد ان الظواهر المرتبطة بالتسارع تكافئ في كل شئ الظواهر المرتبطة بالجاذبية كما ان الظواهرالمرتبطة بالجاذبية يمكن يمكن اعتبارها على انها ظواهر يتم رصدها عن طريق اطار متسارع. وقد اوضح اينشتاين ذلك عن طريق تجربة ذهنية تدور حول مختبر موجود فوق سطح الارض ومختبر اخر يتم تعجيله في الفضاء بعجلة مقدارها 10 متر في الثانية المربعة. وقد اوضح اينشتاين انه لا يمكن الجزم اي من المختبرين هو الموجود فوق سطح الارض وايهما هو اللذي يتم تعجيله في الفضاء. ويمكنكم مراجعة مبدأ التكافؤ بالتفصيل عن طريق هذا الرابط. اما المبدأ الثاني فهو يوضح انه يمكن وصف جميع القوانين الفيزيائية السليمة من خلال اي اطار مهما كانت حالته من الحركة وسيأخذ دائما نفس الصورة الرياضية. وهذا المبدأ هو التجسيد الحقيقى لفكرة النسبية.

انحناء الزمكان

وتوصل اينشتاين الى انه لا توجد قوة خاصة بالجاذبية ولكن ما نصفه بالجاذبية هو نتيجة لتشوه الزمكان اللذي يعتبر مسرح كل الحوادث. ويمكن تشبيه هذه الفكرة بان الزمكان يبدو وكأنه مفرش مشدود وممتد. فاذا وضعنا في وسط هذا المفرش كتلة كبيرة ما فان هذا المفرش لن يبقى مفرودا وممتدا بل انه سينحنى بصورة ما وخصوصا بالقرب من موضع هذه الكتلة. واذا تخيلنا وجود كرة صغيرة في حجم حبة الذرة فوق هذا المفرش فانها لن تبقى ثابتة ولكنها ستتحرك وفقا للانحناءات والنتوءات الموجودة فوق سطح المفرش.

وكانت هذه نتيجة عجيبة وتسلب العقل وتشبه عالم الخيالات. ولكن النظرية النسبية ليست شطحات فلسفية لا علاقة لها بالواقع والتجربة. بل ان هناك العديد من التجارب العملية اللتى تدعم نتائج النظرية النسبية العامة. ونحن الان سنحاول ان نتعرف على اشهر التجارب اللتى دعمت نتائج النظرية النسبية العامة.

مسار كوكب عطارد

البرهان الاول ياتى من حساب مسار كوكب عطارد اللذي هو اقرب الكواكب الى الشمس. فمسار كوكب عطارد يأخذ مسارا بيضاويا ولكنه ليس مسارا مغلقا بل ان هذا المسار البيضاوي يدور ويغير موضعه مع الزمن. وكانت قوانين نيوتن لاتستطيع ان تفسر هذا المسار الغريب ولكن النظرية النسبية العامة استطاعت ان تصف المسار الفعلى لكوكب عطارد بدقة رهيبة. وكان هذا دعم هام للنظرية النسبية العامة.

البرهان الثانى تتعلق بانحراف شعاع الضوء عن الخط المستقيم عند مروره في مجال جاذبية قوي. وهذا الشئ قد بينه ادنجتون في بعثة استكشافية شهيرة. لمزيد من المعلومات حول رحلة ادنجتون يمكنكم مطالعة هذا الرابط.

البرهان الثالت يتعلق بانحراف طيف ضوء الشمس او طيف النجوم عموما نحو اللون الاحمر. وهذا مرتبط بتباطؤ الزمن تحت تأثير الجاذبية وهذا الامر تم رصده و التحقق منه ايضا عمليا. ولمزيد من المعلومات حول ازاحة طيف الشمس باتجاه اللون الاحمر يمكنكم مطالعة هذا الرابط.

البرهان الرابع وهو مرتبط بتباطؤ الزمن في مجال جاذبية ما. وتم التحقق من ذلك عن طريق ساعات ذرية موجودة في اعلى و اسفل برج عالى. وتم بالفعل اثبات ان الساعة الموجودة في اسفل البرج تسري بشكل ابطأ من الساعة الموجودة في اعلى البرج. ولمزيد من المعلومات حول تجربة تباطؤ الساعات في مجال جاذبية قوي يمكنكم مطالعة هذا الرابط.

اذا احببنا ان نتعرف كيف ينبغى ان يبدو قانون نيوتن الاول في في ضوء النظريات الفيزيائية المختلفة سنجد النتيجة التالية. في ضوء القوانين النيوتونية الكلاسيكية سيحافظ القانون بالطبع على صورته الاصلية وهي كالتالى: تحافظ الاجسام على حالتها من حيث السكون او الحركة في خط مستقيم بسرعة منتظمة مالم تؤثر عليها قوة خارجية تغير من حالتها. واذا اردنا ان نري كيف يكون شكل هذا القانون في ضوء النظرية النسبية الخاصة وفضاء مينكوفسكى رباعى الابعاد فسنجد ان صورته ستكون كالتالى ان خط الحياة لجميع الاجسام اللتى لاتؤثر عليها قوة خارجية هو خط مستقيم. ولمزيد من المعلومات حول خطوط الحياة يمكنكم مطالعة هذا الرابط. واذا اردنا ان نتعرف على شكل هذا القانون في ضوء النظرية النسبية العامة وحيث اننا نعلم ان شعاع الضوء المار في مجال جاذبية ما لا ياخذ خطا مستقيما ولكنه يأخذ مسارا منحنيا واذا راعينا انه لايمكن لاي شئ ان يأخذ مسارا اكثر استقامة من الضوء لتمكنا من صياغة قانون نيوتن الاول في ضوء النظرية النسبية العامة على النحو التالى: تأخذ جميع الاجسام اللتى لا تؤثر عليها قوة خارجية اكثر المسارات استقامة. ومعنى اكثر المسارات استقامة هو المسار اللي يعطي اقصر مسافة بين نقطتين في فضاء منحني. او بتعبير اخر تأخذ الاجسام في هذه الحالة نفس المسار اللذي يأخذه شعاع ضوء يمر عبر هذه النقطة. ففي النظرية النسبية العامة كل الخطوط المستقيمة منحنية وحتى خطوط محاور الاسناد x و y هي منحنية.

ننتقل الان الى نقطة ثانية وهي تتعلق بكيفية حساب المسافة بين نقطتين فسنجد انه فى الفضاء الاقليدي العادي تحسب المسافة بين نقطتين وفقا لهذه العلاقة اللتى هي مشتقة من نظرية فيثاغورث:

ونحن يمكننا ان نعمم صورة المعادلة السابقة بحيث تأخذ الصورة التالية:

ولكن لماذا فعلنا ذلك؟ لاننا بهذه الطريقة سنتعرف على موتر حساب المسافة. فهو في الفضاء الاقليدي ثنائى الابعاد عبارة عن مصفوفة من صفين وعمودين قيمها القطرية تساوي واحد اما قيمها الاخرى تساوي صفر. او بالتفصيل:
g11=g22=1
g12=g21=0
واحب ان انبه الى ان g ترمز الى عناصر هذا الموتر والرقم الاول بعد g يعبر عن الصف بينما الرقم الثاني يعبر عن العمود. فمثلا g12 تعنى العنصر في الصف الاول والعمود الثاني.

والصورة العامة لحساب المسافة باستخدام موتر حساب المسافات هي كالتالى:

وفي فضاء مينكوفسكى رباعى الابعاد حيث ندخل الزمن بعدا رابعا تكون الصورة كالتالى:

او ان
g11=g22=g33=1
g44=-1
وباقي قيم المصفوفة عبارة عن صفر.

والان نأتى لفضاء ريمان اللذي يتعامل مع فضاء عام محاور الاسناد فيه منحنية وفي هذا الفضاء يكون موتر حساب المسافة عبارة عن مصفوفة ذات 4 صفوف و 4 أعمدة ولكن قيم هذه المصفوفة هي ارقام ليست بالصفر و تختلف قيم هذه المصفوفة حسب الموضع في المكان و الزمان وهذا هو بالظبط مفهوم فكرة المجال فهي قيم ما تتوزع في المكان . و الشئ المميز حول ارقام موتر حساب المسافات في ضوء النظرية النسبية العامة انها متماثلة حول القطر بمعنى ان:
g12=g21, g13=g31,g14=g41
g23=g32,g24=g42
g14=g41
وبالاضافة الى هذه الارقام الستة المستقلة والغير معتمدة على بعضها تاتى الارقام القطرية الاربعة:
g11,g22,g33,g44

اي بالرغم من ان الموتر يحتوي على 4 صفوف و 4 اعمدة اي انه يتكون من 16 رقما. الا ان 10 ارقام فقط هى اللتى نحتاجها لانها مستقلة عن بعضها و الارقام الستة الباقية هي نسخة من الارقام الغير القطرية الاخرى.

اذن كان على اينشتاين ان يجد 10 دوال او 10 معادلات تعبر عن قيم هذه المجالات اللتى تعبر عن انحناء المكان وهنا قد يبرز احتجاج جمالى ليس في محله. وهو ان اينشتاين العاشق للجمال و لتبسيط النظريات العلمية قد استعاض عن مجال واحد هو مجال الجاذبية الموجود في قانون نيوتن الاصلى بعشر مجالات . او انه اضاف 9 مجالات اضافية وهذا شئ مستهجن من انسان فلسفته التبسيط و التسهيل. ولكن اذا دققنا في الامر سنجد ان الموضوع ليس كذلك وان اينشتانين لم يضف 9 مجالات جديدة ولكنه في حقيقة الامر قد حذف مجالا كان موجود وهو مجال الجاذبية النيوتونى. وعزى كل ظواهر الجاذبية الى انحناء المكان اللذي لم يخلقه اينتشتاين ولكنه كان ذاك او ذاك موجود في كافة الاحوال. واينشتاين نبه الى وجوده فقط.

ولعلنا نلاحظ ان العدد 10 يساوي الرقم السحرى عند الفيثاغورثيين. وكما يقول المثل مات الملك يحيا الملك فان الفيثاغورثيين لو قيض لهم ان يطلعوا على نتائج اينشتاين لهتفوا من اعماق قلوبهم بعداسقاط نظرية فيثاغورث مات فيثاغورث يحيا فيثاغورث. ولكن كيف يمكن لاينشتاين ان يجد هذه المعادلات العشرة اللتى تعبر عن قيم موتر حساب المسافات بصورة رياضية؟

اراد اينشتاين ان يستخدم المعادلات التفاضلية اللتى هي في الحقيقة لغة الفيزياء ويضع معادلاته في صورة تشابه الصورة اللتى وضع فيها العظماء نيوتن وماكسويل معادلاتهم:اي معادلات تفاضلية لموتر حساب المكان بدلالة قيمة فيزيائية اخرى موجودة في الواقع. ولكن المشكلة كانت تكمن في الاتي ان تفاضل قيمة ما او معدل تغيرها يعتمد على عنصرين: العنصر الاول هو تغير القيمة نفسها تغيرا حقيقيا و العنصر الثانى هو نتيجة لتغير محاور الاسناد اللتى ينسب القياس اليها. وبالنسبة لنظرية فيزيائية فان ما يعنينا هو التغير المطلق الخالى من تأثير تغير محاور الاسناد. ولذلك فانه يوجد نوع من التفاضل يسمى بالتفاضل المطلق اى انه التفاضل الحقيقى بعد استبعاد التأثير الناتج من تغير محاور الاسناد. وقبل ان استطرد احب ان انبه ان هذا التفاضل المطلق تم تغيير اسمه باسم اخر اقل وضوحا من وجهة نظري. فالتغير المطلق هو الاسم القديم اما الاسم الجديد فهو التغير المصاحب. ولكن المشكلة ان التغير المصاحب لموتر حساب المسافة الخالي من تأثير تغير محاور الاسناد هو دائما صفر. وهذا شئ طبيعى ويتناسب مع تعريف موتر حساب المسافة نفسه.

ولكن اينشتان استطاع ان يجد الحل لهذه المشكلة عن طريق استخدام موتر رياضى اخر قد اكتشفه جاوس ويعرف باسم موتر الانحناء وقيم هذا الموتر تعتمد على قيم موتر حساب المسافة بالاضافة الى تفاضله العادي.وكان من الممكن لاينشتاين ان يجد معادلات تفاضلية تربط هذا الموتر اي موتر الانحناء باشتراطات ثبات الطاقة و الزخم اللتى هي الاعمدة الاساسية في الفيزياء. ومع مراعاة ان الكتلة والطاقة هما وجهان لعملة واحدة فقد استطاع اينشتاين ان يربط انحناء المكان بالكتلة و الطاقة الموجودة فيه. وهذا الانحناء هو سبب الظاهرة اللتى نقول عنها انها الجاذبية. ففي الحقيقة لا يوجد شئ اسمه قوة الجاذبية ولكنها الكتل والطاقات اللتى تسبب انحناء الزمكان واي خط مستقيم موجود في هذا الزمكان هو خط منحنى وكل الاجسام الموجودة في الزمكان تأخذ اقرب المسارت اللتى تنطبق مع هذه الخطوط المنحنية اللتى تتناسب مع هندسة الكون.

الهدف من موضوع اليوم هو القاء بعض الضوء على موضوع التنسور او الموتر كما هى الترجمة العربية. وليس الهدف ان يصبح القارئ خبيرا في هذا الميدان فهنا ليس المكان لذلك. ولكنى فقط احب ان اشير الى انه يوجد شئ في الرياضيات اسمه حساب التنسور واحب ان اجنب القارئ موقف مشابه لموقف مر بي عندما سمعت بهذا المصطلح لاول مرة.فبالرغم من اننى كنت قد انهيت دراستى في الهندسة المدنية في مصر فاني قد صعقت عندما سمعت بهذا المصطلح لاول مرة في حياتى في المانيا . فهذا موقف احب ان اجنبكم اياه في المستقبل لمن لم يسمع عن التنسور او الموتر من قبل.

موضوع الموترات هو موضوع فيزيائى ورياضى ولكنه ظهر في ميدان الفيزياء اولا ثم التقطه الرياضيون بعد ذلك وهذبوه ونقوه من التناقضات وصار بعد ذلك موضوعا رياضيا. وكان لالبرت اينشتاين دورا كبيرا في شهرة حساب الموترات لانه استخدم هذا الحساب في نظريته النسبية العامة.

وفي الفيزياء توجد انواع عديدة من الكميات فهناك كميات قياسية وكميات متجهة ثم كميات موترة او تنسورية.فما هو الفارق بين هذه الكميات؟ الكميات القياسية يعبر عنها برقم واحد بالاضافة الى وحدة للقياس. فمثلا عندما نقول عن كتلة شئ انها 3 كجم فان مانحتاجه هو رقم واحد وهو الرقم ثلاثة بالاضافة الى وحدة القياس وهي الكيلوجرام. اي ان كتلة الشئ اللذي امامى هي ثلاثة اضعاف كتلة جسم قياسى يستخدم لقياس الكتل. وكذلك الحال بالنسبة للطول 3 متر او للزمن 3 ثوانى. ففي كل هذه الحالات احتاج لرقم واحد من اجل تعيين الكمية تعيينا كاملا. ثم تأتى بعد ذلك الكميات المتجهة. وكلمة متجه او vector تعنى باللغة اللاتينية سائق او انه يوجه في اتجاه معين. وهذا النوع من الكميات لا يمكننى ان اصفه عن طريق رقم واحد. ولكنى احتاج لاكثر من رقم لاصف الكمية اللتى امامى.مثال على ذلك هي الازاحة: فاننى اذا طلبت منك ان تزيح كوبا من الماء موضوع فوق منضدة فارغة مسافة 50 سم فانت سوف تسألنى في اى اتجاه ينبغى ان تزيحه للامام؟ للخلف؟ لليمين؟ لليسار؟ فالازاحة تحتاج بجانب مقدار المسافة وهو 50 سم رقم اخر يعبر عن الاتجاه. وقد يكون هذا الرقم مثلا عبارة عن الزاوية اللتى يصنعها الاتجاه المقصود مع اتجاه الشمال الجغرافى مقاسة في اتجاه دوران عقرب الساعة. فعندما اقول مثلا ان عليك ان تحرك الكوب مسافة 50 سم بالزاوية 90 درجة فانني اعنى بذلك ان تحرك الكوب 50 سم في اتجاه الشرق. ولكن عموما فان المتجهات يتم التعبير عنها في الاحداثيات الكارتيزية بمجموعة ارقام يساوي عددها عدد الابعاد في الفضاء الموجود. ويعبر عن المتجه رياضيا بصورة مصفوفة ذات عمود واحد. مثال اخر قد يبدو غريبا للمتجه هو قياس البنطلون الجينز.حيث يعبرعن المقاس برقمين مثلا 36 : 34 فرقم يعبر عن الطول ورقم يعبر عن مقاس الوسط. اذن فقياس البنطلون الجينز كمية متجهة

ثم نأتى بعد ذلك للموترات او التنسورات. وهي كلمة مشتقة من الكلمة Tesnion بمعنى شد او توتر ولذلك تأتى الترجمة العربية اللتى قد تبدو غريبة بعض الشئ الموترات. و الموترات هي عبارة عن متجهات فائقة. بمعنى كما ان المتجه عبارة عن مجموعة من الارقام او الكميات القياسية فان الموتر هو عبارة عن مجموعة من المتجهات. مثال : عندما اطلب منك ان تزيح عصا طويلة موجودة فوق الطاولة في اتجاه ما. فان متجه واحد لن يكفى لوصف هذه العملية. لماذا؟ لان كوب الماء في المثال السابق يمكننا تخيله كنقطة واحدة.اما في حالة العصا فانها قد لا تحافظ بالضروة بعد ازاحتها على نفس الاتجاه اللتى كانت تاخذه قبل الازاحة. فمثلا قد تكون العصا تشغل في البداية اتجاه الشمال _ الجنوب ولكنها بعد الازاحة ينبغى ان تأخذ اتجاه الشرق _ الغرب. ومن هنا فاننا نري ان متجه واحد لايكفي لوصف هذه العملية بل نحن في حاجة الى مجموعة من المتجهات. ويعبر عن عن الموترات بصورة مصفوفة ذات صفوف و اعمدة.

الموترات الفائقة يمكن تصورها كمصفوفات في ثلاثة ابعاد

ثم ان هناك درجة اعلى من الموترات وهي الموترات الفائقة وهي بدورها عبارة عن مجموعة من الموترات لوصف عملية ما.مثال لذلك اذا طلبت منك ازاحة عصا طويلة موضوعة على منضدة مسافة ما. وكما راينا ان هذه العملية تحتاج لموتر كما سبق ووضحنا. فاذا اضفت ان العصا بعد ازاحتها لن تحافظ على استقامتها بل انها ستأخذ شكلا مقوسا ما فاننا نري ان موترواحد لن يكفي لوصف هذه العملية بل اننا نحتاج الي مجموعة من الموترات او موتر فائق.

وهكذا فاننا نري انه لا توجد نهاية لهذه العملية و استطيع ان اعرف موترات فوق الفائقة وهكذا الى مالانهاية. وفي بعض الكتب نجد ان الكميات القياسية يتم توصيفها بانها موترات من الدرجة صفر اما المتجهات فهي موترات من الدرجة الاولى ثم ان الموترات العادية هي من الدرجة الثانية اما الموترات الفائقة فهي من الدرجة الثالثة وهكذا.

وهناك نقطة احب ان اشير اليها وهي ان الموتر في الفيزياء هو عبارة عن كمية فيزيائية حقيقية وبالتالى فهى تحافظ على قيمتها بغض النظر عن محاور الاسناد اللتى استخدمها لتوصيف هذه الكمية. ولهذه النقطة دور مهم في النظرية النسبية العامة. حيت ان جميع القوانين الفزيائية تحافظ على صورتها بغض النظر عن محاور الاسناد.

نقطة اخرى احب ان اشير اليها وهي انطباع شخصي وقد يكون خاطئا.انطباعى اوملاحظتى انه في الدول المختلفة يتم التعامل مع الرياضيات بروح مختلفة بعض الشىئ . فمثلا في مصر يتم التركيز بشكل كبير على الهندسة و الهندسة الفراغية وينبغى على الطالب ان ينمى قدرته على التخيل الفراغي وان يستطيع ان يتخيل شكل خطوط مساعدة غير موجودة في المسألة من اجل الوصول لحل مسألة ما. وهذا امر قد يبدو طبيعيا في بلد اقليدس واضع الهندسة الاقليدية.ولكن في بلد اخر مثل المانيا يتم التركيز على الرياضيات من جهة الجبر اكثر. فالمتغيرات والمعادلات تلعب الدور الاكبر وهذا طبيعيى في بلد هلبرت اللذي دعا الى تجريد الهندسة من الرسوم والصور. وملاحظتى ان التركيز في المدارس الالمانية لايكون على الهندسة الفراغية ولكن يتم التعامل معها بسطحية شديدة ولكن التركيز يكون بصورة اكبر على الهندسة التحليلية او الهندسة الجبرية اللتى يتم فيها تحويل المفاهيم الهندسية كنقطة وخط ومستوى الى معادلات جبرية متجهة. اي ان المتجهات تلعب هنا الدور الاكبر في وصف الهندسة. ثم تأتي بعد ذلك الهندسة التفاضلية اللتى تعبر عن هندسات اعقد من الهندسة الاقليدية كهندسة ريمان. وهنا يلعب التنسور او الموتر دورا كبيرا. وفي هذا الميدان يحتاج الانسان الى معلومات متطورة في حساب المتجهات وحساب الموترات والتفاضل والدوال بدلالة اكثر من متغير وتفاضل هذه الدوال تفاضل جزئي او تفاضل كامل.

في النهاية اضيف نقطة اخيرة وهي ان للموترات دورا هائلا في الفيزياءالحديثة. فاي كمية او اي قانون فيزيائى سليم يجب ان ياخذ صورة معادلات تنسورية بشكل او باخر. وقد يكون الموتر في هذه الحالة من الدرجة صفر او او واحد او اثنين او ثلاثة او اعلى من ذلك.

اقليدس هو رياضى شهير عاش في مدينة الاسكندرية في عهد الدولة البطلمية في القرن الثالث قبل الميلاد. وكان اقليدس ينتمى فكريا الى مدرسة افلاطون تلك المدرسة اللتى كانت تؤمن بمملكة الافكار وقد كتب كتابه الاشهر العناصر وفقا لرؤية هذه المدرسة .فكان كتابه مثالا رائعا للنظرية العلمية وكيف ينبغى ان تكون.

وقد بنى اقليدس هندسته على مسلمات قليلة العدد ولكنها بديهية للغاية ولا يخالج اى انسان شكوك في صحتها. وكانت الهندسة الاقليدية محل اعجاب الجميع بلا استثناء من الاقدمين الاولين حتى عصرنا هذا. فالهندسة الاقليدية هي مانتعلمه في مدارسنا حتى ننهى تعليمنا. ولكن مع ذلك فان المسلمة الخامسة من مسلمات اقليدس كانت مثيرة للجدل. وقد اعتبرها الاقدمون انها الشئ الوحيد في هندسة اقليدس اللذي يشين هذه الهندسة و يقلل الى حد ما من بهائها وروعتها. لماذا؟ وماذا كانت تقول المسلمة الخامسة؟

المسلمة الخامسة في صياغتها الحديثة تقول اننا يمكن ان نرسم من اي نقطة تقع خارج خط مستقيم خط مستقيم اخر يوازي الخط الاول و يقع معه في نفس المستوي. ولكن هذه الصياغة ليست هي الصياغة الاصلية للمسلمة. بل أن الصياغة الاصلية تقول انه اذا تقاطع خطان مستقيمان في نقطة ما فان مجموع الزاويتين الداخلتين اللتين يصنعهما هذان الخطان مع خط ثالث يقطعهما اقل من قائمتين او من 180 درجة. وكان السابقون يرون ان هذه المسلمة تختلف في شكلها وبنائها عن باقى المسلمات الاخرى وان اقليدس قد احتاج للكثير من الكلمات لوصف هذه المسلمة بينما ما كان يميز باقى المسلمات الاخرى هي انها قصيرة ونافذه وواضحة. وتشكك البعض في ان كانت هذه مسلمة ام هي نظرية ينبغى برهانها بدلالة المسلمات الاخرى.

وحاول الكثيرون برهان المسلمة الخامسىة بدلالة المسلمات الاخرى ومن امثال هؤلاء ارشميدس و بطليموس و من بعدهم ثابت بن قرة و الطوسي وغيرهم الكثيرين. ولكن كل محاولات هؤلاء قدباءت بالفشل وكان الرياضى الالمانى جاوس هو اول من ادرك ان هذه الفرضية لا يمكن اثباتها بدلالة المسلمات الاخرى بل ينبغى فرضها فرضا. ومن الممكن فرض فرضيات مخالفة للمسلمة الخامسة لنحصل في كل مرة على هندسة جديدة تتناسب مع المسلمة اللتي تم فرضها.

واول من توصل لهندسات جديدة بخلاف هندسة اقليدس كان كلا من الروسي لوباتشيفسكي و المجري بولياي. وتوصل كل منهما لنفس الهندسة بصورة مستقلة وبمعزل عن الاخر. وقد فرض كل منهما اننا يمكننا رسم اكثر من موازي واحد لخط من خلال نقطة تفع خارج هذا الخط. وكانت الهندسات الجديدة تسمح باستنباط نظريات هندسية جديدة بصورة منطقية.

هندسة ريمان للاسطح الكروية

ثم قام ريمان الالماني بفرض افتراض اخر مفاده اننا لا يمكننا ان نرسم اي موازي لاي خط من نقطة تقع خارجه. ويمكننا تخيل هذه الفرضية بسطح الكرة الارضية. فخطوط الطول الموجودة فوق سطح هذه الكرة تمثل الخطوط المستقيمة لاننا لايمكننا ان نجد خطوط اكثر استقامة من خطوط الطول الموجودة على سطح الكرة المقعر. كما اننا لانستطيع من اى نقطة رسم خط طول يوازي خط طول اخر. لان خطوط الطول على سطح الكرة الارضية تتقاطع كلها عند القطبين. اى ان خطوط الطول كلها ليست متوازية.

ومن سمات هندسة ريمان الخاصة بالاسطح الكروية ان مجموع زوايا المثلث الداخلية اكبر من 180 درجة. فمثلا اذا نظرنا الى مثلث كروي. اي انه موجود فوق سطح كرة و ضلعاه هما خطى طول ما فوق سطح الكرة الارضية بينما ضلعه الثالث يقع فوق خط الاستواء. فنجد ان كل زاوية بين خطى الطول وخط الاستواء على حدة تساوي 90 درجة اي ان مجموعهما هما الاثنين فقط يعطي 180 درجة. اى ان مجموع زوايا المثلت الداخلة الثلاثة اكبر من 180 درجة.

كما ان من سمات هندسة ريمان بالنسبة للاسطح الكروية ان نظرية فيثاعورث لاتسرى لحساب المسافة بين نقطتين الا في حالة النقاط القريبة جدا من بعضها وبصورة تقريبية. اي ان نظرية فيثاغورث لحساب المسافة بين النقطتين تسري فقط بصورة موضعية.

ولكنى في البداية احب ان اوضح النقطة التاليةوهي ان سطح كرة هو سطح ثنائي الابعاد بالرغم من ان الكرة تشغل حيز مكانى ثلاثى الابعاد. فالسطح ثنائى الابعاد يحتاج لرقمين او بعدين فقط لتحديد اى نقطة تقع عليه. فمثلا اذا اردنا تعيين موضع مدينة بيروت على سطح الكرة الارضية فاننا نفعل ذلك عن طريق قيمة خطوط الطول و العرض. اي ان رقمان كافيان لتحديد موضع اى نقطة فوق سطح الارض. كما انى احب ان اوضح ان هناك اكثر من نظام للاحداثيات بخلاف الاحداثيات الكارتيزية مثل الاحداثات الاسطوانية و الاحداثات الكروية. وتحديدا فان الاحداثيات الكروية تلعب دورا كبيرا في النظرية النسبية العامة.

وكان العبقري جاوس قد وجد خواص مثيرة للاسطح الكروية. ومن ضمن هذه الخواص المثيرة اننا عن طريق قياسات داخلية على السطح نستطيع ان نحصل على معلومات حول البعد الثالث. فمثلا اذا درسنا جسم على هيئة اسطوانة فاننا اذا قسنا محيط هذه الاسطوانة فاننا نستطيع ان نحسب طول قطرها اللذي يقع في بعد اخر حيث ان محيط الاسطوانة يساوى حاصل ضرب القطر في الثابت ط. والمثل بالنسبة للسطح الكروي فان مساحة مثلث على سطح كرة يساوي مربع نصف قطر الكرة مضروبا في فارق مجموع زوايا المثلث الداخلة عن 180 درجة. وكانت هذه الحقائق تبهر ريمان. فعكف على تطوير هندسته ودرس اسطح ثلاثية الابعاد مقعرة وكذلك الحال بالنسبة لاسطح رباعية الابعاد مقعرة وهكذا. وما يهمنا هو الاسطح الرباعية الابعاد المقعرة لان الزمكان في النظرية النسبية هو رباعى الابعاد. وبالطبع لايمكننا ان نتخيل كيف تبدو اسطح رباعية الابعاد مقعرة. اي انها تشغل في الاحداثيات الكارتيزية 5 ابعاد لاننا لايمكننا ان نتخيل اكثر من 3 ابعاد مكانية في نفس الوقت.

وقد شعر اينشتاين ان هندسة ريمان هى ضالته المنشودة. فاينشتاين كان هدفه الوصول الى قانون يحسب المسافة بين الاحداث في الزمكان الرباعى الابعاد. وحساب هذه المسافة ينبغي ان يكون على غرار قوانين مينكوفسكي اللتى هي في الحقيقة تطوير لنظرية فيثاغورث. وكما راينا سابقا فان قانون فيثاغورث يعمل بصورة محلية بين النقاط القريبة في هندسة ريمان. و كان هذا ما يحتاجه اينشتاين تماما. فلحساب المسافة بين حدثين بعيدين عن بعضهما في الزمكان نستطيع ان نقسم المسافة بين هذين الحدثين البعيدين الى مسافات صغيرة على طول المسافة بين الحدثين. ثم نحسب كل مسافة صغيرة على حدة ثم نجمع هذه المسافات لنحصل في النهاية على النتيجة النهائية. او اذا احببنا ان نوصف تلك العملية بصورة اكثر رياضية فاننا نقول اننا نجري عملية تكامل.

وبناء عليه كان على اينشتاين ان يصف كوننا او الزمكان بدلالة هندسة ريمان و ان يحدد تقعر الزمكان وسوف تكون الجائزة انه سوف يحصل على العلاقات الحقيقية اللتى تفسر كل قوانين الميكانيكا و الجاذبية في كوننا.

سقراط وافلاطون و ارسطو اسماء عملاقة ظهرت في التاريخ البشري وساهمت في ازدهار الفلسفة و العلوم بشكل هائل. وكان سقراط استاذ افلاطون كما كان افلاطون استاذ ارسطو ولكن مع ذلك فقد كان لكل منهم اتجاهه الخاص اللذي خالف فيه استاذه. فسقراط كان مجادلا ومحاورا بارعا ولكنه لم يترك كتابا مكتوبا يحوي اراؤه. وكل ماوصلنا عنه كان عن طريق تلميذه افلاطون اللذي مجد شخص سقراط وجعله بطلا لكل قصصه وحواراته. اما افلاطون وهو اللذي كان يدعو الى مملكة الافكار ويقدس دور العقل ويعتبر ان العلم مكانه المخ وليس المختبر. فعند افلاطون اذا اكتملت الفكرة واختمرت في عقل انسان رشيد اصبحت حقيقة مؤكدة ولا يضيرها مخالفة تجربة عملية لها.فالتجارب والواقع ليست اشياء مثالية.اما المنطق و العقل ومنتجاتهما فهي اشياء في قمة المثالية و كاملة ومكتملة. اما ارسطو فقد تبنى فلسفة مغايرة تماما. فهو كان يرى ان العلم هو ماأكدته التجربة. أما الاجتهادات الذهنية اللتى لايدعمها الواقع و التجرية فهي جهد مهدور لاطائل من ورائه.

وتأثر العلماء المسلمون بأراء ارسطو و افلاطون ولاسيما ارسطو اشد التأثر. وتمت ترجمة كل اعمال ارسطو الى العربية عن طريق ابن رشد واللذي عن طريقه وصلت كل افكار ارسطو المعربة الى الغرب ليبدأ نهضته العلمية في عصر النهضة.

وما يعنينا اليوم هي اراء افلاطون اللتى كانت تري ان العلم هو ثمرة الافكار المجردة. وانجح مثال يدعم هذا الرأي هي الهندسة الاقليدية ذلك الانجاز البشري الهائل اللذى لابد ان يشعر الانسان امامه بالاعجاب و التقدير. فالهندسة الاقليدية مبرهنة بشكل رياضى قاطع و لاتحتمل انصاف الحلول. وان اثبتنا خطئا صغيرا في هذه النظرية فقد اسقطنا الهندسة الاقليدية كلها. وتنتهى البراهين في الهندسة الاقليدية الى مسلمات بديهية مقطوع بصحتها ولكن لايمكن اثباتها. انما يتم الاعتقاد بذلك لان هذه المسلمات بديهية للغاية ولا توجد نقاط ابسط منها يمكن ان نردها اليها. وتقوم على هذه المسلمات النظريات المعقدة و النتائج الهندسية البديعة.

وبعد اكثر من الفي سنة من حياة اقليدس في الاسكندرية ظهر الالماني اينشتاين على الساحة العلمية وهو كان شديد الاعجاب بالهندسة الاقليدية. ويلاحظ ان بناء النظرية النسبية يشبه الى حد كبير بناء الهندسة الاقليدية. فاينتشاتين فرض مبادئ اساسية. ومن هذه المبادئ استنبط اينشتاين قوانينه بشكل رياضي. وكان اينشتاين يعشق التجارب الذهنية وكان يستخدمها بديلا عن التجارب المعملية تماما كما كان ينادي افلاطون. لكن المفاجأة تكمن في ان اينشتاين هو اول من دعى الي ابعاد الهندسة الاقليدية عن ميادين الفيزياء لان قوانينها لا تصف كوننا بشكل صحيح.

صحيح ان بناء النظرية النسبية يتشابه مع بناء الهندسة الاقليدية الا ان النظرية النسبية قائمة على المبادئ والهندسة الاقليدية قائمة على المسلمات. ولكن ماهو الفارق بين المسلمات و المبادئ؟ المسلمات هي بديهيات يقر الانسان بصحتها دون القدرة على برهانها او ردها الى مسلمات اخرى اقل منها. اما المبادئ فهي ايضا اشياء يقر الانسان بصحتها دون برهانها ولكن ليس بناء على بداهتها ولكن بسبب ان التجربة والواقع يشهدون لها بشكل لاريب فيه. فمن مبادئ النسبية وصل اينشتاين الى نتائج شيقة تخالف البديهيات اللتى كنا نعتقدها. اى ان يننشتاين انطلق من الواقع والتجربة كما ارسطو ولكن طريقه كان عبر التجارب الذهنية كما كان طريق افلاطون ليصل الى نتيجة سقراط: انا اعرف اني لا اعرف. فالحواس خادعة و ما تصوره لنا حواسنا قد يكون مغلوطا.

الحقيقة اننا نعيش اليوم مايبدو انه مفارقة غريبة فالبديهيات اوصلت العلم الحديث مبالغ عظيمة. لكننا بعد ان وصلنا الى هذه المبالغ ندرك انه ممن الممكن ان تكون تلك البديهيات صاحبة الفضل في تلك النجاحات في حقيقة الامر خاطئة. ويمكن تخيل هذا الامر اننا نعيش في عالم محدود رغم اتساعه و البديهيات تبلغنا حتى حدود عالمنا لنري عالما جديدا يبزع امامنا. ولكن ليس بالضرورة ان تسري في هذا العالم الجديد بديهياتنا القديمة. فهذه البديهيات ليست مقدسات لا يمكن كسرها. او تشبيه اخر للبديهيات بانها كالأب الذي يرعى طفلا حتى يشب هذا الطفل عن الطوق ويدخل الطفل مرحلة الشباب وربما يدرك الشاب ان كل تقاليد وافكار الاب ليست صحيحة.

نعود الان الى موضوعنا الاساسى لماذا اضطر اينشتاين للتخلي عن الهندسة الاقليدية؟ نعلم ان اينشتاين قد ادرك انه بحاجة الى نظرية جديدة و ان ترقيع النظريات الموجودة حتى النظرية النسبية الخاصة لن يجدي بشئ. اذن كان عليه ان يصنع كل شئ من جديد ولكنه فكر مالذي يمكنه ان يأخذه معه من الحقائق القائمة لتوفير الجهد وعدم اختراع العجلة مرتين. كان اينشتاين متأثرا بفضاء مينكوفسكي وبفكرة ان الزمن بعد رابع. وكان متأثرا بقانون حساب المسافات بين نقتطين او حدثين في فضاء مينكوفسكي:

s^2 = x^2 + y^2 +z^2 – c^2t^2

وكان يريد قانونا مشابها في نظريته الجديدة . قانون على نفس النسق يمكن بواسطته حساب الابعاد في الزمكان بين الاحداث المختلفة. ولكن المشكله ان القانون اللذي استخدمه مينكوفسكي كان مبنيا على نظرية فيثاعورث. وقانون شبيه يعنى في حقيقة الامر قانون اخر. اى ان حساب المسافات بين نقطتين فى الزمكان الجديد لن يخضع لنظرية فيثاغورث. وكانت هذه مفاجاءة

نقطة اخري توضح ان هندسة اقليدس ليست الهندسة المناسبة لتوصيف الزمكان الاينشتاينى الجديد هي التجربة الذهنية الاتية : لو تخيلنا ان هناك قرصا دوارا يدور بسرعة عالية. ونعلم انه عند حافة القرص تصير السرعة اعلى مايمكن. لكن ازدياد السرعة يعنى نقص طول المحيط كما توضح تحويلات لورنتر. ولكن نصف قطر القرص لن يقل لانه في اتجاه عمودي على اتجاه الحركة. ونعلم من الهندسة الاقليدية ان محيط القرص يحسب عن طريق المعادلة التالية:

U= 2 x 3.14 x r
حيث U المحيط و r نصف القطر

ولكننا هنا نري ان المحيط اقصر من تلك العلاقة المحسوبة.اذن فهندسة اقليدس لاتسري على قرص دوار !. وبالطبع كانت ثقة اينشتاين في نفسه وفي نظريته عالية فلم يتردد في التخلى عن هندسة اقليدس وقرر ان يستعيض عنها بهندسة ريمان.وكان اختياره لهندسة ريمان اختيارا ناجحا واستطاع عن طريق هندسة ريمان ان يجد معادلاته المنشودة.

في النهاية احب ان اعلق بنقطتين: النقطة الاولى انه من المنطقى ان لا تنسجم الهندسة الاقليدية مع النظرية النسبية.فالهندسة الاقليدية تقوم على بديهيات عالمنا الكلاسيكي القديم. اما نظرية النسبية فقد قامت على مبادئ ظهرت في المرحلة اللتى شب فيها الطفل عن طوق ابيه.

النقطة الثانية اللتى احب ان اؤكد عليها هى اني ارجو الايفهم من كلامي ان هندسة اقليدس خاطئة. فهي بالطبع صحيحة لانها مبرهنة برهان رياضى سليم. ولكن ما قاله اينشتاين انها ليست انسب الهندسات لوصف كوننا الكبير اللذي نعيش فيه!!

تقوم فلسفة وفكرة النظرية النسبية بشقيها الخاص و العام على تصور ان الحركة امر نسبي وان انسان يتحرك بسرعة ما قد لا يدري بالضرورة انه يتحرك وقد يعتقد في قرارة نفسه صارما جازما بانه ثابت في مكانه. ولا يمكن لاحد ان يثبت عكس هذا فيزيائيا مهما حاول ومهما استخدم من اجهزة وعمل من قياسات. ولكن الانسان يتصور حركته بحكم العقل و المنطق وليس بالضرورة ان يدعم هذا الحكم الشعور والاحساس. فالكرة الارضية تدور حول الشمس ونحن معها ولكننا لانشعر بهذه الحركة. ومعرفتنا بامر هذه الحركة كان استنتاجا عقليا وليس شعورا محسوسا.و عندما يبدأ قطار نستقله في الحركة من محطة القطار فاننا لا ندري انحن المتحركون ام هو القطار على الرصيف المقابل. ولابد لكي ندرك حالتنا من الحركة ان ننظر الى شئ نعتقد انه ثابت ونقارن انفسنا بالنسبة اليه كعمود انارة او شجرة او شئ مشابه. وهكذا فاننا نري اننا لا نشعر بالحركة ولكننانسقط هذا الحكم بعقلنا.

وهذه كانت فكرة اينشتاين الاساسية. فكل الاجسام تعتقد في نفسها الثبات ولها كل الحق في ذلك. لان هناك ما يثبت هذا الاحساس ويدعمه وهو ان صيغة وصورة جميع القوانين الفيزيائية بالنسبة لجميع الاطر و محاور الاسناد المتحركة هي ثابتة او ينبغي ان تكون كذلك.

وكانت هذه فكرة ثورية. فهي تسقط ما قاله نيوتن اللذي كانت تحويلاته تجعل صور القوانين الفيزيائية ماعدا قوانين الحركة تختلف طبقا للاطار اللذي يتم فيه رصد هذه القوانين. كما انها تتخطى تحويلات لورنتر اللتى كانت قاصرة على ميادين الديناميكا الكهربائية وتختص بحالة واحدة من الحركة وهي الحركة بسرعة منتظمة في خط مستقيم.

ونسبية الحركة بسرعة منتظمة في خط مستقيم هو امر بين ندركه جميعا. وشعورنا بالثبات عند حركتنا ضمن هذه الاطر هو امر من السهل افتراضه وقد بينا ذلك انفا. ولكن اثبات نسبية الحركة بعجلة منتظمة لم يكن هينا كأمر السرعة المنتظمة. لكن اينشتاين استطاع عن طريق تجربة ذهنية ان يوضح ان الحركة بتسارع منتظم لايمكن تفريقها عن الوجود في مجال جاذبي منتظم. وقد استطاع اينشتاين توضيح ذلك عن طريق افتراض مختبر فضائي يتم تعجيله الى اعلى بتسارع 10 متر في الثانية المربعة و مختبر اخر مستقر فوق سطح الارض.وبداخل كل مختبر يوجد راصد. واوضح انه لا سبيل لاي من الراصدين لادراك لاي مختبر ينتميان مهما عملا من محاولات.

ولكننا الان لاستكمال الصورة نحتاج الى عمل تعديل على هذه التجربة الذهنية.فالمختبران ينبغى ان يكونا صغيرين. لانه لو كان المختبران كبيرين لفطن الراصدان لاي مختبر ينتميان. لماذا؟ لان في حالة المختبر الفضائي يتم التعجيل دائما رأسيا الى اعلى بغض النظر عن مكان وجود الراصد بداخل المختبر. اما اذا كان المختبر على الارض وافترضنا ان طول المختبر 5000 كيلومتر مثلا فان اتجاه قوة الجاذبية لايكون ثابتا. فأننا اذا راعينا كروية الارض فسنجد ان قوة الجاذبية تشير دائما باتجاه نصف القطر نحو مركز الارض.اى ان اتجاه القوة ليس ثابتا. ولكن في حالة المختبر الصغير فهذا الاعتراض غير موجود ولا يمكن لراصد ان يفطن لحالته بصورة قطعية.

لكن ماذا عن باقى الحركات الاكثر تعقيدا من الحركة بسرعة منتظمة او الحركة بعجلة منتظمة؟هل هي نسبيية ايضا؟ هل طائرة تطير في الجو وتتعرض لمطبات هوائية يمكن ان تتصور انها ثابتة وان حركتها نسبية؟ وان شعور ركاب الطائرة يمكن تفسيره على نحو اخر؟ الاجابة هي نعم. فالنسبية تقول اننا يمكن ان نفسر لراكب طائرة يتعرض لمطبات هوائية انه الان يقع تحت رحمة مجال جاذبية متغير القيمة ولكنه ثابت الاتجاه وفي اتجاه رأسي. ولكن هل يمكن في الطبيعة خلق او ايجاد مجال جاذبية متغير كهذا المجال اللذي نحاول ان نقدمه؟ نظريا نعم. ولكن عمليا فان علينا ان نحرك الكرة الارضية او كواكب اخري بحركة تسارعية حتى نخلق هذا المجال. اذن فوجود مجال جاذبية مثل هذا ممكن على الاقل من الناحية النظرية.

كانت هذه خطوة هامة. فالحركات المعقدة يمكن تفسيرها الآن على انها الوقوع تحت تأثير مجال جاذبية متغير. ولكن في المثال السابق كان اتجاه التسارع ثابتا والقيمة كانت هي المتغيرة. لكن ماذا الان لو تغيرت قيمة التسارع و اتجاهه في نفس الوقت؟ اي ان الحركة اصبحت في قمة التعقيد فهل مازال من الممكن تفسير هذه الحركة على انها تأثير مجال جاذبية متغير ايضا؟ وهل يمكننا صنع او ايجاد مجال جاذبية مشابه في كوننا؟

ان تغيير اتجاه التسارع يشبه الحركة الدورانية. فقرص يدور حول مركز ما يشعر انسان موجود فوقه بقوة الطرد المركزية اللتى تدفعه دائما بعيدا عن هذا المركز. وهي قوة متغيرة الاتجاه و القيمة. فهذه القوة تكون صفرا عند محور الدوران وتزداد قيمتها كلما ابتعد الانسان عن المركز باتجاه الحواف. كما ان اتجاه هذه القوة متغير ايضا وهي يشير دائما الى عكس مركز الدوران في اتجاه نصف قطري يعتمد على مكان وجود الانسان فوق القرص.

ولكن هل يمكن تفسير القوة الطاردة المركزية على انها تأثير مجال جاذبية متغير الاتجاه و المقدار؟ واين يمكن ان يوجد مثل هذا المجال في الكون؟ قوانين نيوتن تقول ان مجال جاذبية كهذا مستحيل ومهما اتينا باجسام وكتل وحركناها او سارعناها فاننا لن نستطيع ان نخلق مجالا كهذا.اما نظرية اينشتاين للجاذبية فتقول صحيح ان مثل هكذا مجال غير موجود في الطبيعة ولكنه ليس مستحيلا نظريا.

اذن فقد اطمأن اينشتاين الى سلامة فكرته الاساسية و هي ان اي حركة نسبية بغض النظر عن نوع هذه الحركة. ولكن بقى عليه الان ان يجد القالب الرياضى اللذي يصوغ فيه هذه الفكرة. فكان عليه ان يجد تحويلات تشبه تحويلات لورنتر او قوانين مينكوفسكي. ولكن عند اجراء التحويلات الفيزيائية بدلالة هذه المعادلات الرياضية فينبغى ان تبقى صورة القوانين الفيزيائية في الاطر المختلفة كما هي كما هي بدون اي تغيير.

من يقرأ تاريخ قصة النظرية النسبية العامة فسوف ينبهر بالدور اللذي لعبه ارثر ادنجتون في اثبات النظرية النسبية العامة ودعمه لالبرت اينشتاين. فالبرت اينشتاين كان فيزيائيا نظريا عملاقا ولكنه لم يجري تجربة عملية واحدة في حياته من اجل اثبات نظرياته. بالرغم من ذلك كان اينشتاين شديد الثقة في صحة افكاره ونظرياته. وكان لايخالجه ادنى شك في ان التجارب العملية لابد وان تدعم مايطرحه من افكار وتصورات. ومن ملامح تمكن اينشتاين وثقته بنفسه انه كان دائما يفكر في تجارب عملية من الممكن عملها من قبل الفيزيائيين التجريبيين من اجل التحقق من صحة نظرياته او عدمها.

انحراف موضع نجم عن موضعه الحقيقة وقت الكسوف

ومن ضمن الافكار اللتى طرحها اينشتاين للتحقق من صحة نظريته النسبية العامة كانت تجربة للتحقق من انحناء الضوء عند مروره بالقرب من قرص الشمس. وكانت فكرة اينشتاين انه يمكن استغلال فترة كسوف الشمس لرصد نجم مجاور للشمس بشرط ان يكون مكان هذا النجم معروفا في وقت اخر لايكون فيه هذا النجم بجوار الشمس. فعندما يكون النجم بجوار الشمس فان الشمس سوف تحرف الضوء الصادر منه بحيث يبدو النجم وكانه موجود في مكان اخر غير المكان اللذي ينبغى ان يكون فيه طبقا للأرصاد السابقة.

وفي تلك الفترة اللتى كان فيها اينشتاين يبحث في النظرية النسبية العامة كانت الحرب العالمية الاولى مازالت قائمة وبالرغم من ذلك فان اينشتاين كان يطرح نتائج ابحاثه على الاكاديمية البروسية للعلوم. ومن هناك كانت تصل النتائج الي هولندا المحايدة. ومن هولندا كانت النتائج تصل الى انجلترا حيث يعمل الفيزيائى والفلكي ارثر ادنجتون. وكان ادنجتون من اشد المعجبين بالنظرية النسبية العامة. وفي 29 مايو عام 1919 كان من المتوقع ان يحدث كسوف كلى للشمس فقرر ادنجتون ان يستغل هذا الحدث من اجل التحقق من النظرية النسبية العامة كما اقترح البرت اينشتاين. وكان ادنجتون يود في قرارة نفسه ان تكون نتيجة قياساته ايجابية وان يثبت النظرية النسبية ويؤكدها و لا يدحضها وينفيها.

وهذا الشئ يثير العجب و الاعجاب خصوصا اذا تنبهنا الى ان ادنجتون كان انجليزي بينما اينشتان كان المانيا.اي انه  ينتمي للدولة اللتى كانت انجلترا تخوض حربا ضروسا ضدها. ويتقرر ارسال بعثتين علميتين الاولى الى البرازيل بقيادة فرانك ديسون والثانية الى غرب افريقيا برئاسة ادنجتون.وكانت فترة الكسوف ستستمر لمدة دقائق قليلة. وبالفعل حرص ادنجتون على عمل القياسات اللازمة لنجم بجوار الشمس ساعة الكسوف وكان ادنجتون يعلم مكان هذا النجم من قبل.وكانت النتائج الاولية مبشرة.ثم عاد ادنجتون الى لندن مرة اخرى لعمل الحسابات النهائية ولتقييم بيانات بعثة البرازيل ايضا. وكانت النتيجة النهائية لارصاد البعثتين تؤكد ان النظرية النسبية على حق وانها تنبأت بالموقع المزيف للنجم بمنتهى الدقة. وتم اعلان ذلك في جلسة مشتركة للجمعية الملكية الانجليزية مع الجمعية الملكية الفلكية الانجليزية. وبعد مراسم انجليزية تقليدية اعلنت الهيئتان ان البرت اينشتاين كان محقا فيماذهب اليه. وفي صبيحة اليوم التالى أصبح البرت اينشتاين اشهر رجل فوق سطح الكرة الارضية.

ومما يثير التأمل في هذه القصة ان ادنجتون شهد لصالح اينشتاين ولم يمنعه عن ذلك كره للالمان  لان الالمان والانجليز كانوا اعداء لدودين في تلك الفترة. كما لم يمنعه عن تلك الشهادة تحيزه الى ابن بلده الانجليزي العملاق اسحق نيوتن اللذي كان قبل 200 عاما رئيسا للجمعية الملكية الانجليزية وبالرغم من ان نظرية اينشتاين اسقطت قوانين نيوتن بالضربة القاضية.

نستعرض اليوم نتيجة تعتبر من اهم وأشهر النتائج اللتى توصلت اليها النظرية النسبية العامة وهي تقول بان الضوء ينحنى عند مروره في مجال جاذبية قوي كمجال جاذبية الشمس مثلا.

ولدراسة تأثير الجاذبية على شعاع ضوء فعلينا دراسة كيف يبدو هذا الشعاع بالنسبة لراصد يتحرك بتسارع ما. كان هذا مااكتشفه اينشتاين عن  طريق تجاربه الذهنية حول نسبية التسارع وعلاقة التسارع بالجاذبية. وموضوع نسبية التسارع قد تعرضنا له في مدونة سابقة ومن يرغب في مطالعته فعليه بمراجعتها.

اذن فلو تخيلنا ان لدينا مختبر فضائي موجود في الفراغ ويتم تعجيله الى اعلى بتسارع معين ثم اطلقنا بداخل هذا المختبر

انحناء شعاع ضوء افقى بالنسبة لراصد موجود بداخل مختبر يتحرك بتسارع

شعاع ضوء افقي فكيف يبدو هذا الشعاع بالنسبة لراصد موجود بداخل المختبر المتسارع؟ الاجابة حيث ان ارضية المختبر تتسارع الى اعلى فان شعاع الضوء سيبدو منحنيا الى اسفل. اذن فعند مرور شعاع ضوء في مجال جاذبية قوي فانه سوف ينحنى تحت تأثير هذا المجال.

اذن فقد توصل اينشتاين الى نتيجة اخرى جديدة ومثيرة عن طريق تجاربه الذهنية وقبل ان يتوصل للقانون النهائى للنظرية النسبية العامة. نعم كان هذا صحيح ولكن انجاز اينشتاين هذه المرة كان طعمه مرا جدا بالنسبة لاينشتاين نفسه. لماذا؟ لان انحناء الضوء الى اسفل يعنى ان سرعة الضوء ليست ثابتة بل ان سرعة الضوء في الاجزاء العليا اعلى منها في الاجزاء السفلى وهذا يتعارض صراحة مع المبدأ الثاني للنظرية النسبية الخاصة واللذي ينص على ثبوت سرعة الضوء. وها هو اينشتاين نفسه ينقض غزله بيده ويقول الان ان سرعة الضوء ليست قيمة ثابتة. وكانت فرحة خصوم اينشتاين غامرة. فهاهو اينشتاين يتراجع عن ادعائاته ويسحب ماكان ينادي به.

حاول اينشتاين ان يستعيد رباطة جأشه بل وحتى ان يستغل هذا الاكتشاف لصالحه. فدعى الى اعتبار سرعة الضوء عند نقطة معينة في المكان مقياس لقيمة مجال الجاذبية عند هذه النقطة. ولكن هذه الفكرة لم تؤت ثمارها. لكن اينشتاين قد ادرك ان عليه ان يبحث عن نظرية جديدة اعم واشمل و الا يبقى اسيرا للنظرية النسبية الخاصة.

وبالفعل تمكن اينشتاين من بعد جهد شاق من وضع النظرية النسبية العامة واللتى تحتوي على كل النتائج اللتى توصل اليها عن طريق تجاربه الذهنية كما انها تحتوي ايضا على نتائج النظرية النسبية الخاصة. ولكن تبقى هناك نقطة احب ان انوه اليها حول العلاقة بين النظريتين العامة  والخاصة. فالحقيقة ان النظرية النسبية الخاصة لم تسقط تماما. فهي قائمة على مبدائين اساسيين.فان تحقق هذان المبدئان تحققت النظرية وان لم يتحققا تعطلت.اذن فالنظرية النسبية الخاصة تعتبر صحيحة عندما تكون سرعة الضوء ثابتة وهذا يكون قائما عندما ينعدم اى تأثير للجاذبية.اما اذا وجد هذا التأثير فيجب ان تنتهى صلاحية النظرية النسبية الخاصة ووجب استخدام النظرية النسبية العامة. اذن فالنظرية النسبية الخاصة كما هو اسمها حالة خاصة وتقريبية من النظرية النسبية العامة.

النقطة الاخيرة اللتى احب ان اشير اليها هى ان اينشتاين عندما اكتشف قانونه النهائى وحسب انحراف شعاع ضوء يمر مماسا لقرص الشمس وجد ان زاوية الانحراف تبلغ ضعف القيمة اللتى حسبها اولا عن طريق تجاربه الذهنية وقد تم بالفعل التأكد عمليا من هذه القيمة واثباتها بالقياس المباشر عن طريق الفلكي و الفيزيائي الانجليزي ادنجتون.

نتعرف اليوم الى احد النتائج اللتى توصل اليها البرت اينشتاين من خلال تجاربه الذهنية في ميدان النظرية النسبية العامة وقبل توصله للصيغة الرياضية النهائية لهذه النظرية. وهذه النتيجة توصل اليها اينشتاين في عام 1911 بينما قد توصل للصيغة الرياضية لنظريته النسبية العامة في عام 1915.

وموضوع اليوم يتناول الضوء الصادر من الشمس او من اي نجم اخر. فالشمس من المعروف عنها  ان لها مجال جاذبية قوي وخصوصا عند مقارنته بمجال جاذبية الارض. والضوء كما هو معروف عبارة عن حزمة من الموجات الكهرومغناطيسية ذات الترددات المختلفة. ومن المعلوم ان اللون الاحمر هو اقل الالوان المنظورة  ترددا بينما اللون البنفسجي هو اعلاها  ترددا. واذا سألنا انفسنا ما معنى كلمة تردد؟ لوجدنا الاجابة انها عدد الاهتزازات الكاملة في الثانية الواحدة. ولن نشغل انفسنا هنا  بماذا تعني كلمة اهتزازة كاملة في حالة الضوء.و لمزيد من المعلومات عن الضوء و الموجات الكهرومغناطيسية يمكنكم مراجعة هذا الرابط.

ازاجة طيف الشمس نحو اللون الاحمر

وقد توصل اينشتاين من خلال تجاربه الذهنية كما سبق ورأينا الى  ان الجاذبية تعيق انسياب الزمن. فاذا فرضنا ان اللون الازرق يصنع مثلا 100 اهتزازة كاملة في الثانية الواحدة بينما اللون الاحمر يصنع 50 اهتزازة في الثانية. ولكن كما ذكرنا لان عند الشمس تكون قوة الجاذبية عالية فيسري الزمن بطيئا عند الشمس وتبدو ثانية عند الشمس كثانيتين مثلا عند الارض. اذن فاللون اللذي يصنع 100 اهتزازة كاملة عند الشمس يبدو وكانه يصنع 100 اهتزازة كاملة في ثانيتين بالنسبة لنا على الارض. ولذلك يبدو اللون الازرق الصادر من الشمس احمر بالنسبة لنا. وهذا ينطبق على كافة الاطياف الاخري. ولذلك يبدو طيف الشمس ككل منزاح الى ناحية الالوان الاقل ترددا. ونقول على هذا مجازا ان طيف اشعة الشمس يبدو مزاحا نحو اللون الاحمر.

كان هذا الاستنتاج يبدو فى البداية غريبا ولكنه كان يمثل ايضا شرطا لصحة النظرية النسبية العامة. وبالفعل اثبتت التجارب العلمية بعد عشرات السنوات من اعلان النظرية النسبية العامة صدق هذا الاستنتاج و ان اطياف النجوم عموما تبدو مزاحة نحو اللون الاحمر تحت تأثير الجاذبية.

يبدو العنوان للوهلة الاولى غريبا وقد يبدو مضحكا. فالمعروف عن الجاذبية انها قوة تؤثر في الاجسام المادية فهل تؤثر قوة  الجاذبية ايضا في الزمن وتقيده بل وقد تمنعه من الحركة؟ نعم هذا ماتوصل اليه اينشتاين عن طريق تجاربه الذهنية حول الجاذبية!!

فقد توصل اينشتاين الى ان التسارع و الجاذبية هما وجهان لعملة واحدة و ان انسان محبوس في غرفة مغلقة فوق سطح الارض لا يمكنه ان يدرك ان كان فعلا فوق سطح الارض او انه في الفضاء ويتم تعجيله بعجلة قيمتها 10 مترفي الثانية المربعة. راجع الربط التالى اللذي تحدثنا فيه عن هذا الموضوع. بناء على هذا فان التسارع نسبي ونستطيع ان نحيل مسائل الجاذبية الى مسائل التسارع ونستطيع ان نحيل مسائل التسارع الى مسائل الجاذبية وسنحصل في كلتا الحالتين على نفس النتيجة. وحيث اننا نبحث اليوم حول تأثير الجاذبية على الزمن فسوف نستخدم الحل السحري وندرس تأثير التسارع على الزمن!!

لنتخيل ان هناك صاروخ في الفضاء يتحرك بعجلة تسارعية. وتوجد في ارضية الصاروخ وفي سقفه ساعتان متماثلتان تماما وتعملان بنفس الكيفية. ثم يتسلق راصد الى سقف الصاروخ ليراقب كيف تعمل الساعتان. ولنتخيل ان كلتا الساعتين ترسلان ومضة ضوئية كلما عملت تكة. اذن فعلى الراصد ان يرصد الفارق الزمني بين ومضتي ضوء متتاليتين قادمتين من اسفل ويقارنه بالفارق الزمني لتكات الساعة الموجودة بجواره في سقف الصاروخ. لكن حيث ان سقف الصاروخ يتحرك بعجلة تسارعية الى اعلى فأن سقف الصاروخ يبتعد دائما عن شعاع الضوء القادم من اسفل. وبناء عليه سيلاحظ الراصد ان الفارق الزمني بين ومضتي ضوء قادمتين من اسفل اكبر من الفارق بين تكات الساعة الموجودة بجواره وسوف يستنتج ان الساعة الموجودة في اسفل الصاروخ تؤخر.

ولو فرضنا ان هناك راصد اخر يقف على ارضية الصاروخ ويراقب الساعة الموجودة في السقف فماذا سوف يري؟ نفس الشئ ولكنه سوف يرى ان الساعة الموجودة في السقف تعمل بشكل اسرع من الساعة الموجودة بجواره.لماذا؟ لان الشعاع القادم من السقف يقطع دائما مسافات اقل لان ارضية الصاروخ تتحرك بعجلة الى اعلى لتقابل شعاع الضوء القادم من فوق.

وأحب ان انوه ان هناك فارق كبير بين تأخير الزمن في النظرية النسبية العامة عنه في النظرية النسبية الخاصة. ففي النظرية النسبية الخاصة يرى كلا من الراصدين في مجموعتي الاسناد ان زمن مجموعة الاسناد الاخري هو اللذي يؤخر ويسري ببطء. اما في النظرية النسبية العامة فالتأخير يسري في اتجاه واحد. لان احد الراصدين يرى ان الزمن في مجموعة الاسناد الاخري هو اللذي يؤخر بينما يري الراصد الثاني ان الزمن في مجموعة اسناد الراصد الاول هو اللذي يسري بشكل اسرع.

اذن فقد راينا أن التسارع يؤثر على الزمن. وبالتالي فالجاذبية تؤثر على الزمن ايضا. نقطة. ومن اول السطر!!

من هنا نستطيع ان نستنتج ان الساعات تبطئ عند وجودها في مجال جاذبية قوي وتعمل بشكل اسرع عندما تبعد عنه. وان انسان يعيش عند سفح الجبل يعيش اطول من انسان يعيش عند قمة الجبل حتى لو كان لكل منهما نفس العمر بالنسبة لمجموعة اسناده!!

لكن هل هناك اثبات عملى لهذا ؟ ام ان هذه مجرد شطحات وتخاريف؟ بلى. وهنا سأذكر برهانين عمليين يدعما تأخير الزمن وفقا للنظرية النسبية العامة.

البرهان الاول: في عام 1960 في جامعة هارفارد قام الاستاذ باوند و مساعده ربكا بعمل اول تجربة عملية دقيقة للتحقق من تباطؤ الزمن في النظرية النسبية العامة. فقد وضعا ساعة ذرية عند قمة برج ارتفاعه اثنان وعشرون مترا ونصف المتر وساعة اخري مشابهة تماما عند سطح الارض. واثبتت التجربة فعلا ان الساعة الموجودة على الارض تؤخر بالنسبة للساعة الموجودة عند قمة البرج وبنفس المقدار اللذي تنبأت به النظرية النسبية العامة.

اما البرهان الثاني وهو في الحقيقة تطبيق عملى للنظرية النسبية العامة على الاقمار الصناعية. فلكي تعمل الاقمار الصناعية بصورة صحيحة يجب مراعاة ان الزمن يسري عندها بصورة اسرع منها عندنا على الارض ويجب مراعاة هذا لظبط الاشارات الصادرة من القمر الصناعي و لو لم نفعل هذا لاخطأت السيارات اللتى تستخدم اجهزة الملاحة المنعطف اللذي يجب ان تنعطف عنده بعدة كيلومترات وايضا لاخطأت ما يسمي بالصواريخ الذكية اهدافها بعشرات الكيلومترات!!

يشعر الناس بالفارق عندما يتحركون بسرعة منتظمة وعندما يتحركون بسرعة غير منتظمة. فالحركة بسرعة منتظمة تحدث برتابة شديدة حتى اننا عندما نتحرك بسرعة منتظمة لا نشعر باننا نتحرك اساسا. ومثال لذلك عندما نستقل طائرة في الظروف العادية ونطير بها بسرعة تقارب ال 1000 كيلومتر في الساعة  فاننا لا نشعر بهذه السرعة وتبدو لنا الطائرة كما لوانها كانت ثابتة في مكانها طوال الوقت. فقط اذا تعرضت الطائرة لمطبات هوائية نشعر بالانزعاج ونشعر بان الطائرة كانت تتحرك طوال الوقت.

مثال اخر اذا ركبنا قطارا سريعا يتحرك بسرعة تبلغ 200 كيلومتر في الساعة فاننا لانشعرايضا بهذه الحركة لانها تحدث  بسرعة منتظمة. واذا لم ننظر خلال سفرنا من نافذه القطار فاننا نتخيل انفسنا ثابتين في مكاننا طوال الوقت ونستطيع ان نشرب قهوتنا و نتصفح الجرائد بمنتهى الهدوء. فقط عندما يفرمل القطار نشعر بالحركة ونشعر بأننا كنا متحركين طوال الوقت.

اذن فالحركة بسرعة منتظمة هي امر نسبي. فبالنسبة لراصد خارج القطار فهو يشاهد المسافرين يتحركون بسرعة عالية اما بالنسبة لراصد بداخل القطار فهو لا يشعر بالحركة بتاتا. ولكن عندما يفرمل القطار و يبدأ في التحرك بعجلة تناقصية هنا يبدأ المسافر بالشعور بحركته. اذن وكما يبدو للوهلة الاولى فان التسارع امر مطلق اما التحرك بسرعة منتظمة فهو امر نسبي. وكان هذا اللامر يزعج اينشتاين كثيرا. فهو كان يتبنى فلسفة مفادها ان الحركات كلها نسبية  ولكنه هاهو يعجز عن تفسير خصوصية الحركة التسارعية كما لو كانت هذه الحركة كالبقرة المقدسة عند الهندوس لا يستطيع احد المساس بها. وكان اينشتاين يريد ان يذبح هذه البقرة. فهل تكمن من ذلك؟ بالفعل هو تمكن من ذلك وموضوع اليوم يوضح هذه المسألة. وموضوع اليوم لمن لا يعرفه غاية في المتعة. ومن يفهمه فقد فهم 80% من النظرية النسبية العامة.

كما كتبت في مرة سابقة ان فهم النظريات العلمية امر سهل كمشاهدة مباريات كرة القدم. فمشاهدة كرة القدم غير ممارسة كرة القدم. فهناك المليارات من البشر يشاهدون كرة القدم ويفهمون قواعدها ويتحدثون بشأنها كالخبراء ولكنهم انفسهم لا يستطيعون ان يمارسوها. كذلك فهم النظريات العلمية هو امر ممتع و متيسر لكل انسان.  ولكن ممارسة العلم بالنفس ليس بالامر السهل دائما. فلممارسة النظرية النسبية الخاصة يحتاج الانسان لمعلومات ومهارات المرحلة الثانوية اما لممارسة النظرية النسبية العامة فيحتاج الانسان لمهارات ومعلومات انسان جامعي متخصص في الرياضيات او الفيزياء.

المختبر الفضائي و المختبر الارضي

لنعود الان الى موضوعنا كيف استطاع اينشتاين من ذبح البقرة المقدسة. انه اجري التجربة الذهنية التالية: لو تخيلنا ان هناك مختبران فيزيائيان متشابهان تماما من الداخل. واحد هذه المختبرات موجود على سطح الارض بينما المختبر الاخر موجود في الفضاء ويسحبه من اعلى كائن فضائي بتعجيل 10 متر في الثانية المربعة. وتوجد داخل كل مختبر عالم فيزيائى لا يري مايجري من حوله ولكنه مسموح له باخذ كل الاجهزة اللتى يريدها الى داخل المختبر. فهل يستطيع اي منهم من التعرف على حالته ان كان ثابت على الارض او انه يتحرك بعجلة قيمتها 10 متر في الثانية المربعة في الفضاء الكوني؟

دعونا نناقش هذا بشئ من التفصيل. يستطيع العالمان ان يرصدا الظواهر الاتية:

1 العالم الموجود على الارض يشعر بوزنه ويشعر بضغط الارض من اسفله واذا حمل حقيبة فوق ظهره فسوف يشعر بثقلها وسوف يشعر بأن الضغط القادم من الارض قد ازداد. اما العالم في المختبر الفضائى فهو ايضا يشعر بضغط الارض من اسفله لانه يتم تعجيله مع المختبر بعجلة 10 متر في الثانية المربعة الى اعلى. وسوف يشعر كما لو كان له وزن و ان  الارض تضغطه من اسفل. بالمثل عندما نركب مصعد ونبدأ بالحركة الى اعلى فسوف نشعر بضغط قادم من اسفل. واذا حمل العالم في المختبر الفضائي حقيبة فوق ظهره فسيزداد الضعط على قدمه. اذن كلا العالمين لن يستطيعا ان يقطعا ايهم على الارض و ايهم في المختبر الفضائي!!

2 عندما يقوم العالم في المختبر الارضي بتعليق جسم ثقيل في سقف المصعد بواسطة خيط فانه سوف يلاحظ ان الخيط يكون مشدود نتيجة ثقل الجسم. وماذا عن العالم في المختبر الفضائي؟ هو ايضا اذا علق جسما ثقيلا في خيط في سقف مختبره  فسوف يراه مشدودا لان الخيط يشد الجسم المعلق الى اعلى ويكسبه تسارع ذو قيمة 10 متر في الثانية المربعة. اذن كلا العالمين لن يستطيعا ان يقطعا ايهم على الارض وايهم في المختبر الفضائي!!

3 التجربة الثالثة يقوم العالم في المختبر الارضي يقطع الحبل المشدود فيه الجسم الثقيل فسوف يلاحظ سقوط الجسم نحو الارض بتسارع 10 متر في الثانية المربعة.وماذا عن العالم في المختبر الفضائي؟ اذا قطع الخيط في مختبره فسوف يلاحظ ايضا سقوط الجسم الى اسفل بتسارع 10 متر في الثانية المربعة.  وان كانت في الحقيقة هى ارضية المصعد اللتى تصعد الى اعلى بتسارع 10 متر في الثانية المربعة. اذن هنا ايضا لن يستطيع اي عالم ان يتوصل الي اي مختبر بنتمي!!

4 الخ

كانت هذه هي الاختراقة الكبري اللتى استطاع اينشتاين من خلالها توضيح نسبية الحركة التسارعية. فالعالم الموجود في المختبر الفضائي لن يدري انه متحرك وقد يعتقد انه موجود فوق سطح الارض ويخضع لمجال جاذبيتها. اذن الحركة التسارعية هي ايضا نسبية. بالمثل اذا ركبنا قطارا وفرمل  هذا القطار فاننا نستطيع ان نتكلف في الافتراض ونتخيل اننا لم نكن نتحرك ولكننا الان نتعرض لتأثير مجال جاذبية متغير يأتي من الامام.

وهنا ايقن اينشتاين ان الجاذبية و التسارع هما وجهان لعملة واحدة ونحن نستطيع ان نحيل كل مسائل الحركة بتسارع الى مسائل للجاذبية. كما اننا نستطيع ان نحيل كل مسائل الجاذبية الى مسائل حركة تسارعية وسنحصل دائما على نفس النتائج!!

كان هذا هو المفتاح السحري للنظرية النسبية العامة وكانت هذه الرؤية هي البوصلة اللتي استخدمها اينشتاين للوصول الي قانون النظرية النسبية العامة. وللحق فانه عن طريق هذه التجربة الذهنية استطاع اينشتاين ان يتوصل الى معظم نتائج النظرية النسبية العامة حتى قبل ان يهتدي الي قانون النظرية النسبية العامة نفسه.

لم يشعر البرت اينشتاين بالراحة بعد ان وضع نظريته النسبية الخاصة. وظلت هناك ثلاث نقاط على الاقل تؤرقه وكان مازال يبحث عن حلول لها.

النقطة الاولي: هي ان النظرية النسبية الخاصة كانت تتعارض بشكل صارخ مع ميكانيكا نيوتن وخصوصا القانون الثالث وقانون الجاذبية العام. سأحاول ان اوضح ذلك بتجربة  ذهنية: لو تخيلنا ان ساحرا استطاع ان يجعل الشمس تختفي في لمح البصر. فماذا سوف يلاحظ سكان الارض؟ قوانين نيوتن الكلاسيكية تقول ان الارض ستتحرر فورا من جاذبية الشمس وستنطلق في الفضاء في خط مستقيم يماس مسار دوران الارض لحظة اختفاء الشمس. على الجانب الاخر  تقول النظرية النسبية الخاصة ان هذا غير ممكن و تتنبأ بان الارض ستظل تدور في مسارها القديم نحو ثماني دقائق قبل ان يطرأ عليها اي تغيير. و السبب في ذلك انه لا شئ ينتشر اسرع من الضوء. والارض لن تدري بأختفاء الشمس  الا بعد 8 دقائق تقريبا وهو الزمن اللذي يستغرقه شعاع ضوء من الشمس الى الارض.

حاول اينشتاين في البداية ان يفترض ان قوة الجاذبية تنتشر بسرعة الضوء ولكنها مازالت تعمل وفقا لقانون الجاذبية لنيوتن. ولكنه اكتشف ان هذا مستحيل. فالمجموعة الشمسية سينفرط عقدها فورا اذا حاولنا تطبيق هذا التصور عليها.

فكان امام اينشتاتين احد خيارين: اما ان النظرية النسبية الخاصة خطأ او ان قوانين نيوتن خطأ. وبالطبع كان هو متأكد من صحة نظريته. اذن فميكانيكا نيوتن هي الخطأ. لكنه سأل نفسه ولكن ماهو البديل اذن؟ فقوانين نيوتن وقانون الجاذبية كانت استخداماتهم هائلة في ذلك الزمان. وقد ايقن اينشتاين ان مجرد النقد الهدام ليس كافيا. بالمثل عندما اخبرك ان بيتك مبني بصورة غير سليمة وعليك الا تستخدمه و ان تنام في الشارع. فبالطبع فانك لن تفعل ذلك وستظل تستخدم بيتك حتى يتوفر لديك البديل المناسب.

كما ان قانون نيوتن الثالث واللذي منطوقه ان لكل فعل رد فعل مساوي له في المقدار ومضاد له في الاتجاه وعلى خط عمل واحد يتناقض بشكل كبير مع النظرية النسبية. لماذا؟!  لان هذا القانون يتضمن من ضمن ما يتضمنه ان قوتا الفعل ورد الفعل تتساويان في نفس اللحظة وفورا . وكان هذا غير ممكن عند اينشتاين لسببين. الاول ان التزامن ليس مطلقا وأن مفهوم في نفس اللحظة لايعني نفس الشئ بالنسبىة لجسمين مختلفين يتحركان بالنسبة لبعضهما البعض. والسبب الثاني ان تساوي قوة رد الفعل مع قوة الفعل فورا يفترض ان رد الفعل يستجيب للفعل بسرعة لانهائية. وهذا يتعارض مع ان سرعة الضوء هي سقف السرعات الممكنة.

ولكن ماهي المشكلة في ان تتخطي سرعة اشارة ما او تنتشر قوة ما بسرعة اعلى من سرعة الضوء؟ او حتى تكون سرعتها لانهائية؟الاجابة هي نسبية الزمن وكما نعلم فان  الساعات المتشابهة لا تعمل بنفس الكيفية في مجموعات الاسناد المختلفة. فاذا كان من الممكن ان تنتشر اشارة او قوة ما بسرعة لانهائية كما هو الحال في قوة الجاذبية او قوة رد الفعل. لتمكنا من استغلال هذا في صنع ساعات تقوم طريقة عملها على استغلال قوة الجاذبية. وبهذه الطريقة نستطيع ان نخلق التزامن في الكون كله وان نعاير الساعات فورا في اي في مكان في الكون ولكن لن يكون الزمن هنا اذن نسبيا. كما ان كل انسان يستطيع ان يستغل هذا الفارق بين ساعة تعمل على اساس قانون الجاذبية وساعة اخري تعمل بطريقة اخرى و ان يدرك انه يتحرك في خط مستقيم بسرعة منتظمة. وهذا ينسف فكرة النسبية من اساسها.

النقطة الثانية اللتى كانت تؤرق اينشتاين هي ان فلسفة وروح النظرية النسبية تكمن في ان مجموعة اسناد تتحرك في خط مستقيم بسرعة منتظمة تستطي ان تتخيل نفسها ثابتة وتقوم برصد كافة القوانين الفيزيائية بدون اي حاجة لتعديل صورة هذه القوانين. وقد لا يدري راصد ينتمي الي مجموعة الاسناد هذه انه يتحرك اساسا. وهذه فكرة جميلة وساحرة ولكن اذا تحركت مجموعة الاسناد بسرعة غير منتظمة فهنا يدرك الراصد حركته. فمثلا عندما يكون الانسان راكبا قطارا مريحا يتحرك بسرعة منتظمة فانه لا يشعر بحركة القطار بتاتا. ولكن اذا فرمل القطار فجأة فحينها يدرك الراكب ان القطار كان يتحرك و انه قد فرمل الان. اذن فاذا كانت حالة التسارع تجعل المسافر يفطن الى حالته من الحركة فلابد و ان قوانين الفيزياء تتغير بالنسبة لمجموعة اسناد تتحرك بتسارع او مجموعة اسناد ثابتة. لكننا على الارض لا نلمس هذ الشئ. فالكرة الارضية كما نعلم لا تتحرك في خط مستقيم. بل هي تدور حول الشمس اي ان شروط النظرية النسبية الخاصة لا تنطبق عليها ولكننا مع ذلك لانحتاج الى قوانين خاصة بالارض تختلف عن القوانين السارية عند الشمس. اذن فلابد من وجود تحويلات عامة تشبه تحويلات لورنتر ولكنها تسري بالنسبة لكل مجموعات الاسناد بغض النظر عن حالتها من الحركة او كونها تتحرك بتسارع او بسرعى منتظمة. وهذه التحويلات تضمن ان صورة القوانين الفيزيائية تبقى واحدة بين مجموعات الاسناد المختلفة. اذن فاينشتاين كان بحاجة الى قانون جديد يفسر الجاذبية ويغطي حالة الحركة التسارعية.

النقطة الثالثة وهي ما اكتشفه جاليليو من ان جميع الاجسام تتساقط نحو الارض بنفس التسارع بغض النظر عن كتلتها. صحيح ان نيوتن استطاع تفسير هذه الظاهرة. لكن اينشتاين كان يعتقد ان هناك مزيد من السحر مازل يكمن خلف هذه الظاهرة وان كل الحقائق لم يتم اكتشافها بعد. فالكتلة تلعب دورا عجيبا وتقوم بدور العميل المزدوج فهي من ناحية مسئولة عن زيادة وزن الجسم وبالتالي عن زيادة قوة جذب الارض للجسم وبالتالى تسارعه نحو الارض ومن ناحية اخري فالكتلة مسئولة عن القوة القصورية اللتى تقاووم  التغيير في الحركة. وهذان العاملان الايجابى و السلبي متساويان تماما ولذلك تسقط الاجسام كلها نحو الارض بنفس التسارع. اذن هنا مرة اخري نري ان الجاذبية و التسارع يبدوان مرة اخرى متلازمين.

ومن هنا عرف اينشتاين ما عليه ان يفعله وما هو واجبه. فكان عليه ان يجد نظرية جديدة تحقق الاهداف التالية:

1 تفسر قوة الجاذبية

2 تغطي حالة الحركة التسارعية

3 توضح التكافؤ بين قوي القصور وقوى التثاقل.

4 ان تحتوي النظرية الجديدة نتائح النظرية النسبية الخاصة. وتكون النظرية النسبية الخاصة هي حالة خاصة من النظرية العامة عندما يكون التسارع صفر و لا يوجد مجال للجاذبية

اينشتاين يعزف على الكمان

كل الناس تعرف عن البرت اينشتاين انه العالم الفيزيائي الشهير ذو الشعر المنكوش صاحب النظرية النسبية و الحاصل على جائزة نوبل. ولكن تظل هناك العديد من الجوانب المجهولة  في حياة اينشتاين بالنسبة للكثيرين. فربما  قد لا يعرف البعض ان اينشتاين بجانب كونه عالما فيزيائيا مرموقا كان ايضا فيلسوفا و سياسيا. وربما لا يعرف البعض بانه كان مجنونا بالعزف على الة الكمان. وربما كان من غير المعروف عن حياته الخاصة انه كانت له ابنة غير شرعية.

لكن مايعنينا اليوم هو اينشتاين السياسي. فكما كان اينشتاين يقول عن نفسه انه ممزق بين العلم و السياسة. وبسبب نشاط اينشتاين السياسي و ترحاله الكثير فقد حمل اينشتاين اكثر من جنسية. وفي بعض الاوقات حمل اكثر من جنسية في نفس الوقت. وفي بعض الاوقات كان بدون جنسية على الاطلاق مثلما كان الحال في الاعوام بين 1896 و 1901 حين تخلى عن جنسيته من مملكة فوتمبرج الالمانية ليتهرب من اداء الخدمة العسكرية.

اينشتاين حمل جنسيات كل من مملكة فوتمبرج الالمانية وجمهورية بروسيا الالمانية وكان هذا في عهد القيصرية قبل ظهور جمهورية المانيا وحمل اينشتاين جنسية الجمهورية الالمانية بعد ذلك كما حمل جنسية سويسرا وجنسية النمسا حينما اقام في براج وكانت تشيكوسلوفاكيا في هذا الوقت تابعة للنمسا. كما انه حمل جنسية الولايات المتحدة الامريكية.

وكان اينشتاين يؤمن بالحرية السياسية ويرى ان اسوأ نظم الحكم هي النظم الفاشية و الدكتاتورية وكان يؤمن ان النظم الديموقراطية هي افضل نظم الحكم. وله ملاحظة مفادها انه ربما قد يبدو أن نظام حكم ديكتاتور قوي هو نظام ناجح.و لكن  كل خلفاء الدكتاتور يكونون ضعافا ويضيعون النجاحات اللتى صنعها الدكتاتوريون السابقون. و السبب في هذا من وجهة نظر اينشتاين ان نظام الحكم الدكتاتوري يجذب دائما الضعفاء و المنافقين ويطرد الاحرار.

وفي فترة الحرب العالمية الاولي كان اينشتاين مقيما في برلين ولكنه كان ضد الحرب وشارك في كل المظاهرات اللتى كانت تعارض الحرب وكان يدعومع الداعين الى العصيان المدني لايقاف الحرب القائمة. وتسببت هذه المواقف في سخط الكثيرين عليه. وبعد انقضاء الحرب شارك اينشتاين في فعاليات تهدف الي زيادة التقارب بين الشعوب المختلفة وتنشر ثقافة السلام. وكانت هذه المواقف تسبب له المشاكل من كل الجهات حتى من طرف الولايات المتحدة الامريكية نفسها. وكان يعاني الامرين حين يطلب تأشيرة سفر للذهاب الى الولايات المتحدة الامريكية من اجل القاء محاضرات هناك.

وحينما صعد هتلر الى قمة السلطة في المانيا كان اينشتاين وقتها في زيارة عمل في الولايات المتحدة الامريكية فاعلن عن معارضته للنظام النازي في المانيا وانه لن يعود الى المانيا طالما كان هذا النظام على قمة السلطة. فقام النظام الالماني بنهب بيته في برلين و الاستيلاء على ايداعاته في البنوك الالمانية.

وارسل اينشتانن ذات مرة خطابا الى الوزير الايطالي روكو يطلب منه باسم العلماء الايطاليين ان تتراجع الحكومة الايطالية عن قرارها واللتى كانت تطلب من العلماء الايطاليين ان يقسموا بالولاء للنظام الفاشي بقيادة موسوليني. وقال في خطابه ان العلم شئ نبيل وهو شئ فوق دولي و لايجب ان يقيد بالولاء لسياسات بائدة في زمن معين او في مكان ما.

وكان اينشتاين دائم الهجوم على الجيوش العسكرية. ولا يستطيع ان يفهم كيف يصبح الانسان جنديا لاي سبب ما. ولكننا مع ذلك نلمس التناقض حينما كتب اينشتاين رسائله الشهيرة الى الرئيس الامريكي روزفلت ويطلب منه ان تكون امريكا سباقة في امتلاك السلاح النووي وحذره اكثر من مرة من خطورة سبق المانيا النازية اذا حصل و امتلكت هذا السلاح. ولكنه ندم بعد ذلك على خطابه هذا وشارك في كثير من الفعاليات اللتى كانت تحذر من السلاح النووي وتدعو الى نزع السلاح النووي من العالم ووقف سباق التسلح.

وكان اينشتاين لا يسبح مع التيار وكثيرا ما كان يثير الرأي العام ضده حتى انه ظهرت أكثر من جمعية هدفها الاساسي هو معاداة افكار اينشتاين. كما ان هناك حكم قضائي صدر ضد شخص دعا الي قتل اينشتاين. وصدرت كثير من المؤلفات والكتب لتعارضه  وتدحض ما يقوله وكان من ضمن الكتب اللتى ظهرت كتاب اسمه  100 كاتب يدحضون افكار اينشتاين. فكان رد فعل اينشتاين انه قال بمنتهى الهدوء لوكنت على خطأ لما احتاج الامر لمائة كاتب و كان كاتب واحد يكفي.

واشهر مواقفه السياسية اتخذها اينشتاين لمناصرة الصهيونية. صحيح ان اينشتاين خرج من الدين اليهودي ولكنه بقي يؤمن بالله على طريقته الخاصة. وكان يؤمن بان الفنون والعلوم هي الديانة الحقيقية الارقى وكان لايؤمن باليوم الاخر ولكنه يؤمن بان الجنة هي في ادراك روعة الكون وادراك خفاياه وقوانينه. ولكنه بقى مع ذلك نصيرا قويا للصهيونية وكان يدافع عن حق اليهود في دولة تجمعهم. وربما قد لايعرف البعض ان اينشتاين قد تم ترشيحه عام 1952 لكي يصبح رئيسا لدولة اسرائيل. لكنه رفض وقال بانه ساذج لهذه المهمة كما انه لا يستطيع ان يقضي عمره بعيدا عن المعادلات الرياضية لان السياسة هي الحاضر اما المعادلات فهي الخلود.

اينشتاين كان مطاردا من المصورين

ولد البرت اينشتاين في 14 مارس عام 1879 في مدينة اولم الالمانية.وفي نفس هذا العام توفي العالم الاسكتلندي الشهير ماكسويل. ولم تكن طفولة اينشتاين مبشرة فقد بدأ النطق وهوفي الثالثة من عمره و لم ينبغ في الدراسة ولم يبرز فيها ولم يتأقلم مع اسلوب الدراسة الصارم في المدارس الالمانية القائم في ذلك الوقت عل الحفظ غيبا. ومما يروى عن تلك الفترة ان أحد مدرسيه قد تنبأ له بانه سوف يكون فاشلا في المستقبل لا قيمة له.

وكان ابو اينشتاين يمتلك حانوتا لتصليح الساعات ولكنه لم يكن ميسور الحال وكانت كل مشاريعه الاقتصادية فاشلة. ورحلت عائلة اينشتاين من المانيا الى ايطاليا بحثا عن رزق افضل ولكن الحالة هناك لم تكن افضل. فارتحل اينشتاين الى ميلانو في ايطاليا ومن بعدها الى زيورخ في سويسرا. وتقدم اينشتاين للأتحاق بجامعة زيورخ ولكنه رسب في امتحان القبول المرة الاولى. ثم عاود الكرة مرة اخرى واجتاز الامتحان بصعوبة بالغة.

ولم يكن الطالب اينشتاين متميزا بل كان دائم الهروب من المحاضرات وكان معظم اساتذته ساخطين على اسلوبه في الدراسة و لولا مساعدة صديق عمره مارسيل جروسمان له في فترة دراسته لما استطاع اينشتاين النجاح  فهو كان يعتمد على ملخصاته و تدوينه للمحاضرات من اجل التحضير للامتحانات.

ولكن في واقع الامر فان اينشتاين كان محبا للعلم وكان عصاميا علم نفسه بنفسه ولكنه كان يجد صعوبة كبيرة في التحضير للامتحانات و اجتيازها. وقد كلفه الامتحان النهائي في الجامعة طاقة وجهدا كبيرين لدرجة انه بعد انتهائه من الامتحان الاخير احتاج الى ان يقوم براحة لمدة عام كامل. وبعد انتهاء اينشتاين من دراسته لم يجد اي وظيفة وهنا توسط له صديقه جروسمان مرة اخرى  ووجد له وظيفة  متواضعة كموظف بسيط في هيئة براءة الاختراعات السويسرية. وهنا يظل اينشتاين يمارس عشقه للفيزياء في السر. فكان دائم القراءة و الاطلاع والبحث والتفكير.  وفي عام 1905 فاجأ اينشتاين العالم كله باطروحات في غاية في الاثارة  و الاهمية وهو اللذي كان في ذلك الوقت شخصا مجهولا ولم يكن احد  يدري باسمه.  ومن من ضمن ما نشره في هذا العام النظرية النسبية الخاصة و تفسير الظاهرة الكهروضوئية اللتي حصل اينشتاين بسببها على جائزة نوبل في الفيزياء عام 1912.
ورغم هذا بقي ايننشتاين في وظيفته المتواضعة في هيئة براءة الاختراعات حتى اتاه عرضا لكي يعمل كاستاذ استثنائي في جامعة زيورخ ثم رحل بعدها الى براج في تشيكوسلوفاكيا لكي يعمل استاذا بصلاحيات كاملة. ثم عاد سريعا بعدها الى زيورخ مرة اخرة ولكن بوظيفة استاذ كامل. ثم رحل  بعدها الى جامعة برلين في المانيا. وفي تلك الفترة نشر اينشتاين النظرية النسبية العامة.

وكان اينشتاين شخصية مثيرة للجدل وكان يعارض الحرب العالمية الاولى و تسبب هذا في سخط الالمان عليه لانه لم يكن في نظر الكثيرين وطنيا بالقدر الكافى. وكان هناك في تلك الفترة شعور عام عدائي ضد اليهود في المانيا. وخصوصا في الوسط الجامعي كان هناك اتهام موجه لهم بانهم يسيطرون على الجامعات في المانيا فكانت كل كوادر الجامعات الالمانية منهم وانهم  لا يعطون الفرصة للالمان العاديين لكي يدرسوا بالجامعات. ثم صعد هتلر الى الحكم في المانيا فأعلن اينشتاين عن معارضته له وكان في ذلك الوقت في زيارة للولايات المتحدة الامريكية فاعلن اينشتاين انه لن يعود الى المانيا مرة اخرى. فابتهجت الصحف الالمانية بهذا وكتبت صحف برلين في صفحتها الاولى ان هناك خبر سعيد فان اينشتاين لن يعود مرة اخرى الى المانيا وتم نهب محتويات بيته في برلين.

وعاش اينشتاين في امريكا بقية عمره. ولكن الغريب انه لم يتقن ابدا اللغة الانجليزية فكان يكتب باللغة الالمانية اللتى كانت لغته الأم ثم يدع كتاباته تترجم بعد ذلك الى الانجليزية. ولكنه كان يرفض رفضا قاطعا ان تنشر كتاباته باللغة الالمانية لانه كان يعتبرها لغة الشعب اللذي قتل و اضطهد شعبه الاصلي اليهودي. ولقى اينشتاين في امريكا  من وسائل الاعلام كل حفاوة وتقدير .وكان يعلم كيف يتعامل مع وسائل الاعلام فاصبح في ذلك الوقت كانه احد نجوم هوليود تطارده كاميرات الصحفيين اينما ذهب.

وكانت حياة اينشتاين صاخبة فكان له العديد من العلاقات النسائية كما انه كان مشهورا بارائه المثيرة للجدل. و كان معياره في الحكم على اي نظرية علمية سواء كانت منه او من غيره هو انه كان يقول انا اتخيل نفسي مكان الله و اسأل نفسى هل كنت سأخلق الكون بناء على هذه النظرية ام لا؟! . ومات اينشتاين في عام  1955 بعد حياة حافلة و قد تبرع بمخه بعد وفاته  للاغراض العلمية.

ترام و موتوسيكل

ترام و موتوسيكل يتحركان بسرعة عالية تقارب سرعة الضوء. فاذا كانت سرعة كلا من الترام و الموتوسكل في البداية صفر. فاى منهم نلاحظ ان كتلته قد ازدادت بصورة كبيرة؟

1 الموتوسيكل

2 الترام

3 كلاهما

4 لاهذا و لا ذاك

حاول ان تتوصل للاجابة بنفسك قبل ان تقرا الحل في الاسفل.

………………………

…………………………………….

……………………………………………………

انها الاجابة الثانية. الترام تزداد كتلته اما الموتوسيكل فلا!! كثير من الناس يعتقدون انه عندما تزداد السرعة تزداد الكتلة واذا بلغت السرعة سرعة الضوء كانت الكتلة لانهائية. لكن هذا ليس دقيقا تماما!!

اينشتاين قال ان الكتلة و الطاقة هما وجهان لعملة واحدة طبقا للمعادلة:

E = m x c^2

اى انه كله زادت الطاقة زادت الكتلة بغض النظر عن نوع هذه الطاقة: سواء  طاقة حركة , طاقة كهربائية,نووية…الخ

اذن كلما اكتسب الجسم طاقة زادت كتلته.  والسؤال الان اي من الترام او الموتوسيكل قد اكتسب طاقة؟

الموتوسيكل لم يكتسب طاقة لانه يحمل طاقته معه في خزان وقوده من البداية. فهنا تتحول الطاقة فقط من صورة لاخرى: من صورة كيمائية لصورة حركية. ومايفقده خزان الوقود من كتلة يكسبها الموتوسيكل بسبب طاقة حركته المتزايدة. اي بمعنى ان كتلة الموتوسيكل كانت من البداية هائلة والمفقود من الكتلة يساوي المكتسب منها.

اما بالنسبة للترام فهو لا يحمل طاقته معه ولكنه يكتسب طاقته عبر اسلاك الكهرباء من محطة توليد الطاقة. وهنا يجب ان نلاحظ انه كلما زادت سرعة الترام كلما زادت كتلته. ولكننا يجب ان نلاحظ ايضا ان محطة توليد الطاقة لابد وان تفقد كتلة على صورة وقود او خلافه تعادل الكتلة اللتى يكتسبها الترام.

في الحقيقة ان مدونة اليوم تكسبني سعادة اضافية.  لان هذه التدوينة هي اخر تدوينه في موضوع النظرية النسبية الخاصة. واحمد الله انه وفقني و استطعت الوصول لهذا الحد.

توأمان عمرهما ثلاثون عاما. يقرر احدهما السفر الي الفضاء  بينما يقرر اخوه الاخر البقاء على الارض. فيركب الاخ اللذي قرر السفر صاروخا ويسافر به لمدة عام كامل بسرعة هائلة تقارب سرعة الضوء. وبعد انقضاء العام يقرر الاخ العودة فيدير صاروخه ثم يطير عائدا لمدة عام كامل حتى يعود الى النقطة اللتى انطلق منها. فكم يكون عمره اذن؟ انه سؤال سهل. حيث انه عندما بدأ الرحلة كان عمره 30 عام واستغرقت الرحلة عامين اذن فعندما سيعود سيكون عمره 32 عام. حسنا وماذا عن عمر اخيه اللذي بقى على الارض؟

من وجهة نظر الاخ اللذي بقى على الأرض فانه يرى ان الزمن يتباطأ لدي اخيه المسافر. ومقدار هذا التباطؤ يعتمد على السرعة اللتى يتحرك بها الاخ المسافر. فكلما زادت سرعته كلما زاد التباطؤ. ولنفرض ان السرعة اللتى تحرك بها الاخ المسافر تعني ان كل سنة بالنسبة للاخ المسافر تكافئ 10 سنوات بالنسبة للاخ الباقى على الارض. اذن فعندما سيعود التوأم المسافر مرة اخري سيجد ان اخاه قد اصبح عمره خمسين عاما!! وان لم يكن الأخ الغير مسافر متزوجا فربما يتزوج في هذه الفترة وينجب اولادا وعندما يعود الاخ المسافر سيكتشف انه صار عما لشاب عمره 19 سنة.

واذا افترضنا بعد ذلك ان الاخوين اثناء تنزههما سويا في احد المرات استوقفتهم الشرطة وطلبت رؤية هوياتهم. فسيجد رجال الشرطة ان الشخصين يشتركان في نفس تاريخ الميلاد ولكن احدهم شابا و الاخر تخطي مرحلة الشباب. ومن المعلوم ان التوائم متساوون في العمر. فهل مازلنا نستطيع الان ان نطلق صفة التوأم علي هذين الاخين؟

في الحقيقة أن هذه هي مفارقة او معضلة بسيطة.صحيح انها تختلف عما نألفه ولكن لا يستطيع احد ان يزعم ان كل مانألفه هو الحقيقي وكل مالانألفه غير موجود. فانسان يعيش في منطقة ما لم يري في حياته سوى كلاب سوداء. لا يعني هذا ان الكلاب البيضاء مستحيل وجودها. وبعض ما نألفه قد يكون مجرد استثناء او  سراب او خداع نظر. و نحن جميعنا ندرك هذا الشئ . ونحن نري نجوما في السماء ولكنها قد تكون غير موجودة في الواقع.

ولكن فان هناك مفارقة اخري اهم في هذا المثال.  فاننا نعلم من فلسفة وروح النظرية النسبية الخاصة ان الحركة في خط مستقيم بسرعة منتظمة هي حركة نسبية. بمعنى ان الاخ اللذي سافر يمكنه ان يعتقد في قرارة نفسه انه هو الثابت و ان اخوه و الكرة الارضية باسرها هما  اللذان يتحركان بسرعة عالية تقارب سرعة الضوء. وعليه فان الزمن يتباطأ بالنسبة للاخ الغير مسافر وبعد عامين من السفر يصبح عمر الاخ الباقي على الارض 32 عاما!! فكل انسان يري نفسه كهلا بينما توأمه عمره 32 عاما!! يالها من مشكلة؟ّّ! من منهم على حق؟ من منهم عمره 32 عاما و من منهم صار كهلا؟ يالها من مفارقة ويالها من معضلة!

لكن في الواقع لا توجد مفارقة او معضلة. فالاخ اللذي سافر يصبح عمره 32 عاما بينما التوأم الاخر يصبح عمره 50 عاما. ولكن كيف يمكن التوفيق بين هذا و بين روح النظرية النسبية في ان الحركة نسبية. فان كان الامر هكذا فان الحركة ليست نسبية.

كلا. في الحقيقة اننا اغفلنا شيئا هاما في المثال السابق  و افرطنا في افتراض التماهي و التماثل بين الاخ المسافر و الاخ الباقي على الارض.  لكن هذا الامر غير سليم. فهناك لحظة فارقة لا يشترك فيها الاثنان وهذه اللحظة هي اللحظة اللتى يستدير فيها الاخ المسافر بصاروخه ويعود ادراجه. فالحركة لم تكن في خط مستقيم بسرعة منتظمة طوال الوقت. بل تحديدا في تلك اللحظة المروعة اللتي يستدير فيها المسافر بصاروخه فانه يتعرض لقوى خرافية لا يتحملها بشر. ولكن هذه القوى لا يشعر بها الاخ الموجود على الارض. اذن فالامر ليس سيان بالنسبة للاخ المسافر و الاخ الغير مسافر.

مازلت غير مقتنع؟ حسنا. ساحاول ان اعرض الامر من وجهة نظر اخرى. من وجهة نظر خطوط الحياة في فضاء مينكوفسكي. فكيف يبدو خط حياة الأخ المسافر وكيف يبدو خط حياة الاخ الاخر؟ هنا يحتاج الانسان الى ان يفهم المفاهيم اللتي طرحها مينكوفسكي وقد عالجنا هذا الامر في اكثر من مدونة ولذلك فانا لن اعيدها هنا. ومن فاتته  ويرغب في مطالعتها فهذه هي الروابط:

http://eltawil.org/sciencewonders/?p=953

http://eltawil.org/sciencewonders/?p=995

http://eltawil.org/sciencewonders/?p=908

خطي الحياة للتوأمين

للتبسيط نتخيل ان الاخ  الغير مسافر لم يبارح نقطة الاصل  بتاتا حتى عاد اخوه مرة اخرى. فخط حياته هو المحور الرأسي او محور الزمن نفسه. اما الاخ المسافر فهو يتحرك في اتجاه المحور x لفترة ثم يعود. اذن فخط حياته هو ضلعى المثلت في الصورة. وصحيح ان خطا الحياة يشتركان في نقطتى البداية و النهاية ولكنهما يأخذان مسارين مختلفين. اي ان طولهما الزمكاني يختلف. والمثال اشبه بانسان يذهب بالسيارة من بيته الى مكان عمله ولكنه قد يأخذ طريقا مباشرا او طريق اخر ذو مسار مختلف وبالتالي طول اخر. اذن فاشتراكهم في نقطتى البداية و النهاية لا يعني تساويهما في الطول و لا في الوقت اللازم للذهاب الى العمل.

وكذلك هنا فخطي الحياة لهما طول مختلف ونعلم انه بقسمة هذا الطول على سرعة الضوء نحصل علي الزمن المحسوس او ما يعرف بالعمر او زمن الهرم و التعجيز. و المساران كما يبدو واضحا من الصورة ان لهما اطوال مختلفة. وبالفعل فالزمن يمضى بالنسبة للاخ المسافر بسرعة غير اللى يمضي بها بالنسبة للأخ الاخر.

ولكن هناك اعتراض اخير. وهو من الواضح في الرسم ان الاخ المسافر هو اللذي يأخذ المسار الأطول وبالتالي يستغرق الزمن الاطول. ولكني الان ازعم عكس ذلك واقول ان المسافر يمر عليه عامان فقط بينما الاخ الباقي يمر عليه 20 عاما. فكيف استطيع ان ابرر هذا التناقض؟ انها الاعداد التخيلية !! صحيح ان مجموع ضلعي المثلت يبدوان في الرسم اطول من الخط المستقيم لكن عند عمل الحسابات الرياضية يظهر ان العكس هو الصحيح و ان محموع ضلعي المثلث اقصر من الخط المستقيم المباشر. ولكي تطئن أكثر لما اقول احسب مثال بالارقام:
في الرسم طول الخط المباشر 10 بينما طول احد الضلعين المائلين  هو الجزر التربيعي ل

-25 + 16 = -9
اي ان طول الضلع الواحد 3  و مجموع الضلعين 6 بينما المسافة المباشرة 10 . ومن هنا نري ان الزمن يمر بالنسبة للمسافر بصورة تختلف عنها عن المسافر المتبقي على الارض.

وليس هذه المفارقة الوحيدة المعروفة في النظرية النسبية الخاصة. بل هناك مفارقات اخري لن اتعرض لها هنا بالتفصيل فهناك مفارقة متعلقة بالشكل الكروي وهناك متناقضات تتعلق بالحركة بسرعة اعلى من سرعة الضوء.

فالنظرية النسبية تقول ان الجسم المتحرك يعاني انكماشا ظاهريا في اتجاه حركته. وتقول نتائج النظرية النسبية وحسابات مينكوفسكي اننا يمكننا ان نتصور هذا الانكماش بصورة اخري.وهي ان الطول يبقى في الحقيقة ثابتا ولكن الجسم يبدو وكأنه قد دار بزاوية ما عن وضعه الاصلى. وحيث ان الانسان ينظر للأجسام المائلة بشكل غير متعامد فانه يراها اقصر من حقيقتها. واذا اردنا تطبيق هذا الكلام على كرة تتحرك بسرع عالية لوجدنا انها من ناحية عليها ان تنكمش طبقا لتحويلات لورنتر وهذا الامر واضح. ولكن التفسير الاخر يفشل. لان عند دوران الكرة لا يحدث اي تغيير. فالكرة هي الشكل الهندسى اللذي بعد دورانه يشغل نفس الحيز اللذي كان يشغله قبل دورانه. ويمكن حل هذا التناقض بالاشارة الى ان هناك فارق بين حقيقة الشئ وبين ما يراه الانسان. فالكرة ينقص طولها بالفعل في اتجاه حركتها ولكن الانسان يظل يراها مع ذلك كاملة الاستدارة. وعلى المهتمين بهذا الموضوع البحث اكثر في الشبكة العنكبوتية.

اما التحرك بسرعة اكير من سرعة الضوء فهو يخل بمبدأ السببية ويعني ان المستقبل ممكن ان يسبق الماضي. صحيح ان نظرية الكم تقول بان هذا ممكن وهي تقوم على حساب الاحتمالات و الصدفة. ولكن اينشتاين له رؤية و فلسفة اخري للفيزياء.

نقطة اخيرة وهي ان معضلة التوأم تعني ان نظريا بامكان شخص لا يرغب في العيش العشرين عاما القادمة على سطح الارض ويريد ان يتخطاها الى المرحلة الزمنية التالية ان يستقل صاروخا ويتحرك به بسرعة مناسبة ولفترة زمنية مناسبة وسوف يعود في المستقبل مرة اخري بعد 20 سنة. ولكن علينا ان ندرك ان عمليا هذا امر غاية في الصعوبة لانه يتطلب طاقة هائلة. لاننا كما نعلم عند ازدياد السرعة تزداد الكتلة بصورة رهيبة مما يعني زيادة الطاقة المطلوبة مما قد يعنى عمليا استحالة الرحلة  وان كانت ممكنة نظريا!!

لو انك استقليت صاروخا يتحرك في الفضاء بسرعة هائلة تعادل 80% من سرعة الضوء بالنسبة لي وفي نفس الوقت تجلس امام رقعة الشطرنج وتلعب مباراة ضد الكمبيوتر و في بداية المباراة تقوم بعمل النقلة الافتتاحية وتنقل بيدقك خانتين الى الامام  وانا استطيع من موقعي الثابت ان اشاهد كل التقاصيل اللتى تحدث في صاروخك من خلال جدرانه الزجاجية الشفافة  فكيف تبدو نقلة البيدق الافتتاحية بالنسبة لي و بالنسبة لك؟

أولا بالنسبة لك: فانت قد حركت بيدقك مربعين للأمام اي مايعادل 6 سم في زمن معين وليكن ثانية واحدة.  ولكن كيف تبدو هذه النقلة الافتتاحية بالنسبة لي؟ حيث انك تتحرك بسرعة هائلة بالنسبة لي فانا اري الزمن يسري عندك ببطء. فالنقلة لا تستغرق ثانية واحدة ولكن اطول من ذلك. وتحديدا 5/3 أو 1.67 ثانية. اما المسافة اللتى تحركها البيدق فليست 6 سم ولكنها 400000 كم لان صاروخك يقطع بسرعته الهائلة في هذا الزمن البسيط هذه المسافة الضخمة.

اذن فنحن لا نستطيع ان  نتفق على شئ لا على الزمن و لا على المسافة. ولكننا يمكننا ان نعيد الاتفاق فيما بيننا مرة اخرى اذا حسبنا المسافة بين الحدثين او طول المرحلة الزمكانية  يين موقعى البيدق باستخدام معادلة مينكوفسكي. وفي البداية احب ان اوضح بعض المفاهيم حتى لا يحدث خلط او سوء فهم. فمينكوفسكي قد اعتبر عالمنا فضاء رباعى الابعاد و اطلق عليه الزمكان. ويحتوي هذا الفضاء على ثلاثة محاور او ابعاد مكانية وبعد رابع زمني. والنقاط في هذا الفضاء الرباعى تسمى احداثا و المفرد حدث.و الحيز بين حدثين يعرف باسم المرحلة الزمكانية ويمكن قياس طول هذه المرحلة الزمكانية بالمعادلة التالية:

واذا افترضنا ان الحركة في مثالنا تتم كلها  في اتجاه محور x فتكون قيم y و z تساوي صفر و يستطيع كل منا ان يحسب طول المرحلة الزمكانية بعد تحويل الاطوال للمتر كالتالي:

بالنسبة لك يكون.

اما بالنسبة لي فيكون:

اي اننا نحسب نفس القيمة!!.

و النتيجة السالبة قد تثير الاستغراب بعض الشئ. ولكن هذا مرجعه ان الزمن عبارة عن اعداد تخيلية. ولذلك فطول المرحلة الزمكانية يكون رقما تخيليا و مربعه رقم سالب. فقط اذا حركت البيدق بسرعة تساوي سرعة الضوء تماما فيكون الطول صفرا. وفي حالة تحريكك الببدق بسرعة اعلى من سرعة الضوء يكون الرقم موجبا!

وهذا شئ قد يبدو غريبا للوهلة الاولى. و يحتاج المرء لان يعود نفسه عليه لاننا نستطيع ان نرسم هذه المرحلة الزمكانية على الورق كخط مائل ذو طول واضح ولكن مع ذلك فان المعادلة تقول ان طول هذا الخط يساوي صفرا.

وهناك فائدة اخرى لمعادلة مينكوفسكي وهي انها تعطى تفسيرا سهلا لانكماش الاطوال وتمدد الزمن. فطبقا لمعادلة مينكوفسكي فان الطول يبقى ثابتا و لا يتغير. ولكن اللذي يحدث ان مجموعة الاسناد المتحركة تبدو وكانها قد دارت و تصنع الان زاوية مع مجموعة الاسناد الاخرى الثابته ولذلك تبدو الاجسام باطوال مختلفة بالنسبة لكلتي مجموعتى الاسناد.

وتفصيلا اذا تخيلنا ان لكلينا متر قياسي عياري موجود في مجموعة اسناده. وحيث اني انظر للمتر الموجود في مجموعة اسنادي بشكل متعامد ولذلك فاني اري طوله كاملا. ولكن حيث ان  مجموعة اسنادك تبدو مائلة بالنسبة لى فانا لا انظر الى المتر العياري الموجود فيها بشكل متعامد ولذلك اري الطول اقصر من الحقيقة. وكذلك الحال بالنسبة لك فانت تري المتر العياري الموجود عندك بشك متعامد ولكنك تنظر للمتر الموجود عندي بصورة مائلة ولذلك تراه اقصر. وكذلك الحال بالنسبة للزمن فتصور مينكوفسكي يوضح ان البعد الزمني يمكن معاملته كالبعد المكاني تماما.

ونحن في حياتنا اليومية نعرف ظاهرة مشابهة ناتجة عن خداع البصر او اختلاف المنظور فقد يكون طول قامتى وطول قامتك متساويين تماما و كلانا يدرك هذه الحقيقة. ولكننا عندما نقف علي مسافة بعيدة من بعضنا فانا اراك اقصر من حقيقتك وانت تراني اقصر من حقيقتى ولكن كلانا يدرك ان هذا نابع من منظورنا اللذي نري به الاشياء. لكن هذا لايغير من ان قاماتنا متساوية لا تزيد و لاتنقص.

وهناك فائدة اخري من حساب طول المرحلة الزمكانية طبقا لمعادلة مينكوفسكي. وهي اننا اذا قسمنا هذا الطول على سرعة الضوء فسنحصل على الطول الزمني لهذه المرحلة الزمكانية. وهذا الطول الزمني هو العمر المحسوس او ما يطلق عليه العلماء زمن التعجيز.

من يقرأ عنوان موضوع اليوم قد يعتقد ان موضوع اليوم له علاقة بالتنجيم. لكنه ليس كذلك. أن موضوع اليوم يتعرض للتناول الرياضي للنظرية النسبية لمينكوفسكي.

نعلم ان مينكوفسكي دعا الي اعتبار الزمن بعدا رابعا ذو اعداد تخيلية لأننا اذا فعلنا ذلك فسوف نستطيع عمل الحسابات الرياضية بسهولة اكثر. وعند اضافة محور الزمن لنظام الاحداثيات الديكارتي التقليدي ذو الثلاثة ابعاد فسيكون عندنا فضاء رباعى الابعاد يعرف بالزمكان توصف النقاط فيه بدلالة اربعة احداثيات: ثلاثة احداثيات مكانية و احداثي رابع للزمن. وفي الفضاء الزمكاني لا يستخدم الانسان كلمة نقطة و يستعيض عنها بكلمة حدث.  وانا من الان فصاعدا سأستخدم كلمة حدث وأعني بها نقطة في الفضاء الزمكاني رباعي الابعاد. وسأستخدم كلمة احداث كجمع لكلمة حدث.

نعلم ان الزمن و المكان هما القماشة اللتي يتكون منها عالمنا فاذا اردنا ان نتتبع دورة حياة جسم ما فما علينا الا نتتبعه في الزمن و المكان بصورة مستمرة. او اننا نتتبع الاحداث المرتبطة به بصورة متصلة. والخط الواصل بين هذه الاحداث يعرف باسم خط حياة هذا الجسم.

ولكننا اذا اردنا رسم خط الحياة لجسم ما على الورق بيانيا  فاننا سنجابه بمشكلة وهي ان سطح الورقة سطح ثنائي الابعاد ولذلك لا نستطيع ان نرسم عليه اكثر من بعدين في نفس الوقت. ولذلك فاننا يجب ان  نستغني عن المحاور و الابعاد الاقل اهمية ونكتفي بالمحاور اللتى لها علاقة بالحالة اللتي نتناولها.

على سبيل المثال اذا كنا ندرس حركة جسم يتحرك موازيا للمحور x فاننا نستطيع ان نهمل المحاور y و z لان قيمهما لاتتغير ونكتفي بالمحاور x و t. وهناك شبه اتفاق على ان يكون المحور x افقيا اما محور الزمن فيكون رأسيا مع ملاحظة ان محور الزمن يعبر دائما عن الزمن مضروب في سرعة الضوء c.

لتوضيح ذلك بمثال:  اذا تخيلنا اني اقف عند نقطة الاصل B و لا اغادر مكاني مطلقا بينما تتحرك انت بسرعة ما في الاتجاه الموجب لمحور x . فكيف يبدو خط حياتي؟ وكيف يبدو خط حياتك؟ حيث اني اقف عند نقطة الاصل و لا اراوح مكاني فتكون قيمة x صفر دائما ولكن مع ذلك فان الزمن يمر و لاتوجد اي وسيلة بالنسبة لي لايقاف الزمن. فيكون خط حياتي هو المحور الرأسي نفسه حيث ان كل احداثه تتميز بخاصية ان قيمة الاحداثي x صفر دائما. و الآن ماذا عنك؟ وكيف يبدو خط حياتك؟ حيث انك تتحرك فبعد ثانية لن تبقى عند النقطة B  ولكنك ستكون في مكان اخر. اذن قيمة x لن تكون صفرا وكذلك قيمة ct. اى ان خط حياتك يأخذ صورة خط مائل يمر بنقطة الاصل.

واذا افترضنا ان هناك شعاع ضوء يتحرك موازيا للأتجاه الموجب لمحور x فكيف تكون احداثه وكيف يبدو خط حياته؟ خط حياته سيكون ايضا خط مائل. وتكون زاوية الميل هي 45 درجة لان في هذه الحالة تكون x= ct. واذا كان شعاع الضوء يتحرك موازيا للأتجاه السالب لمحور x فان خط الحياة يكون ايضا مائلا بزاية قدرها 45 درجة ولكنه يكون واقعا في الربع الثاني من مربعات مجموعة الاسناد.

اذن قد راينا 3 حالات: الحالة الاولي عندما يكون الجسم ساكنا فيكون خط الحياة هو محور الزمن نفسه. والحالة الثانية وهي حالة الحركة بسرعة اقل من سرعة الضوء فيكون خط الحياة مائلا عن الرأسي. ثم الحالة الثالثة وتمثل الحالة القصوي وهي الحركة بسرعة الضوء ويكون الميل فيها اقل مايمكن ويبلغ الميل 45 درجة. وحيث ان  سرعة الضوء هي اعلى سرعة يمكن الوصول اليها  فيمثل الخطان المائلان بزاوية 45 درجة اقصي حدود يمكن لخطوط حياة جسم  تمر بنقطة الاصل ان تأخذه

مخروطي المستقبل و الماضي

.

وبالمثل اذا اردنا توسيع فكرتنا السابقة واضفنا محور جديدا هو المحور y لوجدنا ان خطوط الحياة لشعاع ضوء ينطلق من نقطة الاصل A تكون محدودة بسطح مخروط يقع رأسه عند نقطة الاصل. وتكون كل الاحداث خارج هذا المخروط احداثا يستحيل الوصول اليها من نقطة الاصل.

ويسمي هذا المخروط بمخروط المستقبل بالنسبة للحدث A لان جميع الاحداث اللتى تقع بداخل هذا المخروط او على سطحه هي احداث يمكن الوصول اليها من نقطة الاصل بدون تخطي سرعة الضوء. وتكون الاحداث الواقعة خارج هذا المخروط احداثا من المستحيل ان تكون لها علاقة  بالحدث A . لان الوصول اليها من نقطة الاصل يتطلب سرعات اعلى من سرعة الضوء.

ويمثل مخروط المستقبل في نفس الوقت مخروطا للسببية. حيث ان جميع الاحداث اللتى تفع بداخل المخروط يمكن ان يكون A سببا لها اذا راعينا ان الاسباب تسبق نتائجها دائما.

وكذلك الحال ينطبق على مخروط الماضي. وهو يشمل جميع الاحداث اللتىي يمكن ان يكون الحدث A مستقبلا لها. او بمعنى اخر هي جميع الاحداث  اللتي يمكن ان تصل للحدث A بسرعة لا تتخطي سرعة الضوء.

ولكن ما هي المشكلة في الحركة بسرعة اعلى من سرعة الضوء؟ نعلم ان نسبية الانية هي من نتائج النظرية النسبية. أي ان حدثان يحدثان في نفس اللحظة بالنسبة لمجموعة الاسناد أ لا يحدثان بالضرورة في نفس اللحظة بالنسبة لمجموعة الاسناد ب. و الان اذا قارنا بين الحدثين A و B فمن وجهة نظرنا ان الحدث A يحدث قبل الحدث B . فهل هناك مجموعة احداثيات اخري يمكن ان ترصد ان الحدث B يحدث قبل الحدث A؟ الاجابة لا. بالنسبة لجميع مجموعات الاسناد اي كانت سرعتها فهي  ترصد دائما A اولا وبهذا لاتوجد اي مشكلة في ان يكون A سببا ل B.

لكن ماذا عن الحدثين A و C. من وجهة نظرنا ان A يحدث اولا. ولكن هل توجد مجموعات اسناد اخري يحدث فيها C اولا؟ الاجابة نعم!! وفي هذه الحالة يمكن ان تكون C سببا ل A. كما ان A يمكن ان تكون سببا ل C. وهذا يشكل معضلة خطيرة لايمكن حلها اذا كنا نعتقد ان العلة لابد دائما وان تسبق المعلول.

هيرمان مينكوفسكي هو بروفيسور للرياضيات و الفيزياء كان يعمل بجامعة زيورخ في سويسرا في نهاية القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين حيث كان البرت اينشتاين من ضمن طلابه اللذين تتلمذوا على يديه في تلك الفترة . ولم يكن انطباع مينكوفسكي عن اينشتاين في تلك الفترة  ايجابيا. فكان مينكوفسكي يري في اينشتاين مثالا  للطالب الكسول اللذي يحرص على التزويغ من المحاضرات اكثر من حرصه على حضورها. ولكن رأي مينكوفسكي في اينشتاين تغير تماما بعد اكتشاف اينشتاين للنظرية النسبية الخاصة. وصار مينكوفسكي من اكثر المتحمسين لهذه النظرية و المدافعين عنها. بل أنه طور رياضيات خاصة بالنظرية النسبية اللتي اكتشفها تلميذه.

كما نعلم ان تحويلات لورنتر تحمل الصورة التالية

وباستخدام رياضيات بسيطة نستطيع ان نتوصل الي ما توصل اليه مينكوفسكي. فبطرح مربع المعادلة الثانية مضروبة في مربع سرعة الضوء من مربع المعادلة الاولي نحصل على المعادلة التالية:

ويمكنكم تجريب هذا بانفسكم كتمرين رياضي لن يستغرق اكثر من 10 دقائق من وقتكم

هل كان هذا كل شئ؟ تقرييا!! مع زيادة ان  مينكوفسكي اثبت الصورة العامة للقانون. حيث ان المعادلة السابقة  تعبر عن الحركة بسرعة منتظمة موازية للمحور x اما الصورة العامة  للحركة في اي اتجاه فهي كالتالي

وقد يسال انسان ما هو الفارق بين هذه المعادلة و تحويلات لورنتر السابقة. الاجابة ان هناك 3 فوارق رئيسة بين هذه المعادلة وبين تحويلات لورنتر

الفارق الاول اننا تخلصنا من السرعة النسبية v تماما وحصلنا على علاقة عامة جديدة تسري بين اي مجموعتي اسناد تتحركان بالنسبة لبعضهما البعض في خط مستقيم بسرعة منتظمة بغض النظر عن السرعة النسبية ذاتها.

الفارق الثاني اننا عن طريق هذه المعادلة:

نحصل على قيمة ثابتة تتفق عليها جميع مجموعات الاسناد باجراء قياسات داخلية. فكما نعلم ان مجموعات الاسناد المختلفة تختلف في قياساتها للاطوال وللزمن وللكتل. و لاتتفق الا على سرعة الضوء و على هذه  القيمة اللتي حصلنا عليها من المعادلة السابقة.

الفارق الثالث هو اننا نستطيع عن طريق هذه المعادلة الحصول على ما يعرف باسم الزمن الخاص. فكما نري ان الوحدة اللتى تعبر عن r هي المتر. اي ان r هي مسافة. فاذا قسمنا هذه المسافة على سرعة الضوء c حصلنا على ما يعرف باسم الزمن الخاص و اللذي يلعب دورا هاما في توضيح معضلة التوأم اللتى قد نتعرض لها لاحقا ان شاء الله

ولم يكتف مينكوفسكي عند هذا الحد بل انه تأمل فيما وراء هذه المعادلة الجامدة. ماذا يمكن  ان يفهم الانسان فيما وراء هذه المعادلة؟

المسافة بين نقطتين

كما نعلم من الهندسة التحليلية انه اذا كان لدينا فضاء ثنائي الابعاد او بتعبير اخر مستوي ممتد يحتوي على محوري اسناد x و y و يتلاقيان في نقطة الاصل O وفرضنا ان هناك نقطة اخرى P ذات احداثيات x و y فيكون مربع المسافة بين هاتين النقطتين كما تقول نظرية فيثاغورث

و اذا عممنا هذه القاعدة على فضاء ثلاثي الابعاد اي يحتوي على المحاور  x وy و z نجد ان مربع المسافة هي:

وهذه المعادلة تشبه الى حد كبير معادلة مينكوفسكي اذا الغينا المقدار  .و اذا راعينا ان c هي سرعة الضوء و t هو الزمن وحاصل ضرب السرعة مع الزمن يعطي مسافة أو طول. اي ان هذا المقدار يمكن ان  يعبر عن بعد رابع.  وهنا نلمس براعة مينكوفسكي الرياضية حين قال اذا تعاملنا مع الزمن المضروب في سرعة الضوء كانه محور رابع. ولكنه محور ذو اعداد تخيلية  فسنحصل على المعادلة :

والرقم التخيليي في الرياضيات يعني مضاعفات الجزر التربيعي لناقص واحد وهذا يفسر اشارة الناقص الاخيرة في المعادلة.

و ادخل مينكوفسكي تعبيرات  فيزيائية جديدة فتخلي عن تسمية O و P بالنقاط ولكنه سماهما حدثين. والحدث يعبر عنه باربع ارقام تمثل الاحداثيات المختلفة. الاجداثيات الثلاثة الاولي للمكان و الاحداثي الرابع للزمن. و ادخل مينكوفسكي تعبير الزمكان وقصد به هذا الفضاء رباعي الابعاد وعبر عن البعد الزمكاني بالمعادلة السابقة.

و هناك نقطة اخرى يجدر الاشارة اليها وهي انه اذا فترضنا ان هناك مجموعتين اسناد في فضاء ثنائي الابعاد و تشتركان في نقطة الأصل O ولكنهما تميلان بزاوية بالنسبة لبعضهما البعض. فنجد العلاقة التالية سارية. لان طول الاجسام يبقي ثابتا في النظم الاحداثية المختلقة

و اذا افترضنا ان الفضاء كان ثلاثي الابعاد لوجدنا العلاقة التالية سارية

وبالمثل في فضاء رباعى الابعاد وبمحور تخيليى للزمن تكون العلاقة التالية هي السارية

ومن هنا يمكن ان نري ان اي جسم يتحرك بسرعة ما يظهر لراصد يقف في مجموعة اسناد اخري كما لو كان هذا الجسم المتحرك مائلا

النقطة الاخيرة في هذا الموضوع هي اني احب ان اؤكد على ان الابعاد الاربعة موضوع اليوم ليست الا الابعاد المكانية الثلاثة اللتى نعرفها كلنا و البعد الرابع هو الزمن المعروف لدينا بشكل اكثر من جيد. ولربما توقع بعض القراء عند قرأتهم عنوان موضوع اليوم اني ساحلق بهم في جو اسطوري واني سوف اكشف لهم مستورا عظيما. ولكنى للاسف مضطر لان اخذلهم. فهذه الابعاد الاربعة تمثل لنا روتينا يوميا. فقط عندما تكون الابعاد خمسة او اكثر تبدأ الاثارة و التكهنات عن كنه هذه الابعاد الاضافية. ولكن النظرية النسبية لا تحتوي الا على اربعة ابعاد فقط. وربما تكمن المشكلة في ان  مداركنا لا تتعامل مع كل الابعاد بنفس الكيفية. فمداركنا تستطيع  استيعاب الابعاد المكانية بكل يسر فنحن نستطيع ان نري اي نقطة في المكان و النقاط اللتي وراءها والنقاط اللتي امامها. اما الزمن فأننا نستطيع ان ندرك اللحظة الحاضرة فقط و لانستطيع ان ندرك ما هو امام هذه اللحظة ولو فعلنا لرأينا المستقبل كما اننا لا نستطيع ان نري ما خلفها ولو فعلنا لرأينا الماضي. لأنه هو ايضا غيب بالنسبة لنا.

اذا روى انسان: انه قد اشترى جهازا ثمنه 50 دولارا فقد نعترض بان الرواية ليست واضحة. فاي دولار يقصد الراوي؟ فهناك العديد من الدول اللتي تستخدم الدولار كعملة. فهناك الدولار الامريكي و الدولار الاسترالي و الدولار الكندي الى اخر الدول اللتي تستخدم الدولار. ولكن اذا اخبرنا هذا الشخص انه يعيش في الولايات المتحدة الامريكية و اشتري جهازا ثمنه 50 دولارا فهنا تكون الرواية اوضح. ولكن ماذا لو اخبرنا هذا الشخص انه عاش في الولايات المتحدة الامريكية و استراليا وكندا و اشترى جهازا ثمنه 50 دولارا؟ هنا تكون القصة غير واضحة ابدا. لان الدول الثلاثة تستخدم الدولار كعملة نقدية وطنية ولكن قيمة هذه الدولارات بالنسبة لبعضها البعض ليست متساوية. فانا لا يمكننى ان اسافر بدولار استرالي الي داخل الولايات المتحدة الامريكية و اتعامل به هكذا. فدولار استرالي لايساوي دولار امريكي و العكس صحيح.

فينبغي عند سفر شخص من استراليا  الى امريكا مثلا ان  يقوم بتحويل الدولارات الاسترالية اللتى يحملها بدولارات امريكية. وفي هذه الحالة لن توجد اي مشكلة او لخبطة في التعاملات النقدية. لماذا اقص هذه القصة؟ لان تطبيق النظرية النسبية في المسائل العملية يشبه هذا المثال تماما. فالدول في هذه الحالة ليست استراليا وكندا ولكن هي اي مجموعات اسناد تتحرك بالنسبة لبعضها البعض في خط مستقيم بسرعة منتظمة. ولكن ماذا عن الدولارات؟ كما نعلم انه لا توجد دولارات في النظرية النسبية ولكن مايماثل الدولارات هنا هي وحدات اخرى كالكيلوجرام و المتر و الثانية. فبالرغم من ان كل هذه الوحدات تسمى بنفس الاسم في مجموعات الاسناد المختلفة الا ان متر في مجموعة الاسناد أ لا يساوي مترا في مجموعة الاسناد ب وكذلك الكيلوجرام والثانية.

ولذلك فعند وجود جسم طوله 1 متر في مجموعة الاسناد أ فلا يمكننا ان نستخدم هذا الرقم كما هو في مجموعة الاسناد ب. ولكن علينا ان نحوله اولا في نقاط الجمارك النسبية. وكذلك نفعل مع الكيلوجرام و الثانية. ولكن ما هي نقاط الجمارك النسبية اللتى نقوم فيها بتغيير الوحدات؟ انها تحويلات لورنتر  اللتي تمكننا من  عمل هذا. والاكثر من ذلك انه تم استنباط معادلات اسهل واكثر مباشرة من تحويلات لورنتر للقيام بعملية التحويلات مباشرة. فلتحويل الاطوال والزمن والكتل  من مجموعة اسناد لاخري نستخدم المعادلات التالية.

a … ……1
b … ……2
c … ……3

وهذا هو اهم شئ يتعلق بتطبيق النظرية النسبية في المسائل العملية.

ففي الحقيقة انه ليس صحيحا ان النظرية النسبية الخاصة هي نظرية شديدة التعقيد و الصعوبة. فمن حيث المفاهيم الاساسية  يستطيع الانسان حتى بدون استخدام معادلات رياضية  ان يصل للمفاهيم الاساسية  للنظرية النسبية. مع الاعتراف بان المفاهيم الاساسية ليست بديهية كما كان يتوقعها الانسان. اما الشق الثاني بعد الفهم وهو الاستنتاج الرياضى للنظرية النسبية الخاصة فهو ايضا ليس صعب. وبمعلومات المدرسة الثانوية يتمكن الانسان من استنتاج قوانين النسبية رياضيا. اما الشق الثالت و الخاص بتطبيق النظرية فقد رأينا اليوم انه حتى اكثر سهولة!

يوم الامتحان يكرم المرء او يهان.هذا المثل ينطبق ايضا على العلوم الطبيعية. فالنظريات العلمية مهما كانت جميلة او شيقة ومهما قبلنا افتراضاتها ممتعضين او موافقين فلابد في النهاية  من ان تجتاز  اختبار الواقع القائم.

و الحقيقة ان الاعتراضات على النظرية النسبية بشقيها الخاصة و العامة عند ظهورهما كانت ضخمة وهائلة ولكن النظرية اجتازت الاختبار الاهم وهو اختبار التجربة و الواقع. ولذلك فهي ارغمت الفيزيائيين عل قبولها طوعا او كرها. واليوم نتعرض ل 3 براهين   تثبت مطابقة النظرية النسبية الخاصة للتجارب و الواقع القائم.

البرهان الاول: القنبلة الذرية و المفاعلات النووية

عمل فني يوضح معادلة اينشتاين

العلاقة E = m x c^2 اللتي اثبتها اينشتاين تعتبر من اشهر المعادلات على وجه الكرة الارضية. فهي المعادلة الفيزيائية الوحيدة اللتي تجدها مكتوبة على حوائط البيوت بطريقة الجرافيتي او تجدها مطبوعة على التيشيرتات اللتي يرتديها الشباب. وهذه المعادلة اللتي تدل على تكافؤ الطاقة و المادة قد تم استخدامها بشكل مريع ومروع في يوم 6 اغسطس عام 1945 حين القيت القنبلة الذرية الاولى فوق مدينة هيروشيما اليابانية و المرة الاخرى  كانت يوم 9 اغسطس في العام نفسه حين القيت القنبلة الثانية فوق مدينة نجازاكي. وكانت القنبلة الاولى مصنوعة من اليورانيوم بينما كانت القنبلة الثانية من البلوتونيوم. ولكن فكرة عمل القنبلتين واحدة . فهي تقوم على ان ذرات اليورانيوم او البلوتونيوم  تنشطر الى ذرات مواد اخف. وتكون كتلة الذرات بعد الانشطار  اقل من كتلة ذرات اليورانيوم او البلوتونيوم الموجودة قبل الانشطار. ولكن فارق الكتلة يعوضه انبعاث طاقة هئلة طبقا للمعادلة المذكورة. و المفاعلات الذرية هي عبارة عن قنابل ذرية بطيئة. فالانشطار يتم فيها بسرعة اقل. فتتولد الطاقة بمعدل ابطأ بينما في القنبلة الذرية يكون تولد الطاقة سريعا.

البرهان الثاني: تمدد الزمن

وهي تجربة تمت باستخدام ساعتين ذريتين من السيزيوم متماثلتين تماما وضعتا في طائرات تجارية وطارتا لمدة 50 ساعة حول الكرة الارضية. الساعة الاولى طارت من الشرق الى الغرب بينما الساعة الثانية طارت من الغرب الى الشرق. وتمت مقارنة الساعات بساعة اخرى موجودة على الارض. فوجد العلماء ان الساعتين اللتين قد طارتا قد تأخر الزمن بالنسبة لهما تماما كما تقول النظرية النسبية.

التجربة الثالثة: الميونات

الميونات هي اجسام ذرية خفيفة. وهي ليست ثابتة فهي  ذات عمر قصير وتفني بعد لحظات قصيرة من ولادتها. وتتكون هذه الميونات عند اصطدام اشعة الشمس بالغلاف الجوي. وتتحرك هذه الميونات بسرعة هائلة تقارب سرعة الضوء ولكن مع ذلك فان عمرها القصير لا يسمح لها ببلوغ مسافة بعيدة بالحسابات الكلاسيكية المباشرة ولذلك فهي لن تتمكن من الوصول الى سطح الارض. ولكن عمليا فانه يتم رصد كميات كبيرة من هذه الميونات فوق سطح الارض. و استطاعت النظرية النسبية تفسير هذه الظاهرة بدقة هائلة.

لتوضيح ذلك نضرب مثالا بالارقام. مع مراعاة ان هذه الارقام ليست دقيقة ابدا لكن الغرض منها هو التوضيح.

لنفرض ان الميونات تتكون على ارتقاع 300 كيلومتر فوق سطح الارض. وتتحرك الميونات بسرعة تقارب سرعة الضوء او 300 الف كيلومتر في الثانية. اذن فالميونات تحتاح الى واحد على الالف من الثانية حتى تصل الى سطح الارض. لكن حيث ان عمر الايونات هو نصف على الالف من الثانية فانها تموت في نصف المسافة بين مكان ميلادها وبين سطح الارض ولذلك لا تصل الى سطح الارض. فكيف استطاعت النظرية النسبية تفسير هذا؟

من وجهة نظر راصد على سطح الارض فهو يرى الميونات تتحرك بالنسبة له بسرعة عالية تقارب سرعة الضوء ولذلك يلاحظ  ان الزمن يمر ببطء بالنسبة للميونات: فنصف على الالف من الثانية بالنسبة للميونات تبدو بالنسبة لراصد على سطح الارض اطول من ذلك بكثر! فهي تبدو كأنها واحد على الف من الثانية واطول  من ذلك. وهذا الزمن يسمح للميونات بالوصول الى سطح الارض!!

ومن  وجهة نظر راصد يتحرك مع الميونات فهو يري سطح الارض يتحرك بالنسبة له بسرعة عالية تقارب سرعة الضوء: ولذلك تبدو ال 300 كيلومتر وهي المسافة اللتي تفصل بين الميونات و الارض اقل من ذلك بكثير. فهي تبدو وكأنها 150 كيلومتر و اقل من ذلك.  وهذا يسمح في نصف على الالف من الثانية من وصول الميونات الى سطح الارض!!

وفي الحقيقة فان مثال الميونات مثال رائع لانه يسمح لنا بضرب 4 عصافير بحجر واحد كما يقول المثل. فهو:

1 يوضح تباطؤ الزمن

2 يوضح انكماش الابعاد

3 يوضح ان النظرية النسبية تسرى ايضا على ظواهر خارج ميكانيكا نيوتن الكلاسيكية وخارج الظواهر الكهرومغناطيسية .

4 يوضح ان كافة الساعات على اختلاف طريقة عملها يسري عليها التباطؤ بنفس الكيفية. سواء كانت هذه الساعات ضوئية او بيولوجية او ذرية.

النظرية النسبية هي نظرية خاصة بالزمان و المكان.  وبالتالي فنتائجها تشمل تقريبا كل ميادين الحياة لان الزمان و المكان هما القماشة اللتى يتفصل منها عالمنا. فالنظرية النسبية مثلها كمثل جهاز الكمبيوتر. فالكمبييوتر قد يكون جهازا قائما بذاته او قد يكون مبنيا في داخل جهاز اخر  كالتليفون المحمول او السيارة او الغسالة الى اخر الاجهزة الاخرى. وهكذا النظرية النسبية هي نظرية قائمة بذاتها ولكنها تتداخل ايضا مع اي نظرية اخرى تحتوى على المتغير t الخاص بالزمن او المتغيرات x او y او z الخاصة بالمكان.

وموضوع الكتلة اليوم مرتبط بنقطتين يطرحا نفسيهما عند تحليل قوانين الميكانيكا الكلاسيكية  أوقوانين  الديناميكا الكهربائية من منظار النظرية النسبية.

النقطة الأول: وهي مرتبطة  بالقانون الثاني لنيوتن اللذي ينص على ان القوة تساوي الكتلة مضروبة فى التسارع أو:

F = m x a

أي انه اذا اثرت قوة ما على جسم فانها سوف تكسبه تسارع معين. أي ان الجسم بعد كل ثانية تزداد سرعته اكثر و أكثر. اذن من الطبيعي انه في لحظة ما سوف تبلغ سرعة الجسم سرعة الضوء و تتخطاها. ولكن النظرية النسبية تقول ان هذا مستحيل وممنوع. فالسؤال اذن اين تذهب الطاقة الناتجة عن عمل هذه القوة ونحن نعلم ان الطاقة لا تفني و لا تستحدث من العدم؟

النقطة الثانية المرتبطة بقوانين الديناميكا الكهربائية ظهرت عندما اجري اينشتاين حساباته النسبية على جسم يشع ضوءا او فوتونات ووجد ان هذا الجسم يفقد كتلة قيمتها تقدر بالعلاقة التالية

m= E/c^2

حيث m الكتلة و E الطاقة المنبعثة و c سرعة الضوء.

ولم تكن هذه العلاقة في حد ذاتها جديدة فقد توصل لها علماء اخرون قبل اينشتاين بطرق مختلفة. ومن امثال هؤلاء العلماء العالم الفرنسي الشهير هنري باوانكاريه.

واذا وضعنا النقطتين السابقتين بجوار بعضهما سنتوصل للنتيجة اللتي توصل لها اينشتاين بعبقريته وقدرته على التعميم ورؤية الصورة الكاملة من الاجزاء المتناثرة. فقد قال اذا كان الجسم عندما يفقد طاقة تنقص كتلته فيمكن ان يكون العكس ايضا صحيح. اي انه عندما يكتسب جسم  طاقة فان كتلته تزيد طبقا لنفس المعادلة:

m = E /c^2

وهذا يحل المشكلة المرتبطة بالقانون الثاني لنيوتن. فالاجسام اللتي تؤثر عليها قوة وتكتسب تسارع تزيد سرعتها باستمرار وبالتالي تزداد طاقة حركتها. وطبقا للعلاقة السابقة تزداد كتلتها فيقل تسارعها لان الكتلة هي مقياس القصور او مقاومة الاجسام للتغير في الحركة. وهذا يبين لماذا يستحيل ان يصل جسم الى سرعة الضوء. لانه سوف يحتاج الى طاقة لانهائية. وهذا مستحيل عمليا.

مثال: اذا افترضنا حبة رمل كتلتها اجم تؤثر عليها قوة مستمرة ودائمة. فستبدأ حبة الرمل فى التسارع وتزداد سرعتها بشكل كبير. ولكن ايضا كتلة حبة الرمل سوف تزداد حتى تصبح ككتلة جبل ضخم. ولكن تأثير نفس القوة السابقة على جبل ضخم ليس كتأثيرها على حبة رمل خفيفة. ومن هنا نري ان التسارع يقل ويكاد ان ينعدم.

وقد وجد اينشتاين ان الكتلة تزداد مع السرعة وفقا لهذه المعادلة:

       1

حيث M الكتلة النهائية و Mo الكتلة في حالة الثبات و c هي سرعة الضوء و v هي السرعة اللتي يتحرك بها الجسم.

اي اذا كان الجسم ثابت فان سرعته تساوي صفر وبالتالي فان كتلته النهائية تكون Mo وكلما زادت سرعة الجسم زادت كتلته طبقا للعلاقة المذكورة حتى اذا بلغت سرعة الجسم سرعة الضوء فتصبح كتلة الجسم لا نهائية.

من اسخف العبارات المنتشرة حول النظرية النسبية: ان هناك 10 اشخاص في العالم فقط هم اللذين يفهمون النظرية النسبية. وهذه المقولة في الحقيقة من نسج الخيال. واذا وضعنا في الاعتبار ان النظرية النسبية عمرها اكثر من  100 عام  لوجدنا ان هذا التهويل في امر النظرية النسبية يكاد يقترب من درجة العار. فمن الاقرب ان نعمل على ادخال النظرية النسبية الى متحف التاريخ لا على ان ننظر اليها على انها من اعجوبات المستقبل.

وعموما يجب ان نفرق بين فهم النظريات العلمية ويين  تطبيقها. ففي فواقع الامر ان فهم معظم النظريات العلمية امر سهل و متيسر لكل ذي رغبة في المعرفة. ولكن تطبيق النظريات العلمية هو الذي قد يكون امرا صعبا احيانا لانه قد يتطلب مهارات رياضية معينة لا يتحصل عليها المرء الا بالدراسة في الجامعات المتخصصة. و الحقيقة ان فهم النظريات العلمية هو كمشاهدة مباريات كرة القدم. فكثير  من الناس يشاهدون مباريات الكرة و يستمتعون بها و يفهمونها بشكل رائع وممتاز ولكنهم انفسهم  لا يستطيعون ممارسة كرة القدم لان مهارات اللعبة او اللياقة البدنية او ماشابه ذلك  لايتوافر لديهم. ومن هنا نري ان فهم العلوم امر يسير ولكن التطبيق العملى وحل المعادلات الرياضية هو الأمر الصعب احيانا . وكذلك هو الحال في حالة النظرية النسبية الخاصة. ففهم النظرية النسبية ليس عسيرا. ولكن المفاجاءة تكمن في ان المهارات الرياضية المطلوبة لاستتنباط هذه النظرية بسيطة جدا وعكس ما يروج له المهولون. ففي الحقيقة فان تلميذ بالصف الاول الثانوي او الصف العاشر يستطيع استنباط قوانين النظرية النسبية بدون اي مشاكل

واليكم البرهان. فهذه المرة سوف نستنبط تحويلات لورنتر  من مبادئ النظرية النسبية الخاصة رياضيا كما شرحها اينشتاين وسوف تجدون ان استنباط المعادلات امر يسير و يسير جدا. ولكني اعتذر لمن لا يحبون الرياضيات ان وجدوا المدونة هذه المرة جافة نوعا ما. و الان نبدأ رحلة البرهان.

لنفترض ان لدينا محموعة احداثيات أ ونحن ننتمي لمجموعة  الاحداثيات هذه. كما انه هناك مجموعة احداثيات اخرى ب تتحرك بسرعة منتظمة v في خط مستقيم بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولى وفي اتجاه موازي للمحور x .و الان نتخيل اننا نقف عند نقطة تقاطع المحاور O ونلاحظ مجموعة الاحداثيات ب و هي تمر من امامنا. وعندما نري نقطة تقاطع المحاور لمجموعة الاحداثيات الثانية O1 وهي تمر امامنا  تماما نطلق شعاع ضوء موازي للمحور x وفي الاتجاه الموجب له. الآن ينبغى على كلتا مجموعتى الاسناد ان ترصد الضوء بنفس السرعة c وهذا هو المبدأ الثاني للنظرية النسبية والخاص بثبات سرعة الضوء.

المبدأ الثاني للنظرية النسبية الخاصة و الخاص بثبات سرعة الضوء

اذن بالنسبة لنا فشعاع الضوء يسير بالسرعة c فاذن

x = ct
x – ct = 0   ……..1

بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الثانية ينبغى ايضا ان يكون

x1 – ct1 = 0……… 2

وكما لاحظتم  فاننا نستخدم x و t بالنسبة للمجموعة أ و نستخدم x1 و t1 بالنسبة للمجموعة ب

من المعادلتين 1 و 2 نحصل على

x1 – ct1 = L(x – ct) ……..  3

حيث L متغير جديد مع مراعاة ان ضرب 0 مع أي قيمة كانت الا المالانهاية يعطي صفرا ايضا

ونكرر العملية مرة اخري باستخدام شعاع ضوء موازي للمحور x ولكنه يتحرك في الاتجاه السالب له

x1 + ct1 = M (x  + ct)……………   4

والان لكي نبقى معادلاتنا فصيرة ندخل متغيرين جديدين

a = (L + M)/2 , b = (L – M)/2

ثم مرة نجمع المعادلتين 3 و 4  ومرة نطرح المعادلة 3 من 4 فنحصل على

x1 = ax – bct ………….  5a
ct1 = act – bx …………. 5b

رصد نقطة تقاطع المحاور O1 من مجموعة الاحداثيات الاولى

بتتبع تغير احداثيات نقطة تقاطع المحاور O1 بالنسبة للزمن بالنسبة لنا في مجموعة الاحداثيات الاولى نستطيع ان نحصل على السرعة اللتى تتحرك بها مجموعة الاحداثيات الثانية بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولى. وكما هو منطقى فان احداثيات النقطة O1 بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الثانية x1 دائما صفر لانها هي نقطة البداية و لاتتغير بالنسبة لنفسها.  اذن بوضع x1 يساوي صفر في المعادلة  5a

0 = ax – bct
ax = bct
x/t = bc/a
v = bc/a
v/c = b/a ………………………… 6

رصد قضيب طوله 1 متر موجود فى مجموعة الاحداثيات الثانية من مجموعة الاحداثيات الاولى

والان نستغل شيئا اخر. اذا تخيلنا ان لدينا قضيبا طوله 1 متر موضوع في مجموعة الاحداثيات الثانية بحيث تقع نهايتاه عند النقطتين صفر وواحد. ونريد الان ان نحسب طول القضيب بالنسبة لمجموعة الاسناد أ. و يمكننا عمل ذلك اذا حولنا احداثيات نقطتى نهايتي القضيب بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولى  ثم نحسب الفارق في هذه الاحداثيات عند لحظة معينة.و لسهولة الحسابات فلنحسب هذا  الفارق اذن عند اللحظة t تساوي صفر. بالتعويض في المعادلة 5a بأن t تساوي صفر نحصل على

x1 = ax

x1 = 0 –> x=0
x1 = 1 –> x = 1/a

أذن لحساب طول القضيب بالنسبة لمجموعة الاسناد أ  فعلينا حساب الفارق في الاحداثيات

I/a – 0 = 1/a ……….7a

رصد قضيب طوله 1 متر موجود فى مجموعة الاحداثيات الاولى من مجموعة الاحداثيات الثانية

بالمثل يمكننا ان نتخيل ان قضيبا طوله 1 متر موضوع في مجموعة الاسناد أ و نريد حساب طوله بالنسبة لمجموعة الاسناد ب عند اللحظة t1 تساوي صفر. اذن من المعادلة  5b وبما ان t1 يساوي صفر

act = bx

ct = bx/a

بالتعويض في المعادلة 5a

من المعادلة 6

x =0 و x =1 نحصل

x1 = 0

لحساب طول القضيب بالنسبة لمجموعة الاحداثيات ب فنحسب الفارق في الاحداثيات مرة اخرى او

a(I-v^2/c^2)……..7b

مبدأ النسبية الاول

من مبدأ النسببة الاول واللذي ينص على تكافؤ مجموعات الاسناد من حيث رصد و التجارب الفيزيائية ينبغى ان يبدو طول القضيبين في الحالتين السابقتين متساويا

بأخذ الجذر التربيعي

حل المعادلات

من هنا نبدأ فى عمليات رياضية محضة. من المعادلة 6

باستغلال المعادلة

5a

من 5b نحصل على:

انتهينا من البرهان. هذا كان كل شئ. وبامكانكم كتمرين استنباط قاعدة جمع السرعات!!

عندما يقذف صبي قطعة من الحجارة فيصيب شيئا ما  فأنه قد يسبب تلفيات في هذا الشئ. ولكن اذا قام هذا الصبي بقذف قطعة الحجارة  من نافذة قطار متحرك فاننا نعلم ان التلفيات ستكون اكبر و أعظم. لماذا؟ لان سرعة القطارسوف تضاف الي سرعة قطعة الحجارة المقذوفة فتكون سرعة قطعة الحجارة النهائية بالنسبة للارض أكبر وبالتالي طاقة الحركة النهائية لقطعة الحجارة بالنسبة للأرض تكون اكبر و اعظم. فاذا افترضنا أن صبي قد قذف قطعة حجارة بسرعة 100 كم في الساعة وكان القطار نفسه يتحرك بسرعة 100 كم في الساعة فتكون سرعة قطعة الحجارة النهائية بالنسبة لراصد على الارض 200 كم في الساعة. وهذه القاعدة تسمى قاعدة جمع السرعات وهي تنتمي الى الميكانيكا الكلاسيكية اللتي نادى بها نيوتن.

وبالمثل يمكننا ان نفهم أن عند حدوث حادث سير بين سيارتين متحركتين في اتجاهين متقابلين لماذا تكون الخسائر اكبر منها بكثير عندما تكون السيارتان تتحركان في نفس الاتجاه. ففي حالة الحركة في اتجاهين متقابلين تجمع السرعات اما اذا كانت الحركة في نفس الاتجاه فنقوم بطرح السرعات. وكان الناس لهذا السبب يتوقعون شيئا مشابها بالنسبة للضوء. فسرعة الضوء 300 الف كيلو متر في الثانية فاذا صدر هذا الضوء من مقدمة قطار يتحرك بسرعة عالية  فلابد وان يتوقع الناس ان تزيد سرعة الضوء الصادر من مقدمة القطار بسبب جمع السرعات . لكن جميع القياسات الدقيقة اثبتت ان هذا لا يحدث و ان سرعة الضوء تبقى دائما ثابتة لا تتغير بغض النظر عن مصدر هذا الضوء وحالته  من الحركة. وكانت هذه الحقيقة تمثل لغزا كبيرا. فكيف يحدث هذا؟ فقوانين نيوتن الكلاسيكية اللتي تقول بجمع السرعات تفرض ان سرعة الضوء لابد ان تتغير فتزيد او تنقص بسبب حركة مصدر الضوء.

وقد قام كثير من العلماء في نهاية القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين بعمل كثير من المحاولات لحل هذا اللغز. فقام فرسنل بعمل افتراضات رائعة ومعقدة عن طبيعة الاثير و ماذا يحدث عند الحركة بالنسبة للأثير. وقام بتقديم معادلة تعبر عن سرعة الضوء النهائية بالنسبة لماسورة يجري فيها ماء ويحمل هذا الماء موجات ضوئية بداخله. وكانت هذه المعادلة تختلف عن قاعدة جمع السرعات اللتي قال بها نيوتن. وقد قام العالم الفرنسي  فيزو بعمل تجارب و قياسات في غاية الدقة اثبتت صحة معادلة فرسنل.  ومن بعد هذا قام لورنتر  بمجهود هائل وقدم تحويلاته اللتي ادخلت مفاهيم جديدة كالزمن المحلى و انكماش الابعاد عند الحركة بالنسبة للأثير. ولكن بالرغم من كل هذه التفسيرات و المحاولات فأن شئ من القلق وعدم الرضا قد  بقي. وكان التساؤل عن مدى مطابقة هذه المعادلات للواقع االقائم مقلقا ولم تكن هذه المعادلات منطقية تماما.

ثم اتي البرت اينشتاين و تنبه الى ان المشكلة تكمن في قاعدة جمع السرعات التي تبناها نيوتن . فهذه القاعدة لا تراعي نسبية الزمن ولا نسبية المكان. فاذا تخيلنا مثلا ان قطارا طويلا يسير سرعة 100 كم في الساعة و أن هناك لاعب كرة سدد كرة قوية بداخل القطار بسرعة 120 كم في الساعة. فحسب قاعدة نيوتن لجمع السرعات تكون سرعة الكرة النهائية بالنسبة لراصد على الارض تساوي 100كم في الساعة زائد 120 كم في الساعة اي 220 كم في الساعة. اما بالنسبة لاينشتاين فالموضوع يختلف. فالقطار يسير بالنسبة للأرض بسرعة 100 كم في الساعة. اما الكرة فسرعتها بالنسبة للقطار 120 كم في الساعة. لكن مجموعة اسناد مرتبطة بالقطار تختلف عن مجموعة اسناد مرتبطة بالارض لانهما في حالة حركة بالنسبة لبعضهما البعض. وعلى هذا فان 120 كم بالنسبة للقطار لا تبدو ك 120 كم بالنسبة لللارض ولكن اقصر من هذا. كما ان ساعة زمن بالنسبة للقطار لا تساوي ساعة زمن بالنسبة للارض بل اطول من ذلك. اذن فالسرعة النهائية  لا تساوي مجموع السرعتين ولكن اقل من ذلك. وكلما زادت سرعة القطار بالنسبة للأرض كلما قلت السرعة النهائية  عن ناتج مجموع السرعتين.

وفكر اينشتاين ان حل المشاكل المتعلقة بالفيزياء يتطلب ايجاد نظام تحويلات يسمح بتحويل الاحداثيات المكانية و الزمانية المرتبطة بمجموعة اسناد معينة الى  احداثيات اخرى مرتبطة بمجموعة اسناد ثانية تتحرك بسرعة منتظمة وفي خط مستقيم بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولى. وهذه التحويلات هي سر النظرية النسبية الخاصة كما ان تحويلات مشابهة هي لب النظرية النسبية العامة. اذن فماهي الشروط اللتي ينبغي توافرها في هذه التحويلات؟. ان التحويلات ينبغي ان تلبي ببساطة المبدأين اللذين قامت النظرية النسبية الخاصة عليهما. فكما ان سرعة الضوء بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولي  هي 300 الف كيلو متر في الثانية  فاذا قمنا بالتحويلات بالنسبة لمجموعة احداثيات ثانية فينبغي ان تكون النتيجة ايضا 300 الف كيلو متر في الثانية و هذا هو المبدأ الثاني للنظرية النسبية و الخاص بثبات سرعة الضوء. اما بالنسبة للمبدأ الاول فينبغى ان تسري جميع القوانين الفيزيائية بالنسبة لجميع مجموعات الاسناد بعد التحويلات بنفس الصورة و بنفس الهيئة وهذا هو لب مبدأ النسبية.

بوضع كل هذه الاشياء بجوار بعضها استطاع اينشتاين باستخدام رياضيات بسيطة جدا من الحصول على نظام التحويلات الذي كان يبجث عنه. و استطاع عن طريق هذا ان يضع قاعدة جديدة لجمع السرعات غير اللتى قال بها نيوتن. حيث كان نيوتن قد قال انه اذا كان لدينا جسم يتحرك بسرعة v بالنسبة لجسم اخر كالقطار بالنسبة للارض. وتحرك جسم ثالت بسرعة w مثلا بالنسبة للجسم المتحرك كالكرة بالنسبة للقطار فتكون السرعة النهائية f للكرة بالنسبة لللارض تساوي:

f = v + w

اما ما قال به اينشتاين فكان كالاتي

حيث t الزمن بالنسبة لمجموعة الاسناد الثابتة و t1 الزمن بالنسبة لمجموعة الاسناد المتحركة و x هو البعد المكاني بالنسبة لمجموعة الاسناد الثابتة و x1 هو نفس هذا البعد المكاني بعد التحويل لمجموعة الاسناد المتحركة و c هي سرعة الضوء.

كما نلاجظ فان المعادلتين الاولى و الثانية هي نفسها تحويلات لورنتر. ولكن اينشتاين اعاد اكتشاف هذه التحويلات من وجهة نظر جديدة.  اما المعادلة الثالثة واللتي تعبر عن قاعدة جمع السرعات الجديدة فقد وجد اينشتان ان هذه الصورة مكافئة للمعادلة اللتي قال ها فرسنل واثبتها فيزو عن طريق التجربة. لكن الفارق ان اينشتاين قدم رؤية كاملة ومنطقية ومتكاملة عن ماذا يحدث عند الحركة من  خلال النظرية النسبية. بينما فرسنل ولورنتر لم يستطيعوا انفسهم تفسير معادلاتهم لانهم كانوا ينظرون اليها بطريقة كلاسيكية.

يعتبر العالم الفيزيائي الايرلندي فيتزجرالد هو أول من اشار الى ظاهرة انكماش الاطوال عند حركة الاجسام بالنسبة للأثير. و كان هذا الرأي في ذلك الوقت يعتبر غريبا وشاذا ولم يجني فيتزجرالد من وراءه الا السخرية و الاستهزاء. ثم جاء العالم الهولندي لورنتر وتبنى الفكرة نفسها وزاد عليها ووضع معادلاته الشهيرة المعروفة باسم تحويلات لورنتر و اللتي بواستطها نستطيع تحويل احداثيات منسوبة الى مجموعة اسناد معينة الى احداثيات اخرى منسوبة الى مجموعة اسناد اخرى تتحرك في خط مستقيم بسرعة منتظمة بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولي. وكانت هذه التحويلات تخالف تحويلات نيوتن بشكل جذري. و بقى استخدام هذه التحويلات محصورا على ميادين الكهرباء والموجات الكهرومغناطيسية.

ثم اتى البرت اينشتاين بالنظرية النسبية الخاصة و انطلاقا من مبدأين بسيطين  وهما تعميم مبدأ النسبية بالمعني المقيد و ثبات سرعة الضوء في الفراغ استطاع اينشتاين ان يحصل على تحويلات لورنتر مرة اخرى ولكن من وجهة نظر مختلفة.   فعند لورنتر كان الانكماش في الاطوال  قاصرا على ميادين الكهرباء و الموجات الكهرومغناطيسية. اما عند اينشتاين فان انكماش الاطوال كان نتيجة عامة تشمل ميادين الكهرباء و الموجات الكهرومغناطيسية و غيرهما من الميادين. كما ان لورنتر كان قد افترض ان هذا الانكماش يحدث عند الحركة بالنسبة للأثير. بينما اينشتاين كان قد الغي فرضية وجود الاثير اساسا. و النقطة الاهم و اللتي تبين عبقرية اينشتاين ان لورنتر كان يعتقد ان اللتي تنكمش هي الاجسام المتحركة وحدها بينما الاجسام الثابتة تبقى اطوالها ثابتة لا تتغير. بينما اساس النظرية النسبية ان  الحركة اساسا نسبية فلا توجد حركة مطلقة ولا يمكن التمييز بين الحركة في خط مستقيم بسرعة منتظمة و بين الثبات.  فالجسم المتحرك ينكمش بالنسبة للجسم الثابت اما الجسم الثابت فهو يبدو متحركا بالنسبة للجسم الاخر ولذلك يعاني من الانكماش هو الاخر. فالنظرية النسبية الخاصة هي نظرية ديموقراطية تعامل فيها جميع مجموعات الاسناد بنفس الكيفية. وبهذه الطريقة فلا يوجد جسم ثابت و اخر متحرك بل كل الاجسام تعتبر متحركة بالنسبة للأجسام الاخرى.

و المعامل اللذي يتم به الانكماش هو

حيث v السرعة النسبية بين الجسمين و c سرعة انتشار الضوء في الفراغ

و يلاحظ من هذه العلاقة انه اذا كانت v تساوي صفر فان المعامل يكون 1 ويظهر الجسم بطوله كاملا بدون انكماش اما اذا كانت السرعة تساوي سرعة الضوء فيكون المعامل يساوي صفر ويبدو الجسم المتحرك كما لو كان طوله قد اصبح صفرا بالنسبة للجسم الاخر. بينما لو كانت السرعة اعلى من سرعة الضوء فسيكون المعامل رقما تخيليا ولذلك تعتبر سرعة الضوء حاجزا لايمكن للاجسام المتحركة ان تتخطيه.

فاذا تخيلنا ان انا و انت نركب صاروخين متقابلين و نتحرك بالنسبة لبعضنا البعض بسرعة عالية تقارب سرعة الضوء. وفي نفس الوقت نحن نستطيع ان نرى بعضنا البعض من خلف جدران صوريخنا الشفافة. فكيف  سنري بعضنا البعض؟ انا سأراك وقد اصبحت بالنسبي لي مبططا. فطولك وعرضك يبقيان بالنسبة لي ثابتين لانهما متعامدين على اتجاه الحركة ولكني سأرى عمقك وقد انكمش بشكل كبير لانه هو البعد اللذي ينطبق مع اتجاه الحركة! ولكن كيف سوف تراني انت؟ سوف تراني بنفس الطريقة. فانت ايضا ستراني مبططا لنفس السبب. فنحن نرى بعضنا البعض كما لو كنا ننظر الى صورنا المشوهة في هذه المرايا الموجودة في بعض مدن الملاهي لاثارة الضحكات.

تجربة ذهنية اخرى وسؤال اخر: لو تخيلنا ان قطارا طوله 400 متر يدخل محطة للقطارات بسرعة عالية تقارب سرعة الضوء ويمر هذا القطار بجوار رصيف للقطارات طوله ايضا 400 متر بدون ان يتوقف فما اللذي يجب ان ينكمش القطار ام الرصيف؟ الاجابة : انها تتوقف على الراصد نفسه. فلو كان الراصد واقفا على الرصيف فانه سوف يلاحظ ان طول الرصيف 400 متر ولكن القطار هو اللذي ينكمش. و عند عبور القطار بجوار الرصيف سوف يلاحظ  ان الرصيف اطول من القطار فهو يغطيه بالكامل و يزيد عله . اما اذا كان الراصد واقفا فوق ظهر القطار  فسوف يلاحظ ان الرصيف هو اللذي ينكمش وعند مرور القطار بجوار الرصيف سيلاحظ ان الرصيف لا يغطي القطار بالكامل و لكنه ينقص عنه. اما اذا كان الراصد متحركا بالنسبة للأثنين معا كأنه يركب سيارة تتحرك بسرعة ما خلف القطار ولكنها اقل من سرعة القطار نفسها. فهو  سوف يشاهد القطار يندفع بعيدا عنه  ورصيف القطار يندفع نحوه فاذا كانت هاتان السرعتان متساويتين فسوف يشاهد كلا من القطار و الرصيف ينكمشان وسوف يكون لهما في النهاية نفس الطول وسوف يغطي الرصيف القطار تماما!!

وقامت جامعة توبنجن الالمانية بتصميم و صنع جهازا لمحاكاة انكماش الاطوال عند الحركة بسرعة عالية تقارب سرعة الضوء. وهذا الجهاز يفترض ان سرعة انتشار الضوء ليست 300 الف كيلومتر في الثانية ولكنها قد اصبحت 30 كم في الساعة فقط. فهذا الجهاز يوضح كيف سيري راكب للدراجة مدينة توبنجن عند تنزهه بدراجته في هذه المدينة. وهذا الفيديو يوضح ذلك.انكماش الاطوال عند الحركة بالدراجة النسبية

للنظرية النسبية نتائج هامة تتعلق بالكتلة و الابعاد و الزمن. مع ملاحظة ان النتائج المتعلقة بالزمن هي الاكثر اثارة لان الزمن يلعب دورا رئيسيا في حياة البشر. بل هو حياة البشر ذاتها.

لقد تجلت عبقرية اينشتاين حين اثبت عن طريق تجربة ذهنية ان الانية المطلقة لا وجود لها و ترتب على ذلك بالضرورة ان الزمن المطلق تصور خاطئ و أن الزمن نسبي وأنه لا ينساب بنفس الكيفية في جميع ارجاء الكون. ولكن طريقة انسيابه تختلف من مجموعة اسناد لاخري. وهذا هو موضوع اليوم.

فاذا تخيلنا أن انا و انت نركب صاروخين في الفضاء. ثم قمت انا بايقاف صاروخي بينما بقى صاروخك انت متحرك بنفس سرعته. و قد قام كل منا بتركيب ساعة ضوئية في صاروخه لقياس الزمن. و الساعة الضوئية هي ساعة افتراضية تخيلية و هي عبارة عن مرآتين متقابلتين احداهما مركبة في ارضية الصاروخ بينما الاخري مركبة في سقف الصاروخ. وتقوم هاتان المرآتان بعكس شعاع ضوء بينهما بصورة دائمة. وبقياس عدد مرات انعكاس شعاع الضوء يمكن حساب الزمن. فتردد شعاع الضوء بين هاتين المرآتين اشبه بتردد بندول الساعة.

والان نحاول ان نري طريقة عمل هاتين الساعتين من وجهات النظر المختلقة:

شعاع الضوء يبدو رأسيا لراضد بداخل الصاروخ ومائلا لراصد خارجه

اولا ساعتك انت من وجهة نظرك انت: أنت تري شعاع الضوء يتحرك رأسيا بين المرآتين وحيث ان سرعة الضوء ثابتة فان شعاع الضوء يتردد راسيا بين المرآتين في ازمنة متساوية.

ثانيا ساعتك أنت من وجهة نظري انا: من وجهة نظري انا لايتحرك شعاع الضوء في ساعتك رأسيا. لكنه يتحرك في اتجاه مائل وهذا بسبب حركتك بالنسبة لي. اذن عندما تعمل ساعتك تكة واحدة فان شعاع الضوء يقطع مسافة اطول بالنسبة لي وبالتالي يحتاج لزمن اطول. اذن فتكات ساعتك ابطأ من تكات ساعتي. ومن هنا ارى ان ساعتك تؤخر بالنسبة لي.وبمعادلة رياضية بسيطة يمكن حساب هذا التأخير.

حيث v سرعة صاروخك بالنسبة لي

و c سرعة الضوء

و t الزمن اللذي تحتاجه تكة واحدة في ساعتك

t1 هو الزمن اللذي تقيسه انت

وباستخدام نظرية فيثاعورث:

حساب تأخير الزمن

cxt1 =

t1 = x t

ثالثا ساعتي انا من وجهة نظري انا: تماما كالحالة الاولي

رابعا ساعتي انا من وجهة نظرك انت: كالنقطة الثانية تماما  فانا اتحرك بالنسبة لك  و شعاع الضوء في ساعتي يبدو مائلا بالنسبة لك. وبناء على هذا فانت تري تكات ساعتي ابطأ. وبالتالي ساعتي تؤخر بالنسبة لك.

وهنا مرة اخري نلتفت الى نتيجة هامة من نتائج النظرية النسبية. فالنظرية النسبية الخاصة لا تنبه  فقط الى تباطؤ الزمن ولكنها تحتوي على مفاجاءة مثيرة. وهذه المفاجاءة تكمن في ان كل منا يري ساعة الاخر هي التي تؤخر اما ساعتة الشخصية نفسها فهي تعمل بصورة دقيقة. ولم يكن احد قبل اينشتاين يتوقع هذه النتيجة.فاقصى ما كان بامكان الفيزيائيون في هذا الوقت تخيله هوأن  تأخير الزمن يتم في اتجاه واحد وليس في اتجاهين متبادلين كما قالت النظرية النسبية.  ولكن اينشتاين قد ادرك ان هذا التأخير لابد ان يكون متبادل. فأنت تتحرك بالنسبة لي وبالتالي انا اتحرك بالنسبة لك.

شئ اخر يجدر الانتباه اليه وهو  ان هذا التأخير في قياس الزمن يرجع الي خاصية في الزمن نفسه و لا يرجع  الى طريقة عمل الساعة الضوئية العجيبة اللتي استخدمناها في المثال. فلو اننا  استخدمنا ساعات اخرى ذات طريقة عمل اخري فسوف نلاحظ النتيجة نفسها. فلو افترضنا ان بمقدور ساعات ذات طريقة عمل اخري كالساعات الذرية او حتي الساعة البيولوجية ان تعطي الوقت بدون هذا التأخير لتمكنا من استغلال هذا في معرفة اننا نتحرك في خط مستقيم ولتمكننا من تحديد سرعتنا المطلقة في  الكون بناء على هذا الاختلاف في القياسات بين الساعة الضوئية وساعات اخري ذات طريقة عمل مختلفة. لكن هذا يخالف المبدأ الاول للنظرية النسبية الخاصة اللذي يبين استحالة ان يستدل جسم متحرك في خط مستقيم بسرعة منتظمة على حالته من الحركة بقياسات داخلية ذاتية.

ملاحظة هامة اخرى و تجربة ذهنية جديدة: لو تخيلنا ان لدينا ماسورة طويلة طولها 300 الف كيلومتر فان شعاع ضوء منطلق من اسفل يحتاج الى ثانية واحدة

الحركة في الزمكان

حتى يصل الي قمة هذه الماسورة. فلو تخيلنا  الان ان هذه الماسورة تتحرك بنصف سرعة الضوء في الاتجاه الافقي فبعد ثانية واحدة ستكون الماسورة كما في الرسم على بعد مسافة 150 الف كيلومتر من مركز الدائرة وبالنسبة لراصد ثابت عند المركز O فبعد ثانية واحدة سيرى شعاع الضوء عند النقطة   Fلاننا كما نعلم يسري الضوء بالنسبة لاي راصد بنفس السرعة وهي 300 الف كيلومتر في الثانية. وبهذا تعبر ربع الدائرة في الرسم عن اقصي مسافة يمكن ان يصل اليها شعاع الضوء بالنسبة لراصد يقف عند المركز بعد ثانية واحدة. ولكن كما نلاحظ من الرسم فان ارتفاع الماسورة حتى النقطة F يساوي ستة اسباع طول الماسورة. وهذا يعني ان الزمن يبدو و كأنه يتباطأ لراصد يتحرك بنصف سرعة الضوء بمقدار السبع.

وربما نريد الان ان نعرف بأي سرعة ينبغي على جسم التحرك بها حتي يتباطأ الزمن له  بنسبة 50%؟ فاذا عكسنا المحاور سنجد ان جسم يتحرك بستة اسباع سرعة الضوء يبدو و كأن الزمن يتباطأ بالنسبة له بنسبة 50%.

ومن هنا يمكننا ان نستنتج شيئا مهما. فالنظرية النسبية  وحدت الزمان مع المكان و اوجدت مصطلح جديد هو الزمكان. ويمكننا ان نستنتج ان جميع الاجسام و نحن من ضمنها تتحرك في الزمكان بسرعة الضوء. فاذا كان الجسم ثابت في مكانه فانه يكون ثابتا في المكان ولكنه يتحرك بسرعة الضوء في الزمان نفسه. اما اذا كان الجسم متحرك فان جزء من السرعة يذهب في المكان والجزء المتبقي يذهب في الزمان ولذلك يبدو الزمان وكأنه يمضي بصورة ابطأ من حالة جسم ثابت. اما اذا كان الجسم يتحرك بسرعة الضوء نفسها فان السرعة تذهب كلها في المكان و لايتبقى للزمان شئ ولذلك يبدو لنا هذا الجسم وكأن الزمن قد توقف بالنسبة له تماما!

من التصورات الاساسية اللتي قامت عليها ميكانيكا نيوتن ان الزمان مطلق فهو يؤثر في جميع الموجودات ولكنه هو نفسه لا يؤثر فيه شئ. فهو ينساب بنفس الكيفية في كل مكان  و تحت اي ظرف. واذا تخيلنا أن في الكون في مكان ما ساعة مركزية كالساعات الذرية الموجودة في بعض الدول فبالأمكان معايرة جميع الساعات في الكون بالنسبة لهذه الساعة الدقيقة وبهذا يمكن تعيين الزمان المطلق في الكون كله.

ولكن عندما ظهرت النظرية النسبية  أتت برأي مختلف. فالنظرية النسبية قد اسقطت فكرة الآنية و بالتبعية فقد اسقطت فكرة الزمان المطلق.كيف هذا؟

في افلام المغامرات و الاكشن نري كثيرا لقطة شبه كلاسيكية حين يلتقي فريق الابطال وهم يحملون ساعاتهم الفاخرة ثم يقومون جميعهم بظبط ساعاتهم على نفس الوقت. ثم تبدأ مغامرتهم اللتي تنتهي في نهاية الفيلم بتصفيق المشاهدين وايرادات عالية في شباك التذاكر. هنا يظهر سؤالان بسيطان  ولكنهما في نفس الوقت عميقان وبامكانك ان احببت ان تطلق عليهما سخيفان. السؤال الاول ماللذي يضمن ان هذه الساعات الفاخرة اللتي يحملها الابطال بعد تفرقهم كل الى وجهته سوف تظل تعمل بنفس الكيفية؟ ان النظرية النسبية تقول ان هذا غير ممكن! ولكن ليس هذا هو موضوعنا اليوم. موضوعنا اليوم مرتبط بالسؤال الثاني. وهو مرتبط بمعايرة الساعات. هل من الممكن من حيث المبدأ معايرة ساعات مختلفة بحيث تعطي نفس التوقيت؟ النظرية النسبية تقول لا. ان هذا غير ممكن اذا كانت الساعات في اماكن منفصلة وفي مجموعات اسناد ذات سرعات نسبية مختلفة. و الان للتفاصيل.

لو تخيلنا اننا طلبنا من شركة رولكس مثلا ان تصنع لنا مليارات من الساعات الفاخرة وتعطينا الشركة ضمانا ان هذه الساعات تمت صناعتها بنفس الطريقة و انها كلها تسير بنفس الدقة. الان نضع هذه الساعات في اماكن مختلفة في الكون. وفي لحظة ما اقوم بمعايرة تلك الساعات بدلالة الساعة اللتي احملها في يدي حتي تعطي جميع الساعات نفس الوقت في نفس اللحظة او تعطي الزمن المطلق كما كان يتصوره نيوتن. فكيف يمكنني ان اصنع هذه المزامنة؟

المشكلة انه طبقا لنظرية النسبية فانه لا توجد سرعة اعلى من سرعة الضوء. والمعلومات لا يمكن ان تنتقل ابدا بسرعة اعلي من سرعة الضوء. ولكن النظرية النسبية تقول ايضا ان سرعة الضوء ثابتة و تساوي 300 الف كيلو متر في الثانية الواحدة بغض النظر عن اي شئ اخر. فربما استطيع استغلال هذا لخلق التزامن.

فلنقم الان بتجربة ذهنية. تخيل انني احمل ساعة دقيقة في يدي وبواسطة رحلة علمية استطيع ان اضع ساعة مشابهة فوق سطح القمر. ولنفترض ان الساعة الان في يدي تشير الي الثانية عشر مساءا والضوء يحتاج الي ثانية ونصف حتي يقطع المسافة بين الارض والقمر. أجري التجربة كالتالي: ارسل شعاع ليزر الى سطح القمر حيث ينعكس ثم يعود مرة ثانية الى الارض. اذن لابد ان تستغرق رحلة شعاع الليزر 3 ثواني و تشير الساعة وقت عودة الشعاع الي الارض الثانية عشر مساءا وثلاث ثواني. حتى الان لا توجد اي مشكلة. ولكن لتعيير الساعة الموجودة على القمر فلابد ان تعطي الساعة علي سطح القمر من مكاني على الارض الثانية عشر و ثانية ونصف حين تعطي ساعتي الارضية الثانية عشر وثلاث ثواني. لاني على الارض دائما اري صورة القمر او ماضي القمر منذ ثانية ونصف. فتكون في هذه اللحظة الساعتان الموجودتان على القمر و على الارض متزامنتان تماما. فاذا كانت الساعة على القمر تعطي الوقت مثلا الثانية عشر ظهرا و خمسة ثواني فان علي مرة واحدة ان ارجع عقارب الساعة على القمر بثلاث ثواني ونصف  وبهذا اخلق التزامن.

اتمني ان يكون الكلام حتى الان واضح. فحتي هذه اللحظة لا توجد اي مشكلة. فاين المشكلة اذن؟ فلنقم الان بأجراء تجربة ذهنية اخرى بطلاها انا وانت. فدعنا نتخيل ان كلانا يركب صاروخا فضائيا طويل جدا وكلانا يجلس في مؤخرة صاروخه وبجواره ساعة دقيقة. وفي مقدمة كل صاروخ توجد ساعة مشابهة. ونتخيل الان انني توقفت بصاروخي في الفضاء فلا اتحرك بينما يبقى صاروخك على حالته فهو يأتي من خلفي ثم يحاذيني ثم يتخطاني بسرعة هائلة تقارب سرعة الضوء.

الآن ابدأ انا بمعايرة الساعة الموجودة في مقدمة صاروخي بدلالة الساعة الموجودة بجواري في المؤخرة. فأفعل كما في حالة تجربة القمر فارسل شعاعا من الضوء الي مقدمة السفينة حيث ينعكس ثم يعود الي مرة اخرى. فاذا كان الزمن اللازم ثانيتين. وكانت الساعة وقت بداية التجربة الثانية عشرة ظهرا ولحظة عودة الشعاع كانت الثانية عشر وثانيتين. فيجب ان اري الساعة عند مقدمة الصاروخ تعطي في هذه اللحظة الثانية عشر وثانية واحدة. وهنا تكون ساعاتي متزامنة.

و في تمام الساعة الواحدة أراك قد صرت في محاذاتي تماما. فاخبرك بدون تضييع وقت ان الساعة الان الواحدة تماما. ثم تقوم انت بمعايرة ساعتك الموجودة في الامام تماما كما فعلت انا من قبل. فانت ترسل شعاعا من الضوء ينعكس  و يعود اليك في تمام الساعة الواحدة و ثانيتين و ينبغي عليك في نفس اللحظة ان تري الساعة المركبة في مقدمة صاروخك تعطي الوقت الواحدة وثانية واحدة. الان انت تتصل بي و تخبرني انك قمت بعملية المعايرة وساعاتك كلها الان متزامنة. تخيل الان ماذا سوف يكون رد فعلي؟ انا سوف اعترض عليك بشدة لان ساعاتك ليست متزامنة ابدا. لماذا؟ فانت حين ارسلت شعاع الضوء الي مقدمة صاروخك فهو يتحرك  بالنسبة لك بسرعة الضوء. ولكنه يتحرك لي ايضا بسرعة الضوء. وهذا هو نص المبدأ الثاني للنظرية النسبية الخاصة لاينشتاين. لكني في نفس الوقت ارى مقدمة صاروخك  وهي تبتعد باستمرار عن الشعاع الذاهب بينما مؤخرة صاروخك تقترب دوما من الشعاع المنعكس. فمسافة الذهاب من وجهة نظري اطول بكثير من مسافة الاياب. لكن ساعاتك لا تعني بهذا وتعطي نفس الفترة الزمنية لرحلتي الذهاب و الاياب. اذن من وجهة نظري فساعاتك ليست متعايرة او متزامنة.

لكن ماذا سوف يكون الان رد فعلك انت؟ انت سوف تعترض بشدة و ستقول بأن ساعاتي انا هي اللتي ليست متزامنة وهي اللتي تعطي القراءات الخاطئة. لماذا؟ لانني بالنسبة لك اتحرك للخلف. وشعاع الضوء اللذي ارسلته انا لمقدمة صاروخي يتحرك بالنسبة لي ولك بسرعة الضوء وهذا هو المبدأ الثاني للنظرية النسبية الخاصة. ومن وجهة نظرك انت فانت تري مقدمة صاروخي تتحرك باتجاه شعاع الضوء الذاهب بينما تبتعد مؤخرة صاروخي دائما عن الشعاع المنعكس. وتعطي ساعاتي على الرغم من ذلك ازمنة متساوية لفترتي الذهاب و الارتداد. بينما ساعاتك انت تعطي لفترة الذهاب زمن اقل من زمن الارتداد!!

اذن فمسافرين في الفضاء يتحركان بسرعة نسبية بالنسبة لبعضهما البعض لا يستطيعان تعيير الوقت بشكل مطلق. او بتعبير فيزيائي فان مجموعات اسناد تتحرك بالنسبة لبعضها بسرعة نسبية  ثابتة ما في خط مستقيم لايسري الزمان بالنسبة لها بنفس الكيفية.

وهنا رأينا كيف اسقطت النسبية تصور الزمان المطلق لدى نيوتن. كما اننا رأينا ايضا كيف اننا بدون استخدام اي معادلات رياضية نستطيع التوصل الى نتائج هامة. وهذا يعطي ملمح هام لجمال النظرية النسبية.

تعد النظرية النسبية من النظريات الممتعة ذات النتائج الشيقة من النواحي العلمية و الفلسفية و الانسانية. و اليوم نتعرف على احد النتائج المباشرة لنظرية النسبية وهي موقف النسبية من الآنية. اولا ما معني كلمة الآنية؟ كلمة انية تعني ان هناك حدثان يحدثان في نفس الآن او في نفس اللحظة. وتقول النظرية النسبية بأن هذا غير ممكن. والحقيقة ان موضوع الآنية هو موضوع مثير حتى بدون النظرية النسبية.

مثلا عندما اقف في شرفة منزلي و انظر للسماء و ارى نجما يومض وفي نفس اللحظة اسمع صوت ابني من داخل المنزل. فهل من الممكن أن اقول أن النجم قد اومض في نفس اللحظة اللتي تكلم فيها ابني؟ بالطبع لا. لأن  النجم يبعد عني مسافة بعيدة و ما اراه الان ليس النجم نفسه ولكنها صورة لماضي النجم. فمثلا الشمس تبعد عنا ب 8 دقائق ضوئية . اي ما نراه  الآن على انه الشمس ليست الشمس نفسها بل هي صورة الشمس منذ 8 دقائق. اما النجوم فهي ابعد كثيرا من الشمس و اقرب نجم الينا بخلاف الشمس يبعد 10 سنوات ضوئية عنا. و النجم اللذي قد رأيتة قد اومض في المثال السابق ربما يبعد عني بمئات او بملايين السنين الضوئية. بل ربما في هذه اللحظة اللتي ارى فيها النجم قد يكون لا وجود له. فهو قد مات منذ زمن بعيد. ولذلك فمجرد انتباهي لصوت ابني و صورة النجم في نفس اللحظة لا يعني هذا ان الحدثين قد حدثا فعلا في نفس اللحظة.

هذا المثال مثال واضح ولكنه ليس له علاقة بنظرية النسبية وكثيرا ما نقرأ في بعض الكتب العربية اللتي تحاول تقريب نظرية النسبية امثال تشبه هذا المثال ولكنها تتوقف عند هذا الحد و لا تتعرض لما قاله اينشتاين حقيقة . فماذا قال اينشتاين عن الآنية؟

اينشتاين قام بعمل تجربة ذهنية فقال: لو تخيلنا قطارا طويلا جدا ينطلق بسرعة عالية تقارب سرعة الضوء وفي منتصف هذا القطار تماما يوجد الراكب أ . ويمر هذا القطار بهذه السرعة العالية بجوار رصيف للقطارات يقف عليه شخص اخر وهو الراصد ب. اذن  أ هو متحرك مع القطار بينما ب ثابت على الرصيف.  و الآن في نفس اللحظة اللتي يكون فيها الشخصان أ و ب قبالة بعضهما البعض تضرب صاعقة مرآتين عاكستين مثبتتين في مقدمة القطار ومؤخرته في نفس اللحظة. فكيف يرى الراصدان  أ و ب هذه الحادثة؟ نبدأ الان بالراصد  ب الثابت على الرصيف. بالنسبة له تبدو الامور كما يلي:

1 سرعة الضوء  ثابتة و تساوي 300 الف كيلومتر في الثانية الواحدة. وهذا هو المبدأ الثاني للنظرية النسبية الخاصة

2 المسافة بينه وبين المرآتين العاكستين في مقدمة القطار و مؤخرته متساوية. والزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة

3 يرى شعاعين الضوء منعكسين في نفس اللحظة. ومن هذا لابد ان  يستنتج ان البرق قد ضرب المرآتين في نفس اللحظة

4 نحن مازلنا نتابع الموقف من وجهة نظر الراصد ب  اللذي يري الراصد أ يندفع امامه بالقطار في اتجاه الشعاع القادم من مقدمة القطار و يبتعد عن الشعاع المنعكس القادم من الخلف

5 في رأي الراصد ب ان الراصد أ مسكين: فهو بسبب حركته سيرى الشعاع القادم من الامام قبل الشعاع القادم من الخلف ولذلك فسوف يعتقد الراصد أ  بأن البرق قد ضرب مقدمة القطار قبل مؤخرته ولكنه في الحقيقة مخطئ و مضلل بسببب حركته. ففي الحقيقة ان البرق يضرب المرآتين في الامام و الخلف في نفس اللحظة.

الان نحاول ان نتبين نفس الحادثة من وجهة نظر الراصد أ المسافر بالقطار:

1 سرعة الضوء  ثابتة و تساوي 300 الف كيلومتر في الثانية الواحدة. وهذا هو المبدأ الثاني للنسبية

2 المسافة بينه وبين المرآتين العاكستين في مقدمة القطار و مؤخرته متساوية. والزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة

3 يري الراصد أ شعاع الضوء القادم من الامام قبل القادم من الخلف فعلا. ومن هنا لابد ان يستنتج ان البرق بالفعل قد ضرب الامام قبل الخلف

4 الراصد أ يري الراصد ب وهو يندفع بالنسبة له نحو الخلف ولذلك فهو يقترب من الشعاع القادم من الخلف ويبتعد عن الشعاع القادم من الامام

5 في رأي الراصد أ ان الراصد ب مسكين ومضلل. فهو يري الشعاع القادم من الامام متاخرا وسيرى الشعاعان يصلان اليه في نفس اللحظة ولكنه في  الحقيقة مخطئ لان البرق قد ضرب المرآة الامامية قبل الخلفية.

هكذا نفس الواقعة لكن كل يراها من وجة نظر مختلفة. فمن وجهة نظر الركب ب أن البرق يضرب المرآتين في نفس اللحظة اما من وجهة نظر الراصد أ فان البرق يضرب المرآة الامامية اولا!!

فمن منهما على حق؟ ومن منهما المخطئ؟ كانت اجابة اينشتاين كلاهما على حق فالمبدأ الاول للنظرية النسبية الخاصة يقول ان جميع مجموعات الاسناد اللتي تتحرك بالنسبة لبعضها بسرعة منتظمة وفي خظ مستقيم هي متكافئة ومهيئة لرصد الظواهر بنفس الكيفية. اذن الراصدان كلاهما على حق ولكن مفهوم الانية المطلقة هو الخطأ. فالآنية ليست مطلقة بل ما اراه انا متزامن قد يكون بالنسبة لك  غير متزامن اذا كنت تتحرك بالنسبة لي بسرعة ما. وكلانا بالرغم من ذلك على حق.

ومن هنا لا يمكن الزعم ابدا ان حادثين قد حدثا في نفس اللحظة بشكل مطلق. لكن اقصى ما يمكن قوله ان هاتين الحادثتين تبدوان لي و كأنهما متزامنتان او قد حدثتا في نفس اللحظة.

وكان لسقوط فكرة الانية المطلقة تداعيات مهمة. فان القانون الثالث لنيوتن يقول ان لكل فعل رد فعل مساوي له في المقدار ومضاد له في الاتجاه وعلى خط عمل واحد. ورد الفعل هذا هو لحظي او اني مع قوة الفعل نفسها. وقد رأينا سابقا ان هذا غير ممكن . اذن فالقانون الثالث لنيوتن خاطئ!!

فيديو يوضح ان الانية المطلقة لا معنى لها

يقول البرت اينشتاين ان هناك نوعين من النظريات الفيزيائية. النوع الاول وهو النظريات الانشائية و اللتي تقوم على افتراض  افتراضات اولية و بسيطة ثم تقوم باسقاط الواقع القائم على هذه الافتراضات او تركيبه و انشائه منها. مثال لهذه النوعية من النظريات نظريات الديناميكا الحرارية حيث تقوم اولا بطرح صورة مبسطة وهي ان المادة تتكون من جزيئات متحركة. ثم تقوم بتفسير او اسقاط ظاهرة الحرارة على حركة الجزيئات و تقول بان الحرارة ليست الا طاقة حركة جزيئات المادة. اما النوع الثاني من النظريات وهي النظريات القائمة على المبادئ  وقوام هذا النوع من النظريات هو تعميم بعض  المبادئ  الفيزيائية ومن خلال هذا التعميم نستطيع ايجاد علاقات او معادلات رياضية تكون هي نقطة البدء لتفسير حقائق جديدة اخرى. و النظرية النسبية بشقيها الخاصة و العامة تنتمي لهذه النوعية من النظريات.

تقوم النظرية النسبية الخاصة على مبدأين اثنين لا ثالث لهما. المبدأ الاول هو تعميم مبدأ النسبية بالمعنى المقيد لنيوتن. وكان نيوتن قد قال ان قوانين الميكانيكا تنطبق بنفس الكيفية على اي مجموعات اسناد طالما كانت تتحرك بسرعة منتظمة في خط مستقيم . وهذا نلاحظه مثلا عندما نكون مسافرين في رحلة هادئة بالطائرة او بالقطار. حيث ربما تطير الطائرة بسرعة تزيد عن 1000 كم في الساعة لكننا مع هذا  قد لا نلحظ شئ من هذه السرعة الفائقة طالما أننا لم نتعرض لمطبات جوية.  بل نحن  قد نشعر بأن الطائرة ثابته في مكانها و لا تتحرك بتاتا. ومن هنا فان جميع قوانين الميكانيكا تنطبق داخل هذه الطائرة المتحركة كما تنطبق على الارض الثابتة. وقد عمم اينشتاين هذا المبدأ فقال انها ليست قوانين الميكانيكا وحدها اللتي تسري بدون تغيير على مجموعات الاسناد هذه بل أن القوانين الفيزيائية كلها بدون استثناء ينبغي ان تسري ايضا داخل هذه الطائرة كما تسري على الارض الثابتة وبدون ادني تغيير. و الجدير بالذكر ان تحويلات لورنتر قد دعمت هذا المبدأ حيث اوضحت ان قوانين الكهرومغناطيسية تسري ايضا بدون أي تغيير  على مجموعات الاسناد اللتي تتحرك بسرعة منتظمة في خط مستقيم.

اما المبدأ الثاني للنظرية النسبية الخاصة فهو الاقرار بان سرعة الضوء في الفراغ هي قيمة ثابتة بالنسبة لجميع مجموعات الاسناد و لا تتغير ابدا بغض النظر عن حركة او ثبات مصدر الضوء او حركة او ثبات مجموعات الاسناد. وكانت التجارب كلها ومنها تجربة ميكلسون و مورلي قد اكدت هذا المبدأ. وحار العلماء كثيرا في تفسير هذه الظاهرة . لكن اينشتاين لم يعني بأيجاد تفسير لهذه الظاهرة بل قال ان ما يعنيه فقط هو ان هذه حقيقة قائمة و اتخذها المبدأ الثاني لنظريته النسبية الخاصة.

وبهذا تنتهي المبادئ اللتي قامت عليها النظرية النسبية الخاصة. فالنظرية النسبية الخاصة ليست كما يدعي البعض بأنها نظرية معقدة ولا يدري كنها الا عدد محدود من البشر. بل هي نظرية سلسة يدرسها طلاب الفيزياء في  الجامعات بكل يسر وسهولة وبدون اي مشاكل.

والامر اللافت للنظر ان هذين المبدأين بديهيان وواضحان و لا توجد أي مشكلة في تعميم أي منهما على حدة. ولكن عند دمج هذين المبدأين معا نجد اننا امام مشكلة. فاننا لا نستطيع التوفيق بين هذين المبدأين في نفس الوقت. وهنا ظهرت عبقرية اينشتاين حيث اكتشف ان العلة تكمن في قوانين الحركة القائمة انذاك واعاد اكتشاف قوانين ديناميكا الحركة مرة اخرة  وتوصل لأن الزمن ليس مطلقا بل نسبي و متغير وكذلك الابعاد المكانية وكذلك الكتلة. ووضع معادلات رياضية توضح هذه الحقيقة . ومن الاشياء الغريبة ان  هذه المعادلات اللي اوجدها اينشتاين كانت قائمة بالفعل قبله ومنها تحويلات لورنتر  ولكنه اعاد اكتشافها مرة اخرى و من وجهة نظر مختلفة.  كما انه استطاع التوصل الي نتائج جديدة مذهلة. وحتى اننا اذا فكرنا في دمج هذين المبدأين بصورة منطقية وبدون استخدام اي معادلات رياضية  فاننا نستطيع ان نصل الى نتائج مذهلة وهذا هو سر جمال النظرية النسبية.

جورج فيتزجرالد هو عالم ايرلندي حاول ان يفسر فشل محاولات اثبات وجود الاثير فقال ان الأجسام المتحركة لابد و ان تعاني انكماشا في الطول بسبب حركتها . وتكون النتيجة المترتبة على هذا ان سرعة الضوء في الاثير تبدو دائما ثابتة و لا تتغير. اما هذه القيمة او هذا المعامل اللذي يتم به الانكماش فهو يساوي

حيث c سرعة الضوء و v سرعة الجسم المتحرك بالنسبة للأثير.

ويلاحظ ان هذا  الانكماش يكون اكثر وضوحا في حالة السرعات الكبيرة و  اللتي تقارب سرعة الضوء  و في حالة تساوي السرعة اللتي يتحرك بها الجسم مع سرعة الضوء فان طول  الجسم يصبح صفرا. اما في حالة السرعات الاقل فان هذا التأثير لا يكون واضحا. حتى في حالة الكرة الأرضية في دورانها حول الشمس فان السرعة اللتي تدور بها الارض تعتبر متواضعة بالمقارنة بسرعة الضوء ولهذا تعاني الكرة الأرضية انكماشا  مقداره 6 سم فقط. اي اقل من ارتفاع اعواد النجيلة او الحشيش.

وكان فيتزجرالد يعلن عن رأيه هذا في محاضراته اللتي يلقيها في الجامعة. كما انه ارسل مقالة علمية بهذا الخصوص الى المجلة الامريكية العلمية الشهيرة “science” ولكن في الحقيقة فان فيتزجرالد لم يجني بسبب تصوره هذه سوى السخرية حتى من اصدقاؤه و نصحوه بأن يتوقف عن هذه الادعائات المضحكة. وفكر فيتزجرالد في سحب مقالته من المجلة الامريكية اللتي كانت تعاني من مشاكل مادية في هذا الوقت لدرحة ان اصداراتها كانت  قد توقفت بصورة مؤقتة. واعتقد فيتزجرالد ان مقالته لم تنشر و لكن في الواقع فان المجلة  كانت قد نشرت في عددها الأخير مقالة فيتزجرالد قبل ان تتوقف عن الصدور ولم يكن فيتزجرالد يعلم بهذا خصوصا  وأن المجلة تصدر في دولة اخرى تفصلها عن الجزيرة البريطانية محيط ضخم.

وبعد سنوات قليلة يصل العالم الهولندي هندريك انطون لورنتر لنفس النتيجة اللتي كان يقول بها فيتزجرالد واللتي تقول ان الاجسام المتحركة بسرعة عالية تقارب من سرعة الضوء لابد وأن تعاني انكماشا في الطول في اتجاه حركتها. كما أن الزمن ليس شيئأ مطلقا كما كان يقول نيوتن ولكنه ادخل مفهوم الزمن المحلي  واللذي يعتمد على المكان والسرعة اللتي تتم بها الحركة. وقال ان الزمن يعاني ايضا انكماشا في حالة الحركة.

وبأخذ هذه التحويلات في الأعتبار يمكن تفسير لماذا فشل العلماء في تحديد سرعة الارض بالنسبة للأثير كما انه قال انه لا يمكن لجسم  من ان يتخطي سرعة الضوء.

واراد لورنتر ان ينشر اراؤه وكان سمع ان فيتزجرالد قد سبقه لهذه الفكرة فبمنتهى الأمانة العلمية أرسل خطابا الى فيتزجرالد و سأله عما اذا كان فيتزجرالد قد سبقه ونشر بالفعل ام ان لورنتر مازال يستطيع النشر . وكان فيتزجرالد انسانا شريفا  وعالما امينا فأرسل الي لورنتر خطابا يقول فيه انه لم ينشر شيئا وان لورنتر يستطيع النشر أن أحب و اعطاه الضوء الأخضر بذلك. وكما ذكرنا سابقا ان فيتزجرالد نفسه لم يكن يعلم ان مقالته قد تم نشرها بالفعل ونشر لورنتر ابحاثه و اشار بالرغم من هذا الى ان فيتزجرالد ربما يكون اول انسان فكر في انكماش الاجسام المتحركة بل ووضع معادلات تبين ذلك.

وبعد مرور سنوات عديدة تتضح القصة كاملة و يظهر المقال المنشور لفيتزجرالد و اللذي يوضح اسبقيته. و تسمى هذه المعادلات الان تحويلات فيتزجرالد – لورنتر او تحويلات لورنتر فقط كما اقترح الفيزيائي الفرنسي الكبير هنري بوانكاريه لأن لورنتر قد طور في صورة المعادلات بصورة كبيرة ومؤثرة.

ولكن في كل الأحوال توضح هذه القصة القصيرة الاخلاق الحميدة و الأمانة العلمية اللتي يجب ان تكون متوافرة لدي العلماء.

قام العلماء في نهاية القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين باجراء العديد من التجارب و اللتي كان الهدف منها قياس سرعة الارض بالنسبة للأثير. و يمكن تلخيص الفكرة الاساسية لهذه التجارب كالأتي: لو تخيلنا مادة الاثير المفترضة  كمحيط ضخم و الأرض كقارب صغير يمخر عباب هذا المحيط  و نحن نحاول ان نحدد سرعة القارب بالنسبة لهذا المحيط.  ففي حالة محيط و قارب فعليين  يمكننا تحديد سرعة القارب عن طريق حساب السرعة بالنسبة لنقطة ثابتة على الشاطئ مثلا. و بقياس المسافة اللتي يقترب او يبتعد القارب بها عن الشاطئ في وحدة الزمن يمكن حساب سرعة القارب. لكن في حالة الاثير  فلا يوجد شاطئ يمكن الاستناد اليه. بل الحالة هنا اشبه بالأبحار في محيط هائل لا شاطئ له.

فكرة اخرى لكي نخلق نقطة ثابتة فيمكننا ان نلقي بعوامة في الماء لتقوم بدور النقطة الثابتة اللتي تسند المسافات اليها. لكن في حالة الاثير لا يمكننا عمل هذا. فأننا  اذا القينا شئ في الفضاء فانه لن يقف ثابتا ابدا. بل حسب القانون الاول لنيوتن سيبقى متحركا بسرعة منتظمة في خط مستقيم الى ابد الابدين. وهنا فكر العلماء في فكرة اخري وكانت كالأتي اننا سنقوم بالقاء جسمين في الماء امام  وخلف القارب فستنشأ موجتان مائيتان امام القارب وخلفه واذا قسنا سرعة انتشار هذه الموجات بالنسبة لنا فلابد ان يوجد اختلاف لاننا نتحرك بالقارب في اتجاه الموجات القادمة من الامام و نبتعد عن الموجات القادمة من الخلف.

مثال بالارقام: اذا قسنا سرعة الموجات القادمة من الامام فكانت 50 كم في الساعة وقسنا سرعة الموجات القادمة من الخلف فكانت 30 كم في الساعة فتكون السرعة الحقيقية للموجات هي السرعة المتوسطة  و تساوي 50 زائد 30 مقسومة على اثنين فتكون النتيجة 40 كم في الساعة. وتكون سرعة القارب الحقيقية 10 كم في الساعة. ولذلك تبدو الموجات القادمة من الامام وكأنها تتحرك بسرعة 50 كم في الساعة لأن 40 زائد 10 تساوي 50 كم في الساعة و المثل بالنسبة للموجات القادمة من الخلف.

نعود الأن للأثير فكيف يمكننا عمل موجات تشبه موجات الماء في الأثير؟ الأجابة انه الضوء. فالضوء كان ينظر له في هذه الفترة من الزمان على انه موجات او دوامات في طبقة الأثير. والكرة الأرضية في دورانها حول الشمس  اشبه بقارب يبحر  فاذا قسنا سرعة الضوء القادم من الأمام و قارناه بموجات ضوئية اخري قادمة من  الخلف او من اي اتجاه اخر فلابد ان نلاحظ اختلافا في سرعة الضوء

اول من قام بتصميم تجربة لعمل هذا كان العالم الفرنسي فرسنل اللذي حاول استغلال ظاهرة انكسار الضوء لقياس سرعة الارض بالنسبة للأثير. كيف هذا؟ نعلم ان  سبب الانكسار في منشور زجاجي هو اختلاف السرعة اللتي ينتقل بها الضوء في الهواء عنها في الزجاج  فسرعة انتشار الضوء في الزجاج اقل منها في الهواء.

مثال بالارقام: اذا افترضنا سرعة الضوء في الهواء 30  اما سرعة الضوء في الزجاج 20 بنفس الوحدة فيكون معامل الانكسار 30 مقسوم على 20 او 1.5 اما اذا افترضنا ان الارض تتحرك في الفضاء بسرعة 10 في اتجاه شعاع الضوء اذن تكون سرعة الضوء في الهواء 30 زائد 10 تساوي 40  اما سرعة الضوء في الزجاج فتكون 20 زائد 10 تساوي 30 اي يكون معامل الانكسار 40 قسمة 30 او 1.33 وهي قيمة تختلف عن القيمة الاولي . اما اذا كانت الارض تتتحرك مبتعدة عن شعاع الضوء الواصل للمنشور الزجاجي فتكون سرعة الضوء 30 ناقص 10 تساوي  20 اما سرعة الضوء في الزجاج فتكون 20 ناقص 10 فتكون النتيحة النهائية 10 ويكون معامل الانكسار يساوي 20 مقسومة على 10 فتساوي النتيجة النهائية 2 وهي قيمة تختلف تماما عن القيم السابقة, وحاول فرسنل  القيام بهذه التجربة و اثبات وجود اختلاف في معامل الانكسار بناء علي موضع المنشور الزجاجي  في المكان. ولكن فرسنل  لم يستطيع اثبات وجود اي اختلاف في معامل الانكسار تبعا لموضع المنشور الزجاجي في المكان.

وحاول فرسنل تبرير الاخفاق في قياس اي اختلاف في معامل الانكسار بأفتراض ان هناك نوعان من الأثير : اثير موجود في الفراغ حر و أثير اخر  محبوس داخل المنشور الزجاجي وتركيز الأثير المحبوس  اعلي منه في حالة الاثير الحر فتكون دائما قيمة معامل الانكسار ثابتة

لكن هذا اللافتراض كان فيه تكلف واضح خصوصا ان معامل الانكسار يختلف بالنسبة للألوان المختلفة فاللون الاحمر  ينكسر بصورة تختلف عنها في  حالة الضوء الازرق مما دعا فرسنل  الي افتراض ان كمية الاثير المحبوسة في حالة الضوء الاحمر تختلف عنها في حالة الضوء الازرق والتكلف في هذه الافتراضات واضح.

ثم اتي العالم الامريكي ذو الاصل البولندي ميكلسون و قام بتصميم جهاز لتسجيل الاختلاف في سرعة الضوء و لا يعتمد على خاصية انكسار الضوء ولكنه يعتمد على ظاهرة تداخل الضوء. فهو كان يفصل شعاع الضوء  باستخدام مرآة نصف عاكسة و نصف شفافة الى شعاعين يسيران في اتجاهين متعامدين  ثم بعد مسافة متساوية قام بعكس الشعاعين ليلتقيا مرة اخرى ويحدث تداخل بينهما. فاذا كانت سرعة الضوء مختلفة في الاتجاهين المتعامدين نتيجة لحركة الارض فيجب ان تكون نتيجة التداخل في شعاعي الضوء مختلفة عنها لو كانت سرعة الضوء في الاتجاهين الثابتة

تجربة ميكلسون و مورلي

لكن كانت المفاجاءة ان نتيجة التداخل كانت دائما واحدة. وحاول ميكلسون ومورلي ان يبينا من هذا ان طبقة الأثير لا تبقى ثابتة بل ينبغي ان تتحرك مع حركة الأرض. ولكن هذا يتعارض  مع ظاهرة الزيغ الضوئي و اللتي اكتشفها برادلي من قبل. وبقى هذا التخبط قائما حتى اتى اينشتاين بالنظرية النسبية الخاصة وقال ان سرعة الضوء ثابتة بغض النظر عن اي شئ اخر كما ان الاثير لا وجود له.

يعتبر مايكل فاراداي من اعظم علماء الفيزياء التجريبية واللذي كانت لتجاربه الأثر البالغ في تطور الفيزياء. فهو اول من صنع ما يشبه الموتور الكهربائي كما أنه أول من اكتشف ظاهرة الحث الكهرومغناطيسي. وكان اينشتاين يقول ان دور فاراداي ودور ماكسويل في الكهرباء كدوري جاليليو و نيوتن في الميكانيكا. وقصة حياة فاراداي غاية في الامتاع. فهي تعطي دروسا بالغة في ارادة التعلم و الكفاح حتى الوصول الى اعلى المستويات.

ولد مايكل فاراداي في سبتمبر عام 1791 في عائلة فقيرة في احدي المدن الصغيرة القريبة من لندن. وكانت هذه الفترة هي فترة الثورة الفرنسية واللتي كان لها تأثيرا سلبيا على الوضع الاقتصادي العام  في دول اوروبا مما زاد فقر اسرة فراداي سوءا. وتحت هذا الضغط انتقلت العائلة للعيش في لندن. والتحق مايكل بالمدرسة الابتدائية ليتعلم المبادئ اللأساسية للقراءة و الكتابة و الحساب حتى بلغ عمره 12 عاما. ثم اضطر فاراداي لترك المدرسة ليتعلم حرفة ما يتكسب منها قوته. وكان فاراداي يقول عن تلك الفترة  ان امه كانت تخبز له رغيفا من الخبز كان هو غذاؤه لمدة اسبوع كامل.

ثم التحق فارادي بالعمل لدي ريباو وهو مهاجر بروتستانتي هارب من فرنسا وكان يملك مطبعة في لندن. وكان لريباو فضلا ايجابيا على  مستقبل فاراداي.  في البداية عمل فاراداي لمدة عام كامل في توزيع الصحف على زبائن ريباو وبعد عام وقع فاراداي عقدا لمدة 7 سنوات للتمرين لدي ريباو ليتعلم مهنة طباعة الكتب. وتعلم فاراداي الحرفة بسرعة واتقنها ولكن فاراداي كانت له مع هذا خصلة غريبة: فهو كان يقرأ جميع الكتب اللتي تقع تحت يديه قبل طباعتها. فهو قرأ كتب في مبادئ الكيمياء كما قرأ كتب في مبادئ الكهرباء وقرأ كتب في الفنون و الفلسفة كما انه قرأ قصة علي بابا ذات الأصول العربية. وتولد لدى فاراداي عشق للعلوم الطبيعية و كان ريباو يسمح له باجراء التجارب العلمية اللتي استهوته.

وفي اثناء تلك الفترة كان هناك صائغ للذهب يدعي تاتوم وكان يقيم  في منزله محاضرات علمية للحرفيين و للمتمرنين. وشجع ريباو  فاراداي على حضور تلك المحاضرات وقام اخو فاراداي بسداد رسوم الاشتراك لتلك المحاضرات وكانت تبلغ قيمة الاشتراك شلن انجليزي في ذلك الوقت. وشغف فاراداي بتلك المحاضرات وكان يدون تلك المحاضرات ويعمل ملخصات لها بصورة رائعة. وفي أحد الايام يقوم ريباو بعرض تلك الملخصات على احد زبائنه فيعجب بها  و يقوم هذا الزبون باصطحاب فاراداي  الى سلسلة محاضرات كان يلقيها همفري دافيز رئيس المؤسسة الملكية كان الهدف منها تبسيط الكيمياء الكهربائية لغير المتخصصين. فيحضر فاراداي تلك المحاضرات ويقوم بعمل ملخصات ورسومات لتلك المحاضرات. ثم يقوم بطباعة هذه المحاضرات وتجليدها على هيئة كتاب فاخر ويقوم بارسال هذا الكتاب الي دافيز اللذي يعجب بهذا الكتاب وخصوصا انه في تلك الفترة كان قد تعرض لاصابة شديدة في عينه اليسري اثناء اجراءه بعض التجارب الكيميائية. ويستدعي  فاراداي و يعينه كمساعد مختبر صغير في المؤسسة الملكية. وكانت وظيقة فاراداي تنحصر في مساعدة المحاضرين في اعداد محاضراتهم واجراء تجاربهم. ويحصل دافيز على ميدالية من نابليون بونابرت وتتم دعوته للحضور الي باريس وعمل رحلة علمية في اوروبا. ويقبل دافيز الدعوة ويصطحب فاراداي معه في هذه الرحلة كسكرتير ومعاون في اجراء التجارب. وفي هذه الرحلة  رأى فاراداي الكثير من المدن الاوربية ورأي كثير من التجارب و الاكتشافات العلمية. وعندما عاد فاراداي الي لندن مرة اخري كان يقوم بالتجارب العلمية وابتدأ بنشر ملخصاته في المجلات العلمية وقام باجراء تجاربه الخاصة. وكان من اهم كتشافات فاراداي في الكهرباء اكتشاف الموتور الكهربائي و اكتشاف ظاهرة الحث الكهرومغناطيسي.

وترقي فاراداي في المناصب فترقى من مجرد مساعد مختبر صغير الي رئيس المختبر ثم مدير المؤسسة الملكية كلها. واصبح فاراداي بروفيسورا في الكيمياء عام 1828 بعد حصوله على جائرة فوللر.

وكتب فاراداي العديد من الكتب و المقالات ولكن الغريب انك لن تجد في هذه  الاعمال الا القليل جدا من المعادلات الرياضية. وقد يكون هذا الامر طبيعيا لان فاراداي لم يسلك السلك الاكاديمي الطبيعي فهو لم يلتحق ابدا بالمدارس العليا او الجامعات بل كان انسان عصامي علم نفسه بنفسه. وكان يستغني عن المعادلات الرياضية بالرسومات التوضيحية. ومن ابرز الاشياء اللتي فسرها فاراداي بهذه الطريقة كان مفهوم المجال. وقام ماكسويل بعد هذا بوضع كل افكار  وتصورات فاراداي في قالب رياضي محكم. مازال قائما حتى الان.

من المفاهيم الهامة في الفيزياء اليوم مفهوم المجال. ولكن للأسف فان مفهوم المجال ليس مستساغا لدى بعض الدارسين فدعونا نتعرف على مفهوم المجال وما هي قصة المجالان الكهربائي و المغناطيسي بصفة خاصة.

في الرياضيات مفهوم المجال يعني دالة تعتمد قيمتها على المكان. اضرب مثالا: لو تخيلنا فضاءا ما ثنائي الابعاد. طول و عرض اما الارتفاع فهو غير مهم. فلو تخيلنا ان لدينا قطعة ارض موجودة في هذا الفضاء وقسمنا هذه الأرض الي قطع ارض اصغر. ونحن نريد الان ان نبيع قطع الارض الصغيرة فنلاحظ ان لكل قطعة ارض ثمن يختلف عن باقي القطع الاخرى. فهذه قطعة ارض مثلا تقع على شارع فلها سعر اما قطعة ارض اخرى فتقع على شارعين فلها سعر اعلى. وقطعة ارض قد تكون اكثر خصوبة فلها سعر مختلف. وهكذا فان توزيع السعر على المكان هو المجال.

مثال اخر اذا تصورنا فضاء ثلاثي الابعاد كغرفة مثلا وقسنا درجة الحرارة في هذه الغرفة فاننا نجد ان درجات الحرارة ليست واحدة عند كل نقاط الغرفة. قد تكون درجات الحرارة متقاربة ولكنها ليست واحدة. فربما تكون النقاط الاقرب للأرض اقل حرارة منها للتي هي اقرب للسقف.

اذن فالمجال هو دالة ما بدلالة س و ص و ع اللتي هي محاور المكان المختلفة. اما قيم هذه الدالة فقد تكون سعر او حرارة او قوة تؤثر عند النقاط او  اي شئ اخر.

اول من ادخل مفهوم  المجال هو العالم الانجليزي مايكل فاراداي اللذي نظر للظواهر المغناطيسية والكهربائية بشكل مختلف. حيث كان العلماء في هذا الوقت اذا نظروا الى الظاهرة المغناطيسية مثلا فانهم اول ما يهتمون به هو المغناطيس نفسه. لكن فاراداي نظر للأمر بشكل مختلف. فاذا وضعنا قطعة مغناطيس في نقطة ما في المكان فانها تؤثر في المكان كله بغض النظر عن وجود جسم مجذوب ام لا. فالمكان ليس خاويا. فعند كل نقطة في المكان هناك قيمة تعبر عن قوة تأثير المغناطيس على قطعة حديد افتراضية موجودة عند هذه النقطة.

السهم عند كل نقطة يوضح اتجاه الحركة

هنا وضع فاراداي عند كل نقطة في المكان سهم صغير يوضح اتجاه حركة قطعة الحديد عند هذه النقطة. ثم قام فاراداي بتعديل فكرته والتوصيل بين هذه النقاط فحصل على خطوط المجال اللتي بعض صفاتها الاتي:

1 المماس للخط عند نقطة ما يعبر عن اتجاه الحركة عند هذه النقطة.

2 كثافة وتركيزخطوط المجال عند منطقة معينة تعبر عن شدة المجال في هذه المنطقة

3 هذه الخطوط لا تتقاطع لانه اذا تقاطع خطان لانتفت صفة الدالة. لانه اصبح لدينا مماسان عند نقطة واحدة واصبح هناك اتجاهان للحركة وليس اتجاه واحد

4 خطوط المجال تخرج دائما من القطب الشمالي للمغناطيس باتجاه القطب الجنوبي  او من الشحنة الكهربائية الموجبة الى الشحنة الكهربائية السالبة في حالة الكهرباء

اتجاه المماس يوضح اتجاه الحركة

وكان تفكير فاراداي ثوريا. فهو قد عكس السؤال وفعل كما فعل جاليليو من قبل حيث كان السابقون لجاليليو يتسألون عن سبب حركة جسم ما وكأن السكون هو الشئ الطبيعي والحركة هي الشئ الغير طبيعي وكانوا يتسألون لماذا لا يتوقف جسم متحرك؟ ولكن جاليليو عكس السؤال وقال لماذا يتوقف جسم متحرك؟  ان الحركة شئ طبيعي كما السكون تماما. والطبيعي الا يغير جسم حالته. فاذا توقف جسم متحرك عن الحركة فهنا فقط يجب السؤال عن السبب وعن اي قوة اثرت على الجسم المتحرك فغيرت حالته. وما هو سبب التوقف. هكذا كان الحال مع فاراداي فقد كان العلماء قبله يعنون بدراسة المغناطيس او الشحنات الكهربائية نفسها ولكن فاراداي قال ان الاهم هو المجال اما سبب هذا المجال فهو غير مهم. فالعبرة بوجود هذا المجال وشكله لانه هو صاحب التأثير النهائي على الموجودات في المكان.

وبدا الامر في البداية ان تصور المجال تصور ساذج وانه ليس اكثر من مجرد وسيلة مساعدة وليس حقيقة قائمة في حد ذاتها. حتى اتي العالم الاسكتلندي ماكسويل اللذي ترجم هذه الصور المتخيلة من فاراداي الى معادلات رياضية دقيقة. وهذه المعادلات هي اللتي تستخدم حتى اليوم. وبناء على تصور المجال نشأت نظريات علمية كبرى كالنظرية النسبية العامة ونظرية الكم واصبح مفهوم المجال من المفاهيم الاساسية اللتي لا غني عنها.

الظواهر الكربائية والمغناطيسية تعد من الظواهر الطبيعية الهامة و اللتي تشكل تطبيقاتها دورا هاما في حياتنا المعاصرة. كما انه قد ادي تطور البحث العلمي في هذين الميدانين الى تطور العلوم عموما. وكانت الظواهر المغناطيسية معروفة من ايام الاغريق. فقد لاحظ اليونانيون القدماء احجار المغناطيس وكيف انها تجذب معدن الحديد. كما ان الكهرباء الاستاتيكية كانت معروفة من ايام تاليس. وكان تاليس يشرح انه عند حك   حجر الكهرمان بقطعة من الفراء فانه تتولد شحنات كهربائية على الفراء وحجر الكهرمان.

و بقت المعرفة محصورة عند هذا الحد لقرون طويلة حتي القرن الثالث عشر الميلادي. وفي العصور الوسطي في اوربا كان صنع الشرارات الكهربائية جزءا اساسيا من الفقرات الكوميدية اللتي يقدمها المهرجون في قصور الملوك والنبلاء. ومع تطور البحث العلمي ظهر ان هناك كثير من الامور المتشابهة بين الظاهرتين.

فالمغناطيس له قطب شمالي وقطب جنوبي. و القطب الشمالي يجذب القطب الجنوبي و العكس صحيح. اما الاقطاب المتشابهة فهي تتنافر. كما ان قوة الجذب تتناقص عكسيا مع ازدياد المسافة و تحديدا فان القوة تتناسب عكسيا مع مربع المسافة.

اما الكهرباء فهناك شحنات موجبة و اخري سالبة. والشحنات الموجبة تجذب السالبة  والعكس صحيح. كما ان الشحنات المتشابهة تتنافر. كما ان قوة التجاذب تقل مع ازدياد المسافة وتحديدا تتناسب القوة عكسيا مع مربع المسافة.

وبالرغم من هذا التشابه الملفت في الصفات فقد بقت القوتان كقوتين منفصلتين وفشلت محاولات التقريب بينهما. فالمغناطيس لا يستطيع ان يجذب اي شحنات سالبة كانت ام موجبة. كما ان شحنة كهربائية ما لا تستطيع ان تجعل ابرة البوصلة ان تنحرف. ولكن من ناحية اخري كانت توجد هناك مؤشرات تشير الي ان القوتين مرتبطتان مع بعضهما البعض بشكل اقوي مما هوكان معروف وقتها. فان شرارة البرق الكهربائية تستطيع ان تجعل ابرة البوصلة أن تنحرف. كما ان شرارة البرق احيانا تستطيع ان تحول قطعة حديد عادية الى مغناطيس.

تجربة اورستيد. ابرة البوصلة تنحرف بزاوية قدرها 90 درجة عن اتجاه مرور التيار

ثم كانت الانفراجة الهامة عام 1820 ميلادي على يد الفيزيائي الدانماركي هانز كريستيان اورستيد اللذي استطاع ان يثبت ان للشحنات الكهربائية تأثيرات مغناطيسية ولكن في حالة توافر شرط هام وهي ان تكون الشحنات الكهربائية متحركة. فان تيار كهربائي يمر في سلك يستطيع ان يجعل ابرة البوصلة ان تنحرف ولكن الشحنات الساكنة لا تستطيع عمل هذا. اذن فالحركة كانت هي العنصر المفقود.

وكان اكتشاف  اورستيد عجيبا و أتي بصورة تختلف عما توقعه الناس. فكانت ابرة البوصلة او المغناطيس لا تتجه نحو السلك الكهربائي كما توقع الناس ولكنها تنحرف بزاوية 90 درجة بعيدة عنها. واذا عكسنا اتجاه مرور التيار لكهربائي في السلك انعكس اتجاه انحراف ابرة البوصلة.

وقد شجع هذا الاكتشاف العالم الفرنسي اندريه امبير اللذي يلقب بانه نيوتن الكهرباء و اللذي استطاع في خلال ثلات سنوات من وضع المعادلات و الاطر النظرية اللتي  تنظم و توضح الظواهر الكهربائية المعروفة في هذا الوقت على غرار قوانين نيوتن.

وكان من المتوقع انه كما للتيار الكهربائي تأثيرات مغناطيسية فلابد ان تكون للقوي المغناطيسية ايضا تأثيرات كهربائية. ولكن بقي هذا الامر معلقا حتى  عام 1831 حين استطاع العالم الانجليزي الكبير مايكل فاراداي من اكتشاف خاصية الحث الكهرومغناطيسي . اذن فللمجالات المغناطيسية المتغيرة تأثيرات كهربائية. اذن فالحركة هنا ايضا لابد ان تكون موجودة.

للموجات الكهرومغناطيسية استخدامات عديدة و هي تعتبر من سمات عصرنا الحديث. فاجهزة التليفزيون و الراديو والتليفونات المحمولة تعتمد كلها على الموجات الكهرومغناطيسية.

و الموجات الكهرومغناطيسية كما هو الاسم عبارة عن موجات تنتشر بسرعة الضوء واللتي تبلغ 300 الف كيلومتر في الثانية الواحدة تقريبا ولكن هذه الموجات ليست موجات ميكانيكية كالصوت ولكنها نوع اخر من الموجات. فالموجات الميكانيكية تعتمد على الصفات الميكانيكية لوسط ما من اجل ان تنتشر. فما هي الصفات الميكانيكية؟ الميكانيكا هي علم الحركة والقوي. ولذلك فالموجات الميكانيكية تعتمد في انتشارها على حركة مكونات او جزيئات وسط الانتشار  كما تعتمد ايضا على القوى اللتي يمكن ان يتم نقلها في خلال هذا الوسط. وهناك نوعات اساسيان من القوي: قوي الضغط و قوي القص. ونعلم مثلا ان الهواء  يتحمل قوي الضغط لذلك نشعر بالمقاومة عند نفخ اطار  دراجة او شئ مشابه. لكن الهواء لا يستطيع ان يتحمل قوي القص. ولهذا فان الصوت عبارة عن موجات طولية تعتمد على ضغط وتخلخل الهواء. بينما لا يستطيع الهواء نقل الموجات العرضية اللتي تشترط القدرة على نقل قوي القص.

نعود للموجات الكهرومغناطيسية  فهي لا تحتاج للخواص الميكانيكية لوسط ما من اجل الانتشار. فعند انتشار الضوء في الماء او الهواء فلا تتحرك او تهتز جزيئات الماء او الهواء بأي صورة من الصور. اذن ما اللذي يتغير بالظبط عند الموجات الكهرومغناطيسية؟ وما هو وسط الانتشار؟ الموجات الكهرومغناطيسية لا تحتاج لوسط مادي للأنتشار. بل على العكس قد يكون هذا الوسط عائقا لانتشار الموجات فيمتصها او يعكسها. والسؤال عن وسط انتشار الموجات الكهرومغناطيسية يتطلب الاجابة على سؤال مالذي يهتز بالظبط عند الموجات الكهرومغناطيسية. فمفهوم موجة يعني ان هناك حالتين يتم التأرجح بينهما. فمثلا موجات الماء تتأرجح بين حالتين: هما القمم و القيعان, وفي حالة الصوت نجد ان الحالتين هما التضاغط والتخلخل داخل الهواء؟فما هما الحالتان في حالة الموجات الكهرممغناطيسية؟

الموجات الكهرومغناطيسية عبارة عن مجال كهربائي او مغناطيسي متغير. هذا المجال يولد مجال اخر متغير مخالف له في النوع. اي اذا كان المجال مغناطيسي فهو يولد مجال كهربائي. واذا كان المجال كهربائي فهو يولد مجال مغناطيسي وتستمر هذه العملية الى مالا نهاية. كما انك اذا القيت حجرا في المحيط لانتشرت الموجة المائية حول الكرة الارضية. والمجال الكهربائي او المغناطيسي او اي مجال اخر هو خاصية من خواص المكان. فالوسط اللازم لانتشار الموجات الكهرومغناطيسية هو المكان نفسه!

فما هي اذن اعضاء عائلة الموجات الكهرومغناطيسية ؟ قبل الاجابة على هذا السؤال تجدر الاشارة الى  ان الموجات الكهرومغناطيسية كأي موجة يتم توصيفها باستخدام التردد وهو عدد الاهتزازات الكاملة في الثانية الواحدة او الطول الموجي وهو طول اهتزازة كاملة. والتردد والطول الموجي هما صفتان متعاكستان. فاذا كان الطول الموجي كيبرا كان التردد صغيرا واذا كان الطول الموجي صغيرا كان التردد كبيرا. وهناك ايضا شئ جدير بالذكر وهو انه كلما كان التردد قليلا والطول الموجي كيبرا كلما كانت طاقة هذه الاهتزازة صغيرة والعكس صحيح.

فلنتعرف الان على عناصر هذه العائلة من العناصر الاقل طاقة الي العناصر الاعلى طاقة:

اطياف الموجات الكهرومغناطيسية

1 موجات الراديو و هي اقل الموجات ترددا فترددها اقل من 300 ميجا هيرتز اما طولها الموجي فيتراوج بين   1 متر و حتي اطول بكثير من 100 كيلومتر وهذه الموجات من قصيرة ومتوسطة وطويلة  هي اللتي تستخدم في ميادين الراديو و التليفزيون

2 موجات الميكروويف ترددها يتراوح بين 300ميجا هيرتز و 300 جيجا هيرتز اما طولها الموجي فيتراوح  بين 1 ميللي متر و وواحد متر وهي تستخدم في  التسخين باستخدام افران سريعة التسخين الميكروويف

3 الاشعة تحت الحمراء ترددها يتراوح بين 300 جيجا و 400 تيرا هيرتز اما طولها الموجي يتراوح بين 1مم و 780 نانو متر . وتستخدم في مناظير الرؤية الليلية

4 الضوء المنظور وهو الجزء من الموجات الكهرومغناطيسية واللذي تشعر به العين البشرية وحسب الطاقة الموجودة في هذه  الموجات تقرق العين بين اللون الاحمر وهو اقل الالوان ترددا وطاقة واللون الازرق وهو اعلى الالوان  ترددا و طاقة مرورا بما بينهما من كافة الالوان الاخري ويبلغ الطول الموجي للضوء المنظور من 400 الي 780 نانومتر فقط. اي انه حيز ضيق جدا من الموجات الكهرومغناطيسية. اما تردده يتراوح بين 400 و800 تيرا هيرتز

5 الموجات فوق البنفسجية وترددها يتراوح بين 800 تيرا هيرتز و 300 بيتا هيرتز اما طولها الموجي فيتراوح بين 400 نانومتر و 1 نانومتر . وهذه الموجات ذات طاقة عالية وهي مضرة للخلايا البشرية وتستخدم هذه الموجات في عمليات التعقيم وقتل البكتريا

6 اشعة اكس وهي اشعة ذات تردد وطاقة عاليتان تخترقان الخلايا البشرية و لا توقفها الا العظام  او الاجزاء الصلبة في الجسم ولذلك تستخدم هذه الموجات في عمل صور الاشعة. ولا يوصي بالتعرض لهذه الموجات الا للضرورة الطبية القصوي وترددها يتراوح بين 300 بيتا هيرتز و 300 اكسا هيرتز. اما طولها الموجي فيتراوح بين 1 نانومتر و 1 بيكومتر

7 اشعة جاما وهي اعلى الموجات طاقة وتردد واصغرها طول موجي وهي اشعة قاتلة لللانسان تخرج في التفاعلات و التفحيرات النووية ومن بعض المواد المشعة. وتردد اشعة جاما اعلي من 1 اكسا هيرتز اما طولها الموجي فاقل من 1 بيكومتر

عند استماعنا لبعض محطات الراديو العربية تقارع اذاننا احيانا عبارات مثل “تابعوا برامجنا عبر موجات الاثير”. وانا اتعجب احيانا كيف يمكن ان يترجم الانسان مثل هذه العبارات للغة الانجليزية مثلا او اي لغة اوربية اخرى. فمثل هذه العبارات قد بطل استخدامها  بسبب سقوط فكرة الاثير. وهذا امر يثير الاستغراب الاليم  كيف ان امر بطل استعماله في العالم منذ 70 عاما على الاقل لتبيان خطأه مازلنا نحن نصر على استعماله كاننا منفصلين عن العالم الاكبر اللذي نحن جزء منه. فموضوع اليوم هو الاثير فدعونا نتعرف على الاثير و ما هي قصته.

البداية كانت من الضوء. الظواهر الضوئية المختلفة كلها  كالانعكاس والانكسار و التداخل و الحيود هي كلها خواص للموجات.  لهذا كان من المنطقي ان تنتصر فكرة ان الضوء عبارة عن موجة. وهنا ظهر السؤال: اذا كان الضوء كما هو الصوت عبارة عن موجات فما هو الوسط اللذي تنتشر فيه هذه الموجات. فموجات الماء مثلا تنتشر في وسط هو الماء. وموجات الصوت تحتاج لوسط تنتشر فيه وهو الهواء. فاذا لم يتوافر هذا الوسط لايمكن للموجة الانتشار. مثلا على سطح القمر حيث لا يجد غلاف جوي فلا يوجد صوت. ورائدا فضاء على سطح القمر بدون جهاز لاسلكي لا يمكنهما التحدث مع بعضهما البعض حتى ان وقف احدهم بقبالة الاخر. ولكن في حالة الضوء فشعاع الشمس يصل الينا  بالرغم من انه يعبر اماكن في الكون فارغة تماما! فكيف ينتقل الضوء اذن؟ وما هو الوسط اللازم لانتشار الموجات الضوئية؟ هنا افترض العلماء ان هناك وسط يملأ الكون وهذا الوسط غير منظور ووظيفته الاساسية نقل الضوء من نقطة لاخرى واطلقوا عليه اسم الاثير. دعونا الان ان نقوم بدور مخبرين التحري ونضع الحقائق بجوار بعضها حتى نحاول ان نستخلص ما هي صفات الاثير.

نعلم ان الضوءعبارة عن موجات عرضية تنتشر بسرعة رهيبة تقارب 300 الف كيلومتر في  الثانية الواحدة. ونعلم ايضا ان الموجات العرضية لا تنتشر في الموائع كالسوائل والغازات ولكنها تنتشر فقط في المواد الصلبة ونعلم هذا من الزلازل والهزات الارضية حيث لا تستطيع الموجات العرضية عبور الطبقات السائلة في الكرة الارضية. اذن الاثير ينبغي ان يكون مادة صلبة  مرنة وذات معامل مرونة عالية وتملأ كل جنبات الكون. نحن هنا اذن امام موقف غريب. فالأثير الان اشبه بمحيط ضخم  من مادة صلبة والكرة الارضية في دورانها حول الشمس اشبه بقارب صغير يعبر خلال هذا المحيط ولكننا مع هذا لانشعر بتأثير هذه المادة على حركة الارض وقوانين نيوتن للحركة تطبق كما هي ولانجد اي أختلاف بين المحسوب وبين المقاس وكأن وجود هذه المادة ليس له تأثير على حركة الارض.

ونعلم ايضا من برادلي الفلكي الانجليزي اللذي حسب سرعة الضوء ان الضوء اللذي يصل الينا من النجوم يعاني من الزيغ الضوئي بسبب ان سرعة الارض مطروحة من  سرعة الضوء تعطي السرعة النسبية اللتي يتحرك بها الضوء بالنسبة للأرض. فمن هذا نستتج ان طبقة الاثير لا تتحرك مع الارض. لانه اذا كانت الارض في حركتها تسحب الاثير الملاصق لها معها اذن لاختفي هذا الزيغ الضوئي لعدم وجود سرعة نسبية بين الارض والاثير.اذن فالاثير مادة ثابتة لاتتحرك تملأ الكون وتتخلل جميع الاجسام.

من ناحية اخري كان البحث في الظواهر الكهربائية والمغناطيسية يتطور وتنبأ ماكسويل بوجود الموجات الكهرمغناطيسية اللتي استطاع هيرتز ان يثبت ان وجودها فيما بعد. و قال ماكسويل ان الضوء ينتمي الى عائلة الموجات الكهرومغناطيسية الاكبر وان الاثير لا ينقل الضوء فقط ولكنه ينقل الموجات الكهرومغناطيسية كلها. قال ماكسويل انه يمكننا اثبات وجود الاثير بحساب الاختلاف اللذي يجب ان يكون موجود في سرعة الضوء الواصل لللارض تبعا لحركة الارض بالنسبة للأثير. فألارض خلال دورانها حول الشمس تغيراتجاه سرعتها كل يوم. وعند رصد هذا الاختلاف يستطيع الانسان ان يحسب سرعة الارض بالنسبة للأثير. وحيث ان الاثير ثابت ويملأ الكون كله فاصبح الاثير مكافئا للمكان المطلق اللذي قال به نيوتن. وحساب سرعة الأرض بالنبسة للأثير يعني حساب سرعة الارض المطلقة في المكان المطلق.

وهنا قام العلماء بتصميم عشرات الافكار واجراء العديد من التجارب الهدف منها رصد الاختلاف في سرعة الضوء وحساب سرعة الارض بالنسبة للأثير وبالتالي حساب سرعة الارض المطلقة واثبات وجود الاثير. ولكن كل هذه التجارب قد باءت بالفشل وحار العلماء في امرهم. وكانوا في كل مرة يفشلون فيها في اثبات وجود الاثير يتكلفون في ايجاد صفات جديدة لللاثير مع الامل في انه في التجربة القادمة سيتم اثبات وجود الاثير. وتسأل الفيزيائي الفرنسي الكبير هنري بوانكاريه ما هي النهاية؟

وهنا يظهر اينشتاين على الساحة وتظهر النظرية النسبية الخاصة  واللتي من ابرز ماقالته انه ليس هناك سبيل لاثبات السرعة المطلقة لاي جسم متحرك. بل انه لا سبيل اساسا لتبيان الفارق بين حالتي السكون والحركة بسرعة منتظمة في خط مستقيم  مهما قمنا بتجارب و عمل قياسات و حسابات. كما قالت النظرية ان سرعة الضوء ثابتة لا تتغير. اذن فلا يمكن اثبات وجود الاثير وهذه هي النتائج المباشرة لنظرية النسبية.

في القانون الجنائي نسمع عبارة أن المتهم برئ حتي تثبت ادانته. اما في الفيزياء فالامر هو العكس تماما فالمتهم مذنب حتى تظهر برائته. هكذا هو الحال في النظريات العلمية فهي يجب  ان تثبت صحتها بنفسها حتي يمكن القول بانها صحيحة ومجرد عدم وجود تناقضات فيها لا يعني بانها صحيحة. وحيث انه لا سبيل لاثبات وجود الاثير فقد سقطت الفكرة تماما ولم يعد ينادي احد بها. اللهم الا بعض المذيعين في قنوات الراديو العربية.

يشاهد حارس الشاطئ احد الاشخاص وهو يغرق فيهرع لانقاذه كما بالرسم. فاي مسار ينبغي ان يأخذه حارس الشاطئ حتى يصل للغريق في اقل وقت ممكن؟

ما هو المسار اللذي يؤدي الي اقل زمن؟

1 المسار المستقيم

2 احد المسارين فوق المسار المستقيم

3 احد المسارين اسفل المسار المستقيم

حاول ان تجد الحل بنفسك قبل ان تقرأ الاجابة اسفل

………………………………………………………

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

الاجابة الصحيحة هي الثانية. فالهدف هنا  هو الوصول للغريق في اقل وقت ممكن. واقل وقت لايعني بالضرورة اقل مسافة. لماذا؟ لآن الانسان يعدو بسرعة اكبر من تلك اللتي يسبح بها. ولذلك فان اقصر زمن يحصل عليه الانسان عندما يعدو الحارس اطول مسافة ممكنة على الارض حتي يصير قبالة الغريق وهنا ينزل الحارس للماء ويحاول ان يسبح باتجاه الغريق. في هذه الحالة يكون الزمن الاجمالي اقل ما يمكن.

وانكسار الضوء يتم بهذه الكيفية. فشعاع الضوء يحاول دائما الوصول من النقطة أ الى النقطة ب في اقل زمن ممكن. فاذا كانت النقطتان أ و ب تقعان في نفس الوسط: مثلا ماء او هواء حيث سرعة الضوء واحدة فهنا يأخذ الشعاع خطا مستقيما لان الخط المستقيم هو اقصر مسافة بين نقطتين.

اما اذا كانت النقطة أ موجودة مثلا في الهواء والنقطة ب موجودة في الماء. ومن المعلوم ان سرعة الضوء في االماء اقل منها في الهواء فهنا يكون اقل زمن ممكن عندما يسري الشعاع اطول مسافة ممكنة في الهواء واقل مسافة ممكنة في الماء. او بتعبير اخر تكون الزاوية الساقطة في الهواء بين الشعاع الساقط والعمودي على السطح الفاصل بين الماء والهواء اكبر من الزاوية الخارجة في الماء بين الشعاع الخارج والعمودي على هذا السطح.

اي ان الزاوية في الوسط اللذي تكون فيه سرعة الضوء قليلة تكون صغيرة بحيث يكون الشعاع في هذا الوسط اقرب للعمودي على السطح القاصل.

يتصرف الضوء ايام الاثنين و الاربعاء و الجمعة كأنه مادة بينما يتصرف ايام الثلاثاء و الخميس و السبت وكأنه موجة. هذه العبارة لوليام براج الحاصل على جائزة نوبل في الفيزياء عام  1915 تعبر عن حالة التخبط اللتي كانت تسود بين العلماء بشأن طبيعة الضوء: اهو مادة ام موجة؟

اول من بحث  في ماهية الضوء كان نيوتن اللذي قال ان الضوء عبارة عن سيل من الجسيمات المادية الدقيقة و استطاع ان يفسر كل الظواهر الضوئية المعروفة وقتها بناء على هذا التصور. فالضوء ينعكس عند اصطدامه باسطح عاكسة كما ترتد كرة مطاطية مرنة عند ارتطامها بحائط. و لاحظ ايضا انه في حالة اصطدام كرة مرنة مطاطية بحائط تكون زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس. وفسر نيوتن ظاهرة انكسار الضوء كالاتي: عند مرور الضوء بين وسطين مختلفين كالهواء و الماء مثلا يكون الضوء معرضا لقوي جذب الوسطين. فعندما يكون شعاع الضوء في الهواء يكون معرضا لقوي جذب جزيئات الهواء وعندما يكون في الماء يكون معرضا لجذب جزيئات الماء. وحيث ان الماء اثقل من الهواء فيكون جذب جزيئات الماء لجسيمات الضوء اقوي منه في حالة جذب جزيئات الهواء وبهذا تكون سرعة الضوء في الماء اعلى منها في الهواء. ولهذا يعاني الضوء من الانكسار عند مروره من الهواء للماء.

وفي نفس الفترة الزمانية اللتي عاش فيها نيوتن كان العالم الهولندي هيجنز موجودا واللذي كان له رأي مخالف حول طبيعة الضوء. فالضوء كان بالنسبة له كما الصوت عبارة عن موجة. فالضوء ينعكس كما تنعكس موجات الصوت. وظاهرة صدي الصوت هي خير دليل على ذلك. وينكسر الضوء كما تنكسر الموجات. وفي حالة المرور بين الماء والهواء تكون سرعة الضوء في الماء اقل منها في الهواء ولهذا يتم الانكسار.

اذن كان المعيار الحاسم بين الرأيين هو سرعة الضوء في الماء. هل هو اقل في الماء منه في الهواء وفي هذه الحالة يكون الضوء عبارة عن موجة او العكس فيكون الضوء عبارة عن جسيمات مادية. ولم تكن التقنية في ذلك الزمان تسمح بقياس سرعة الضوء في الماء. فامن الفيزيائيون في هذا الوقت بما قاله نيوتن لان القائل هو العظيم نيوتن.

في بداية القرن التاسع عشر ظهر الطبييب والفيريائي وعالم المصريات توماس يونج اللذي قال ان هيجنز على حق وان نيوتن هو المخطئ. واستدل على هذا بظاهرة التداخل و اللتي لا تفسير لها الا بكون الضوء عبارة عن موجة. فما هي ظاهرة التداخل؟

يقول المثل الشعبي المصري زيادة النور نورين. ولكن في الفيزياء هذا ليس صحيحا بالضرورة. فقد يكون عندك ضوء ولكن عندما تضيف له ضوءا اخر فتكون النتيجة هي الظلام! كيف هذا؟ ان الموجات حسب ماهو معروف تتكون من قمم و قيعان. فاذا تقابلت موجتان بحيث تطابقت القمم مع القمم والقيعان مع القيعان حصلنا على موجة اكبر ذات قمم اعلى و قيعان اعمق. اما اذا تقابلت الموجتان بحيث تقابلت قمة الموجة الاولي مع قاع الموجة الثانية والعكس صحيح  للاشت الموجتان بعضهما البعض ونشأ عن هذا ظلام. ولكن اكتشاف يونج قوبل باستخفاف واستمر هذا الوضع لمدة 25 سنة اخري حتى اتي الفرنسي فرسنل واللذي استطاع قياس سرعة الضوء في الماء وانه اقل منه في الهواء.

اذن الضوء عبارة عن موجة وسقطت نظرية نيوتن. ولكن ظهرت مشكلة اخري فعند مرور الضوء في ورق شفاف ذو صفات استقطابية فان الضوء يمر. فاذا وضعنا ورقة اخري مشابهة فوق الورقة الاولي فان الضوء لايزال  يمر و لاتوجد اي مشكلة. ولكن اذا ادرنا احدي الورقتين بزاوية مقدارها 90 درجة فان الضوء لن يمر. وحار الفيزيائيون في تفسير هذا. وبعد فترة  توصل فرسنل الى ان الضوء ليس كالصوت تماما. فموجات الصوت موجات طولية بينما موجات الضوء موجات عرضية. ولذلك فان مرت موجات الضوء من احدي الورقتين المستقطبتين فانها تمر في اتجاه معين. فاذا وضعنا الان ورقة جديدة في اتجاه مخالف. فان الموجات المارة من الورقة الاولي لن تستطيع المرور من الورقة الثانية

وكان العلماء سعيدون بهذا الوضع فقد استطاعوا تفسير كل الظواهر الضوئية باستثناء بعض الاشياء اللتي كانت تبدو  بسيطة وليست ذات شأن كبير. ولكن هذه الاشياء استعصت على التفسير. حتي اتي اينشتاين واتي بافكار جديدة كانت مفاجئة للجميع.  فعند سقوط اشعة ذات لون ازرق على اسطح معدنية غير مؤكسدة فان الكترونات تنبعث من هذه الاسطح. بينما الضوء الاحمر لا يستطيع عمل هذا مهما زدنا من تركيز الاشعاع الاحمر. وكان تفسير اينشتاين ان الضوء يتكون من جسيمات مادية دقيقة تسمي الفوتونات. وفوتونات الضوء الازرق ذات طاقة اعلي من فوتونات الضوء الاحمر ولذلك تستطيع فوتونات الضوء الازرق تحرير الالكترونات بينما لا تستطيع فوتونات اللون الاحمرعمل ذلك.

وقد حصل اينشتاين على جائزة نوبل على هذا الاكتشاف ولم يحصل على جائزة نوبل بسبب نظرية النسبية و اللتي لم يكن هناك اجماع بشأنها في هذه الفترة. وكان اينشتاين يتعجب من هذا ويقول كيف انه حصل على جائزة نوبل من اجل شئ تافه بينما الشئ العظيم اللذي استغرق منه مجهودا كبيرا لم يحصل بسببه على الجائزة. وهذه الظاهرة تفسر لماذا ان المذنبات عندما تقترب من الشمس يكون ذنبها متجها دائما بعيدا عن الشمس. فالذنب يتكون من اجسام دقيقة غبارية تؤثر عليها قوتان: قوة جذب الشمس وهي تجذبها نحو الشمس وقوة صدم الفوتونات و هي تبعدها عن الشمس. وفي حالة الاجسام الدقيقة تكون قوة صدم الفوتونات هي الاكبر ولذلك يتجه الذنب بعيدا عن الشمس.

لكن اكتشاف اينشتانين هذا زاد حالة البلبلة. هل الضوء مادة ام موجة؟ هنا ظهرت نظرية الكوانتم على الساحة و اللتي تقول ان للضوء طبيعة مزدوجة فهم يتصرف كموجة في الفراغ اما اذا اصطدم بجسم ما فانه يتصرف كجسيم مادي.

يتحرك الضوء بسرعة مهولة. فهو يقطع في الثانية الواحدة 300 الف كيلومتر.اي انه في اقل من ثانية ونصف يقطع المسافة بين الارض والقمر. و بسبب هذه السرعة الهائلة كان القدماء يظنون بأن سرعة الضوء لانهائية وبأن الضوء لا يحتاج الي اي زمن حتى يقطع مسافة ما.

وكان اول من حاول ان يقيس سرعة الضوء عن طريق التجربة هو الايطالي جاليليو. حيث اجري تجربة بمعاونة اثنين من المساعدين اوقفهما على هضبتين تبعدان كيلومتر عن بعضهما البعض. وكان كل مساعد منهما يحمل في يده مصباحا يغطيه بيده. وعند اعطاء اشارة البدء من جاليليو يقوم المساعد الاول برفع يده عن المصباح. وبمجرد ما ان يلمح المساعد الثاني نور المصباح الاول يقوم برفع يده هو الاخر حتي يرى المساعد الاول النور. وبقياس الزمن المنصرم بين رفع المساعد الاول ليده  حتى رؤيته للضوء وبمراعاة المسافة بين المساعدين يستطيع جاليليو حساب سرعة الضوء. وطبعا قبل ان يجري جاليليو هذه التجربة كان قد قاس سرعة حركة يدي المساعدين وسرعة رد فعلهما حيث ان المساعدين قد تدربوا كثيرا امام بعضهما البعض اولا.  ووجد جاليليو ان الزمن المنقضي يساوي فقط زمن رد الفعل عند المساعدين. اي ان الزمن اللذي احتاجه الضوء حتى يقطع مسافة 2 كيلومتر يساوي صفر. ولكن جاليليو لم يكن متسرعا في اتخاذ قراره. فهو اوصى بأعادة التجربة في مسافة اطول 2 كيلومتر ثم 3 كيلومتر ثم 9 كيلومتر فان ظل الزمن اللازم صفرا فهنا فقط يمكن الزعم بأن سرعة الضوء لانهائية.

المحاولة الثانية لقياس سرعة الضوء كان بطلها الدنماركي رومر عام 1670 ميلادي اللذي لفت نظره ان احد اقمار المشتري وهو القمر ايو يتأخر موعد خسوفه عن الموعد المحسوب له ب 22 دقيقة. ولاحظ ايضا ان التأخير يتلازم عندما تكون الارض موجودة في مدارها عند ابعد نقطة عن المشتري. وهنا فكر ان السبب ربما يكون في ان الضوء في هذه الحالة يحتاج الى قطع مسافة اطول فاذا كانت سرعة الضوء محدودة و ليست لا نهائية فان هذا يعني زمن اطول. وحيث ان قطر مدار الارض حول الشمس يساوي 300 مليون كيلومتر وحيث ان سرعة الضوء تساوي 300 الف كيلومتر في الثانية فهذا يعني ان الضوء يحتاج 1000 ثانية او 17 دقيقة لقطع هذه المسافة الاضافية. ولكن رومر ارتكب خطأ في القياس وقاس 22 دقيقة بدلا من 17 دقيقة. ولذلك حسب سرعة الضوء ب 200 الف كيلومتر في الثانية. الا ان احدا لم يكترث لاهمية اكتشاف رومر هذا لمدة 50 عاما حتى اتي الانجليزي برادلي عام 1728.

حركة الارض في مدارها ومحدودية سرعة الضوء هما سبب التأخر في ملاحظة خسوف ايو

وحسب برادلي سرعة الضوء ب300 الف كيلومتر في الثانية. وذلك باستخدام ظاهرة تدعي aberration او زيغ الضوء. فما هي قصة برادلي؟ كان الفلكيون يعتقدون ان النجوم الثابتة لا تغير مواضعها بتاتا حتى لاحظ الفلكي الفرنسي بيكارد ان النجوم الثابتة ليست ثابتة تماما فهي تقوم بحركة اهتزازية ضئيلة جدا اشبه بمدار بيضاوي على شكل القطع الناقص في العام. وكان من المنطقي ان يظن برادلي ان هذه الحركة ليست بسبب حركة خاصة بالنجوم ولكنه بسبب دوران الارض نفسها حول الشمس. ولكنه فكر لو كانت سرعة الضوء لا نهائية لما لاحظ احد هذا اللانحراف. لماذا؟ لو تخيلنا مثلا ان السماء تمطر وان المطر ينزل علينا بشكل رأسي من السماء. فلكي نحمي انفسنا من المطر يحب ان نوجه مظلة نحملها في يدنا في اتجاه رأسي تماما كما هو اتجاه سقوط المطر. لكن اذا تخيلنا الان ان المطر مازال يسقط بشكل رأسي ولكننا في نفس الوقت نعدو للامام ففي هذه الحالة نشعر و كأن المطر لا يسقط من فوق تماما ولكنه يأتي مائلا من الامام. ونحتاج في هذه الحالة الى حمل المظلة بشكل مائل للامام حتى نقي انفسنا من المطر. فبطرح سرعتنا من سرعة سقوط المطر نحصل على السرعة النسبية اللتي يسقط بها المطر بالنسبة لنا. وهكذا الحال بالنسبة للنجوم الثابتة. فالضوء الصادر من النجوم الثابتة هو كالمطر الساقط من السماء والتلسكوب اللذي نستخدمه في رؤية النجوم الثابتة هو اشبه بالمظلة و حركة الارض حول الشمس تكافئ عدونا في المثال. اذن حتي نشاهد النجوم الثابتة بأفضل صورة يجب توجيه التلسكوب كما المظلة بصورة مائلة حتى يقع الضوء الصادر من النجوم الثابتة في داخل التلسكوب تماما. وحيث ان الارض تغير مسار حركتها كل يوم لآن الارض تدور حول الشمس في مدار بيضاوي على هيئة قطع ناقص فيجب ان نغير كل يوم موضع التلسكوب حتى نحصل على افضل رؤية للنجوم ولهذا تبدو النجوم وكانها تقوم بعمل دورة كاملة علي هيئة قطع ناقص في العام.

زيغ الضوء سببه محدودية سرعة الضوء

وفي عام 1849 استطاع الفرنسي فيزو Fizeau من قياس سرعة الضوء كما في حالة جاليلو باستخدام تجارب فوق سطح الارض. ثم استطاع الفرنسي فوكولت Foucault عام 1862 من تطوير جهاز فيزو وتصغير حجمه بحيث من الممكن وضعه في المعمل.

ثم في النهاية في عاما 1887 استطاع الاميركيان ميكلسون و مورلي من اختراع جهاز غاية في الدقة لقياس سرعة الضوء. و قاس هذا الجهاز القيمة اللتي نعرفها الان. كما ان هذه التجربة اثبتت ان سرعة الضوء لا تتأثر باتجاه  حركة الارض حول الشمس. وكانت هذه ملاحظة هامة جدا وكان من نتائج هذه الملاحظة ظهور النظرية النسبية لاينشتاين. وقد حصل ميكلسون و مورلي على جائزة نوبل في الفيزياء عام 1907

يكاد يكون الضوء هو الظاهرة الطبيعية الاكثر الفة بالنسبة لنا. فكل الناس اللذين يتمتعون بنعمة البصر يتعرفون على الضوء منذ اللحظات الاولى لميلادهم وتبقي هذه المعرفة قائمة حتى اللحظات الاخيرة لهم في الدنيا. والضوء مع هذا قد فجر ثورات علمية كبري في تاريخنا واسقط نظريات علمية عريقة من على عروشها. كما انه على بساطته الا انه غاية في التعقيد و لا يدري الانسان ما هو كنهه تماما. حتى ان وليام براج الحاصل على جائزة نوبل في الفيزياء عام 1915 قال ان الضوء يتصرف ايام الاثنين و الاربعاء والجمعة كانه جسيم مادي ويتصرف ايام الثلاثاء والخميس و السبت و كانه موجة. وهذه المقولة تعبر عن مدي اليأس و تخبط العلماء في معرفة ماهو كنه الضوء بالظبط. فما هي قصة الضوء في تاريخنا العلمي؟

لا يكاد يكون بمقدور الانسان ان يعطي تاريخ محدد متى كانت بداية اهتمام الانسان بالضوء. لانه ومن البديهي ان الانسان التفت الي الضوء منذ بداية ظهور الانسان على سطح الكرة الارضية. ونعلم عن اهتمام المصريين القدماء بالضوء. وكيف ان تمثال رمسيس الثاني في ابوسمبل تم بناءه بحيث تتعامد اشعة الشمس على وجه التمثال في يوم 21 فبراير و هو يوم ميلاده كما انها تتعامد على وجهه في يوم 21 اكتوبر وهو يوم جلوسه على العرش. ويكون تعامد اشعة الشمس لفترة لا تقل عن 20 دقيقة.

ونعلم ايضا ان الاغريق اهتموا بالساعات الشمسية . وهناك اسطورة بان ارشميدس أحرق السفن الرومانية المعادية في عرض البحر بتسليط اشعة الشمس عليها بفعل مرايا كرية عاكسة عملاقة مركبة عند الشاطئ.  وكانت  لارسطو مباحث كثيرة في الضوء وكان من ارائه انما النظر يكون لان اشعة الضوء تخرج من عين الناظر حتى تصل للجسم المرأي و بواسطة هذا الشعاع تتم رؤية الاشياء. وبقي هذا التصور حتي اتي ابو على الحسن  ابن الهيثم من الف عام تقريبا. وهو عالم موسوعي عارض ارسطو في ارائه وقال ان الرؤية انما تكون الا  لان الاجسام هي اللتي تعكس الضوء بداخل عيون الناظرين. والعين لا يخرج منها اي اشعاع. كما ان ابن الهيثم قام بتشريح العين للتعرف على كيفية الابصار وكانت له مباحثه في الانعكاس من الاسطح الكروية ويعد هو اول انسان صمم الكاميرا. وتأثر به جاليليو وهو في الحقيقة صاحب مقولة ان الاجسام المتحركة تبقي على حالتها من الحركة حتي تؤثر عليها قوة خارجية تغير من حالتها. وتكريما لشأن ابن الهيثم تم اطلاق اسمه على فوهة موجوده فوق سطح القمر.

وهناك قصة غريبة قد لا تكون معرفة لدي البعض. فابن الهيثم عاش معظم حياته في القاهرة وهو اول من فكر في بناء السد العالي في  اسوان لتنظيم المياه و التحكم في الفيضان. وعرض فكرته على الخليفة الفاطمي في هذا الوقت الحاكم بامر الله اللذي وافق على فكرته اعطاه جميع الصلاحيات لتنفيذ مشروعه. ولكنه ساعة التنفيذ ادرك  صعوبة التنفيذ وخاف من بطش الحاكم بأمر الله فادعى الجنون حتى مات الخليفة وأمن انتقامه.

ثم اتي نيوتن وحاول ان يفسر ماهو الضوء وحاول استغلال نجاح نظريته في الميكانيكا في الضوء وقال ان الضوء عبارة عن سيل من  الجسيمات المادية الدقيقة اللتي تنطبق عليها قوانينه. وفي نفس هذا الوقت تقريبا كان العالم الهولندي هيجنز يقول ان الضوء ليس جسيمات مادية دقيقة ولكنه كما هو الصوت عبارة عن موجات. ولكن طالما ان اسم نيوتن قد وضع في كفة قضية ما فان كفتها تكون هي الراجحة. واستمر هذا الوضع قرابة قرن من الزمان حتي اتي يونج وقال ان تصور الضوء كموجة هو الاصح وان هناك ظواهر لايمكن تفسيرها الا باعتبار الضوء موجة. وهنا تمت الاطاحة بنظرية نيوتن في الضوء و تم اعتماد النظرية الموجية لهيجنز

ثم اتي اينشتاين وقال ان الضوء يتصرف وكانه مرة اخر جسيم مادي وليس كموجة وهناك ظواهر لا يمكن تفسيرها الا بذلك. وحصل على جائزة نوبل لهذا الطرح. وكانت هذه القترة هي  فترة الاضطراب اللتي قال فيها وليام براج كلمته المذكورة في البداية. وفجر اينشتاين ثورة عظمي حين قال ان سرعة الضوء دائما ثابتة بغض النظر عن اي شئ اخر وكانت هذه لحظة ميلاد النظرية النسبية واسقط ميكانيكا نيوتن عن عرشها. ثم بسبب هذه الطبيعة المزدوجة للضوء انه يتصرف كجسيم مادي وموجة في نفس الوقت كانت بداية نظرية الكوانتم الشهيرة.

بالرغم من هذا فان الضوء يبقى مصدرا للاهتمام وربما يكون في المستقبل المنظور مرة اخرى مسئولا عن اسقاط نظرية عن عرشها وظهور نظرية جديدة عوضا عنها.