من اسخف العبارات المنتشرة حول النظرية النسبية: ان هناك 10 اشخاص في العالم فقط هم اللذين يفهمون النظرية النسبية. وهذه المقولة في الحقيقة من نسج الخيال. واذا وضعنا في الاعتبار ان النظرية النسبية عمرها اكثر من  100 عام  لوجدنا ان هذا التهويل في امر النظرية النسبية يكاد يقترب من درجة العار. فمن الاقرب ان نعمل على ادخال النظرية النسبية الى متحف التاريخ لا على ان ننظر اليها على انها من اعجوبات المستقبل.

وعموما يجب ان نفرق بين فهم النظريات العلمية ويين  تطبيقها. ففي فواقع الامر ان فهم معظم النظريات العلمية امر سهل و متيسر لكل ذي رغبة في المعرفة. ولكن تطبيق النظريات العلمية هو الذي قد يكون امرا صعبا احيانا لانه قد يتطلب مهارات رياضية معينة لا يتحصل عليها المرء الا بالدراسة في الجامعات المتخصصة. و الحقيقة ان فهم النظريات العلمية هو كمشاهدة مباريات كرة القدم. فكثير  من الناس يشاهدون مباريات الكرة و يستمتعون بها و يفهمونها بشكل رائع وممتاز ولكنهم انفسهم  لا يستطيعون ممارسة كرة القدم لان مهارات اللعبة او اللياقة البدنية او ماشابه ذلك  لايتوافر لديهم. ومن هنا نري ان فهم العلوم امر يسير ولكن التطبيق العملى وحل المعادلات الرياضية هو الأمر الصعب احيانا . وكذلك هو الحال في حالة النظرية النسبية الخاصة. ففهم النظرية النسبية ليس عسيرا. ولكن المفاجاءة تكمن في ان المهارات الرياضية المطلوبة لاستتنباط هذه النظرية بسيطة جدا وعكس ما يروج له المهولون. ففي الحقيقة فان تلميذ بالصف الاول الثانوي او الصف العاشر يستطيع استنباط قوانين النظرية النسبية بدون اي مشاكل

واليكم البرهان. فهذه المرة سوف نستنبط تحويلات لورنتر  من مبادئ النظرية النسبية الخاصة رياضيا كما شرحها اينشتاين وسوف تجدون ان استنباط المعادلات امر يسير و يسير جدا. ولكني اعتذر لمن لا يحبون الرياضيات ان وجدوا المدونة هذه المرة جافة نوعا ما. و الان نبدأ رحلة البرهان.

لنفترض ان لدينا محموعة احداثيات أ ونحن ننتمي لمجموعة  الاحداثيات هذه. كما انه هناك مجموعة احداثيات اخرى ب تتحرك بسرعة منتظمة v في خط مستقيم بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولى وفي اتجاه موازي للمحور x .و الان نتخيل اننا نقف عند نقطة تقاطع المحاور O ونلاحظ مجموعة الاحداثيات ب و هي تمر من امامنا. وعندما نري نقطة تقاطع المحاور لمجموعة الاحداثيات الثانية O1 وهي تمر امامنا  تماما نطلق شعاع ضوء موازي للمحور x وفي الاتجاه الموجب له. الآن ينبغى على كلتا مجموعتى الاسناد ان ترصد الضوء بنفس السرعة c وهذا هو المبدأ الثاني للنظرية النسبية والخاص بثبات سرعة الضوء.

المبدأ الثاني للنظرية النسبية الخاصة و الخاص بثبات سرعة الضوء

اذن بالنسبة لنا فشعاع الضوء يسير بالسرعة c فاذن

x = ct
x – ct = 0   ……..1

بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الثانية ينبغى ايضا ان يكون

x1 – ct1 = 0……… 2

وكما لاحظتم  فاننا نستخدم x و t بالنسبة للمجموعة أ و نستخدم x1 و t1 بالنسبة للمجموعة ب

من المعادلتين 1 و 2 نحصل على

x1 – ct1 = L(x – ct) ……..  3

حيث L متغير جديد مع مراعاة ان ضرب 0 مع أي قيمة كانت الا المالانهاية يعطي صفرا ايضا

ونكرر العملية مرة اخري باستخدام شعاع ضوء موازي للمحور x ولكنه يتحرك في الاتجاه السالب له

x1 + ct1 = M (x  + ct)……………   4

والان لكي نبقى معادلاتنا فصيرة ندخل متغيرين جديدين

a = (L + M)/2 , b = (L – M)/2

ثم مرة نجمع المعادلتين 3 و 4  ومرة نطرح المعادلة 3 من 4 فنحصل على

x1 = ax – bct ………….  5a
ct1 = act – bx …………. 5b

رصد نقطة تقاطع المحاور O1 من مجموعة الاحداثيات الاولى

بتتبع تغير احداثيات نقطة تقاطع المحاور O1 بالنسبة للزمن بالنسبة لنا في مجموعة الاحداثيات الاولى نستطيع ان نحصل على السرعة اللتى تتحرك بها مجموعة الاحداثيات الثانية بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولى. وكما هو منطقى فان احداثيات النقطة O1 بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الثانية x1 دائما صفر لانها هي نقطة البداية و لاتتغير بالنسبة لنفسها.  اذن بوضع x1 يساوي صفر في المعادلة  5a

0 = ax – bct
ax = bct
x/t = bc/a
v = bc/a
v/c = b/a ………………………… 6

رصد قضيب طوله 1 متر موجود فى مجموعة الاحداثيات الثانية من مجموعة الاحداثيات الاولى

والان نستغل شيئا اخر. اذا تخيلنا ان لدينا قضيبا طوله 1 متر موضوع في مجموعة الاحداثيات الثانية بحيث تقع نهايتاه عند النقطتين صفر وواحد. ونريد الان ان نحسب طول القضيب بالنسبة لمجموعة الاسناد أ. و يمكننا عمل ذلك اذا حولنا احداثيات نقطتى نهايتي القضيب بالنسبة لمجموعة الاحداثيات الاولى  ثم نحسب الفارق في هذه الاحداثيات عند لحظة معينة.و لسهولة الحسابات فلنحسب هذا  الفارق اذن عند اللحظة t تساوي صفر. بالتعويض في المعادلة 5a بأن t تساوي صفر نحصل على

x1 = ax

x1 = 0 –> x=0
x1 = 1 –> x = 1/a

أذن لحساب طول القضيب بالنسبة لمجموعة الاسناد أ  فعلينا حساب الفارق في الاحداثيات

I/a – 0 = 1/a ……….7a

رصد قضيب طوله 1 متر موجود فى مجموعة الاحداثيات الاولى من مجموعة الاحداثيات الثانية

بالمثل يمكننا ان نتخيل ان قضيبا طوله 1 متر موضوع في مجموعة الاسناد أ و نريد حساب طوله بالنسبة لمجموعة الاسناد ب عند اللحظة t1 تساوي صفر. اذن من المعادلة  5b وبما ان t1 يساوي صفر

act = bx

ct = bx/a

بالتعويض في المعادلة 5a

[latex]x1 = ax – (b^2x)/a[/latex]

[latex]x1 = ax(1 – b^2/a^2)[/latex]

من المعادلة 6

[latex] x1 = ax(1-v^2/c^2)[/latex]

x =0 و x =1 نحصل

x1 = 0

[latex] x1 = a(1-v^2/c^2)[/latex]

لحساب طول القضيب بالنسبة لمجموعة الاحداثيات ب فنحسب الفارق في الاحداثيات مرة اخرى او

a(I-v^2/c^2)……..7b

مبدأ النسبية الاول

من مبدأ النسببة الاول واللذي ينص على تكافؤ مجموعات الاسناد من حيث رصد و التجارب الفيزيائية ينبغى ان يبدو طول القضيبين في الحالتين السابقتين متساويا

[latex] 1/a = a(1-v^2/c^2)[/latex]

[latex]a^2 = 1/(1-v^2/c^2)[/latex]

بأخذ الجذر التربيعي

 [latex]a = 1/\sqrt{1 -v^2/c^2}[/latex]

حل المعادلات

من هنا نبدأ فى عمليات رياضية محضة. من المعادلة 6

  [latex]b = (v/c).(1/\sqrt{1 -v^2/c^2})[/latex]

باستغلال المعادلة

5a

[latex] x1 = (x – vt) / (\sqrt{1 -v^2/c^2}) [/latex]

من 5b نحصل على:

[latex] t1 = (t – x . v/c^2) / (\sqrt{1 -v^2/c^2})[/latex]

انتهينا من البرهان. هذا كان كل شئ. وبامكانكم كتمرين استنباط قاعدة جمع السرعات!!