نصل اليوم الى النصف الاعلى من المسابقة  ونتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز الخامس وهي نظرية تتعلق مرة  اخرى بالثابت ط  وقد تعرفنا منذ عدة ايام على نظرية المركز الثامن و اللتى تقول ان الثابت ط عدد متسامي. اما نظرية اليوم فتقول ان سدس مربع قيمة ط يمكن التعبير عنه في صورة متسلسلة لانهائية هي عبارة عن ناتج جمع مقلوب مربع واحد زائد مقلوب مربع 2 زائد مقلوب مربع 3 وهكذا. وقد توصل لهذا القانون السويسرى ليونهارد اويلر اللذي عاش في الفترة بين 1707 حتى 1783 .

ثابت ط طبقا لاويلر

وكما علمنا من نظرية المركز الثامن بان ط هوعدد متسامي وبالتالى فهو عدد غير نسبى.  وبالتالى نعلم ايضا ان عدد الارقام بعد الفاصلة العشرية هو عدد لا نهائى  و انه لا يوجد نمط معين يتكرر بداخل هذه الارقام والا كان ط عدد دوري وليس عدد غير نسبي. ويتسابق الرياضيون اليوم فيما بينهم من اجل تحديد اكبر عدد ممكن من الارقام بعد العلامة العشرية. وتاريخيا نجد ان عملية تحديد قيمة الثابت ط مرت بمراحل عديدة نشير الي بعضها فيما يلى:

1 قبل 4 الاف سنة افترض البابليون القيمة 1/8 3 ل ط بينما افترض المصريون القدماء القيمة 256/81  أو  3.1605

2 في القرن الثالث قبل الميلاد توصل ارشميدس عن طريق انشاء شكل منتظم متعدد الاضلاع عدد اضلاعه 96 ان قيمة ط تنحصر بين 10/71 3   و 1/7 3

3 تمكن غياث الدين الكاشى عام 1436 من تحديد 16 رقما من ط بعد الفاصلة العشرية

4 في عام 1593 توصف فيته  François Viète  لصيغة ل ط تتكون من عدد لانهائى من الحدود مضروبة في بعضها

5 في الفترة ما بين القرن السادس عشر و التاسع عشر حاول الكثيرون من اهم الاسماء في ميدان الرياضيات تعيين قيمة ط بدقة اعلى ومن ضمن هذه الاسماء نيوتن وهيجنز ولايبنز واويلر واخرون

اما في عصرنا اليوم وبعد تقدم الحاسبات الالكترونية فقد تمكن اليابانيون عام 1997 من تحديد 51 مليار رقم بعد العلامة العشرية.  وفي عام 2010 وصل هذا الرقم الى 2.7 تريليون رقم بعد العلامة العشرية. وبعدها بفترة وجيزة تم تحطيم هذا الرقم ليكون 5 تريليون رقم بعد العلامة العشرية. وبما ان اجهزة الكمبيوتر تتطور يوما بعد يوم فلاشك في ان الارقام القياسية سوف تواصل انهيارها الواحدة بعد الاخرى. ويدخل الرياضيون والمبرمجون فيما بينهم سباقا محموما لتعيين اكبر عدد ممكن من هذه الارقام. وهذا السباق يمكن تشبيهه بسباق التسلح بين الولايات المتحدة الامريكية و الاتحاد السوفيتى السابق ايام الحرب الباردة. وفيما يلى قيمة ط بدلالة 1000 رقم منها بعد العلامة العشرية:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

ولكن هنا قد يظهر سؤال حول ما هيى الفائدة الفيزيائية لتعيين اعداد اكترمن الثابت ط. فقد توصل عالمان كنديان الى ان 39 رقما بعد العلامة العشرية كافية لحساب محيط كوننا المعلوم بنسبة خطأ لا تزيد عن قطر ذرة هيدروجين واحدة!! كما ان 62 رقم بعد العلامة كافية ليكون الخطأ اقل من طول بلانك!!

وقد يود البعض ولو حتى  من دافع الفضول من ان يعرفوا كيف يتمكن الرياضيون يوما بعد يوم من زيادة رصيدهم من ارقام الثابت ط. وقانون اليوم هو احد الاجابات الممكنة لهذا السؤال فهو يوضح كيف يتمكن الانسان عن طريق متسلسلة لانهائية من ان يحدد قيمة الثابت ط. فصحيح ان الانسان او الحاسوب لن يستطيع ان ينجز كل تلك الخطوات اللانهائية ولكنه على كل الاحوال كلما انجز خطوة جديدة منها كلما اقترب من تحديد قيمة الثابت ط.

ولادراك جمال نظرية اليوم نستدعى في ذاكرتنا ماقاله الفيزيائى والرياضي بنروز فقد قال ان جمال الرياضيات يكمن في بساطتها وخصوصا عندما لايتوقع احد هذه البساطة. وقانون اليوم هو خير تمثيل لهذه المقولة. فكما نعرف ان الثابت ط هو عدد غير نسبى وتأتى الارقام بعد الفاصلة العشرية بصورة عشوائية. بل يتوقع الرياضيون ان الثابت ط يحتوي على اي رقم في العالم يمكن تخيله. وهناك العديد من المقارنات تمت بين ارقام الثابت ط بعد الفاصلة وبين الارقام الناتجة من محركات توليد الارقام العشوائية لمعرفة هل الثابت ط اكثر عشوائية ام ان هذه المحركات هي الاكثر عشوائية. والجمال في قانون اليوم انه وسط هذه اللخبطة ومن رحم هذه الفوضى يولد لنا نظاما بديعا. فهذه الفوضى العجيبة في ارقام الثابت ط يحصل عليها الانسان عندما يجمع مقلوب مربع واحد زائد مقلوب مربع 2 زائد مقلوب مربع ثلاثة وهكذا. فيحصل الانسان في النهاية على مربع قيمة ط مقسومة على 6. انه فعلا اختراق ساحر للفوضى وللعشوائية.

وقد يرغب البعض في التعرف الى الطريقة اللتى تم بها برهنة هذا القانون. وهناك في الحقيقة اكثر من برهان لهذا القانون ولكنها تعتمد في معظمها على طريقة تكوين المتسلسلات لتايلور اللذي استطاع بطريقة بديعة ايجاد طريقة من شأنها تحويل الدوال رياضية الى شكل متسلسلة. وباستخدام الدوال الهندسية نعلم التالي:
tan(PI/4) =1
ومنها
tan-1(1) =PI/4
ونعلم ايضا من متسلسلات تايلور ان:
tan-1(x) = x -x^3/3 + x^5/5 -x^7/7 + … etc
اذن بالتعويض في x بواحد ومما سبق نحصل على:
PI/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -1/7 + … etc

وهذا ليس قانون اليوم ولكنه شبيه له اما قانون اليوم فقد برهنه الفرنسى لوفيك William J. LeVeque عام 1956 .