المركز السادس: قانون النقطة الثابتة

نتعرف اليوم على النظرية اللتى احتلت المركز السادس وهي نظرية تنتمى للمواضيع المتقدمة واللتى غالبا لا تدرس الا في الجامعات وبداخل التخصصات الرياضية فقط. وبالرغم من عدم شيوع صيت هذه النظرية بين عموم الدارسين والطلاب الا انها مع ذلك تحمل اهمية رياضية قصوي.

و الصياغة البسيطة والأشهر لهذه النظرية  تقول:أي دالة مستمرة تربط نقاط قرص مستدير مركزه نقطة الاصل ونصف قطره الوحدة بنقاط القرص نفسها لابد وان تقدم على الاقل نقطة ثابتة واحدة. ومعنى نقطة ثابتة هي نقطة على القرص يتطابق اصلها مع صورتها. والصياغة الاوسع و الاعم لهذه النظرية لا تحتوي على كلمة قرص ولكنها تقول: كل دالة مستمرة تربط نقاط  فضاء  أقليدي جزئي  مضغوط بنفسها تقدم نقطة ثابتة واحدة على الاقل. اي ان هذه النظرية ليست مرتبطة بالفضاء الثنائى الابعاد فقط ولكنها صالحة لاي فضاء ذي اى عدد من الابعاد.

وأود ان اضيف ان نظرية اليوم ليست نظرية وحيدة ولكنها تنتمى الى عائلة كبيرة من نظريات النقاط الثابتة واللتى تتعلق بميادين رياضية مختلفة وسنتعرض لهذا لاحقا.

وتنسب هذه النظرية الى الهولندي براور  L. E. J. Brouwer اللذي عاش في الفترة من 1881 حتى عام  1966 . وتقول القصة انه كان ذات يوم يشرب فنجانا من القهوة واراد تذويب قطعة من السكر في فنجان القهوة فقام بتحريك القهوة بواسطة الملعقة. ولكنه لاحظ بداخل فنجان القهوة تبدو بعض النقاط وكأنها ثابتة ولاتبارح مكانها. ولا يعنى هذا ان نفس النقاط تبقى ثابتة على الدوام. ولكن هذا يعنى انه في كل لحظة توجد نقطة او مجموعة نقاط تبدو وكأنها لا تبارح مكانها بالرغم من التحريك بالملعقة وبالرغم من أن معظم النقاط الباقية قد غيرت من مواضعها.

دعونا الان نحاول ان نتعرف على هذه النظرية بامثلة سهلة وكلمات بسيطة  ولكنها مع ذلك مازالت تحافظ على روح النظرية  فدعونا نتخيل المثال التالى:

انت وزملاؤك تحتفلون بمناسبة ما فقررتم ان تهدوا لانفسكم شيئا بمناسبة  هذه المناسبة فقام كل واحد منكم بشراء هدية معينة وقام بتغليفها ووضعها في مخلاة كبيرة. ثم يأتى يوم الاحتفال وتوزيع الهدايا فيأتى كل شخص ويسحب من هذه المخلاة هدية من دون ان يراها. فما هي حتمية ان يسحب اى منكم نفس الهدية اللتى قد قام هو بشراؤها من قبل؟ أن نظرية النقاط الثابتة تتعامل مع هذه  الحتمية وتحدد متى يكون هذا الشئ امرا حتميا. وبالطبع في المثال السابق فان الحتمية ليست موجودة . بل بالامكان توزيع الهدايا بحيث يحصل كل شخص على هدية لم يقم بشراؤها بنفسه. واماكنية لهذا التوزيع ان يصطف جميع المشاركين في حلقة ويحمل كل انسان الهدية اللتى قام بشراؤها ثم يعطيها للشخص الواقف على يمينه. وبهذا التوزيع يحصل كل انسان على هدية لم يقم بشرائها.

نقطة اخير لازالة اي سوء للفهم قد ينشأ. فقد يعترض انسان ويقول ولكن امكانية ان يقوم شخص بسحب هدية قام بشراؤها مازالت موجودة بل قد يسحب كل الاشخاص نفس الهدايا اللتى قاموا بشرائها من قبل. ولكن ما احب ان اوضحه أن نظرية النقاط الثابتة لا تتعامل مع امكانية سحب نفس الهدايا اللتى قام الانسان بشراؤها بنفسه من قبل ولكنها تتحدث عن حتمية ذلك.ومتى يكون هذا الامر حتميا لامناص عنه وهذا هو احد اسباب جمال هذه النظرية!

المثال السابق كان مثالا سلبيا ويبين انه بالرغم من تطابق مجموعة المعطيات الداخلة مع مجموعة النتائج حيث ان كلا المجموعتين هي الهدايا نفسها فلا توجد نقاط ثابتة.لكننا الان نريد ان نري مثالا ايجابيا يوضح فكرة التوزيع ذي النقاط ثابتة. والمثال التالى يوضح هذا الامر كما انه يحتوي على لمسة جمالية بشأن هذه النظرية.

تخيل انك موجود في مدينة ما وانك تملك خريطة لهذه المدينة. قم الان بوضع هذه الخريطة مفرودة على الارض. وهنا ينبغى ان نلاحظ شيئين:

أولا ان اى نقطة موجودة بداخل مدينتك تطابق نقطة موجودة بداخل الخريطة

ثانيا ومن ناحية اخرى فاي نقطة على الخريطة حيثا انها مفرودة على الارض فهي ايضا جزء من ارض المدينة

وهنا انتبهوا معى تأتى النتيجة الجميلة و المفاجئة لهذه النظرية اللتى تقول ان هناك نقطة  ما على الخريطة تتناسب مع نقطة ما في المدينة تقع تحتها مباشرة.

ويمكننا تصور ذلك كالتالى حيث ان الخريطة مرسومة بمقياس رسم مصغر مثلا واحد الى الف فنجد ان الاطوال على الخريطة اقل منها في الحقيقة بالف مرة. فاذا حددنا الشارع اللذي نحن موجودين فيه فسنجده على الخريطة طوله 5 سم مثلا. ولكن هذه ال 5 سم تنتمى بدورها الى المدينة وصورتها في الخريطة يكون طولها 0.05 مم. ولكن هذه الصورة هي في نفس الوقت نقاط حقيقية داخل المدينة ولها صورة ايضا على الخريطة ونستطيع ان نكرر ذلك حتى نصل الى نقطة تنطبق على نفسها!

المثال السابق كان مرتبطا بفضاء ثنائى الابعاد وهو فضاء ارض المدينة ولكن المثال التالى يوضح نتائج النظرية بالنسبة لفضاء احادي الابعاد:

نتخيل ان هناك زنبرك حر وهذا هو الوضع الابتدائي ونقاط الزنبرك في البداية تعبر عن  مجموعات المدخلات. ثم نقوم بضغط هذا الزنبرك فتشكل النقاط الجديدة للزنبرك وهي مجموعة جزئية من المجموعة الابتدائية مجموعة النتائج. وتقول نظرية اليوم ان هناك حتما نقطة ثابتة من مجموعة المدخلات لم تتحرك ولم تفارق موضعها بالرغم من الضغط ومن تحرك باقى النقاط.

تقاطع منحنى الدالة مع الخط الاخضر يعطي نقطة ثابتة حيث y=x

اذن بهدوء فنظرية اليوم تتعرض للشروط اللتى تجعل من النقاط الثابتة امرا حتميا. وهذه الشروط و الاشتراطات هي مفاهيم رياضية متقدمة ربما لايتسع المكان هنا لتفسيرها ولكنى اعرضها سريعا:

1 مجموعة النتائج مجموعة جزئية من مجموعة المدخلات اوتتطابق معها

2 ان تكون الدالة مستمرة

3 ان تكون مجموعة المدخلات مضغوطة وهذا تعبير رياضى يعنى انها محصورة وتحتوي على حدودها

4 ان تكون مجموعة المدخلات محدبة. بمعنى ان اي خط يصل بين نقطتين في الفضاء يقع بالكامل في داخل الفضاء

اما اهمية هذه النظرية فهي كبيرة جدا فكما قلنا من قبل ان نظرية اليوم تنتمي الى عائلة كبيرة من نظريات النقاط الثابتة اللتى تنتمى لميادين الرياضيات المختلفة. ويبلغ عدد هذه النظريات حوالى العشر نظريات. ويمكننا تشبييه تواجد نظريات النقاط الثابتة في ميادين الرياضيات المختلفة بتواجد حزب الخضر او جماعة الاخوان المسلمين  في كثيرمن دول العالم. ومن اشهر قرينات نظرية اليوم نظرية النقطة الثابتة لبناخ  ولها تطبيقات هائلة في ميدان التحليل الجبري. ولتوضيح قيمة نظرية اليوم نذكر ان  نظرية اليوم تنتمى لميدان التوبولوجي وتعتبر من النظريات الرئيسة فيه. كما انها تستخدم بشكل حيوي في ميدان حل المعادلات التفاضلية  كما انها تستخدم بشكل مميز في حل المعادلات العادية وطريقة نيوتن الرقمية لحل المعادلات مرتبطة بنظرية اليوم. كما ان نظرية اليوم ترتبط بنظرية اللعب game theory اللتى تستخدم في اتخاذ القرارات. كما ان لها استخداماتها في الاقتصاد واستخدمت في توضيح ان هناك نقطة اتزان ممكنة في الاسواق الاقتصادية المختلفة.

 

One thought on “المركز السادس: قانون النقطة الثابتة

Leave a Reply