هل هناك هندسة اخرى غير الهندسة اللتى نعرفها؟ هل هذه كذبة أبريل؟ كلا الهندسة الغير اقليدية هي عنوان للاشئ وهى مجرد حملة دعائية وهى قلبا وقالبا الهندسة المعروفة المألوفة! على العكس فالكل يعلم بان هناك ابعاد اضافية و عوالم خفية والهندسات الغير اقليدية هى هندسة هذه العوالم وبوابتها.

هذه عينة من الانطباعات و الاراء اللتى يجدها الانسان عندما يبحث فى الشبكة العنكبوتية عن الهندسات الغير اقليدية باللغة العربية. وربما يكون ذلك انعكاسا لحالات عدم المعرفة و نظرية المؤامرة و المبالغة السائدة. و على الرغم من ان موضوع الهنسة الغير اقليدية قديم ومهم وجميل فى نفس الوقت. وعلى الرغم من النظرية النسبية لأينشتاين استطاعت جذب الفضول العلمى للكثيرين وهى تعتمد فى قلبها على الهندسات الغير اقليدية الا أننا نادرا مانجد معلومات مبسطة حول هذا الموضوع تروي ظمأ غير المختصين وتساهم فى اخصاب الثقافة العلمية للقارئ و تكون فى الوقت نفسه دقيقة ونافعة. و اليوم و المرات القادمة سنحاول ان نسلط ضوء بسيط حول هذا الموضوع ان شاء الله.

بداية ما هو السر وراء دقة نتائج الهندسة؟ السبب أنها مستنبطة من نظريات هندسية مبرهنة! لكن من أين اتت هذه  النظريات الهندسية المبرهنة؟ ومن أين أتت قواعد الاستنباط؟ الأجابة: النظريات الهندسية المبرهنة تم استنباطها بدورها من نظريات هندسية مبرهنة اخري! وقواعد الاستنباط هى قواعد منطقية تم اقرارها سلفا! اذن سنظل ندور فى حلقة مفرغة حتى نصل الى أن بناء الهندسة قائم على اساس من المبادئ الاولية اللتى تم التسليم بصحتها فرضا دون القدرة على اقامة البرهان على ذلك.

وهنا هو مربط الفرس. فالنتيجة الهندسية تتصل دائما بالمقدمة عن طريق سلسلة من الحلقات المبرهنة القصيرة. فهى تشبه عقد من حبات اللؤلؤ وبحيث كلما صغرت حبة اللؤلؤ كلما قل احتمال ان يتسرب الخطأ اليها من هنا او هناك. وكما يقول المثل الصينى ان رحلة الالف ميل تبدأ بخطوة فان البرهان الرياضى يتكون من خطوات قصيرة متلاحقة لا فجوات بينها بحيث يلامس كعب القدم الأيمن مشط القدم اليسري وهكذا دواليك. وبهذا فقط تزداد مصداقية الرياضيات ويقل الخطأ فيها حتى يكاد ينعدم. فالرياضيات ليست قفزات واسعة فى المجهول او المعلوم ولكنها خطوات قصيرة متلاحمة!

لكن من اكتشف الهندسة؟ هذا السؤال من الصعب الاجابة عليه بشكل قاطع فالبابليون و المصريون القدماء عرفوا النظريات الهندسة وطبقوها فى حياتهم العملية. ونظرية فيثاغورث مثلا على عكس اسمها لم يكتشفها فيثاغورث بل انها كانت معروفة قبله بقرون وأستخدمها البابليون و المصريون القدماء. كما ان المصريون القدماء برعوا جدا فى علم المساحة لانهم كانوا يحتاجونه بعد كل فيضان للنيل لاعادة رسم الحدود كما كانت عليه قبل الفيضان. و المعلوم ان المساحة قائمة على الهندسة بشكل كبير.

هل يعنى ذلك ان البابليين أو المصريين القدماء هم مؤسسو علم الهندسة كما نعرفه اليوم؟ من الصعب ان تكون اجابتنا على هذا السؤال بنعم. حيث ان علم الهندسة قائم على البراهين. وبدون برهان لا قيمة لأى زعم رياضى. ولم يكن البابليون او المصريون القدماء يهتمون بالبراهين. فهم طبقوا القاعدة الرياضية طالما وجدوها سارية ومفيدة ولم يهتموا باقامة البرهان عليها!

أذن من كان اول من اكتشف البرهان الرياضي؟ انهم كانوا الأغريق. ويبدو ان تالس المالطي Thales كان اول من استخدم البراهين الرياضية لكن من برع فيها واخذ الرياضيات شوطا بعيدا فى ذلك كان فيثاغورث Pythagoras ومدرسته. حيث تميزوا فيما يعرف بالبرهان المعكوس. وفيه يفرض الانسان عكس مايريد ان يثبته ويستفيض فى الاسنتاجات المنطقية المتلاحقة حتى يصل الى نتائج متناقضة مما يعنى ان الفرض المعكوس خطأ و العكس هو الصواب.

و لكى نصل الى بداية علم الهندسة كما نعرفها اليوم علينا ان نذهب الى مدينة الاسكندرية اللتى كانت ومنذ انشاها الاسكندر الأكبر وحتى حريق مكتبة الاسكندرية هى عاصمة العلم الاولى فى العالم. صحيح انها لم تكن العاصمة السياسية الاولى فى زمن الاغريق و الرومان ولكنها كانت عاصة العلم و الحضارة الاولى فى ذلك الزمان. وفى عام 300 قبل الميلاد عاش الرياضى الاشهر اقليدس اللذى تتلمذ فى مدارس افلاطون وكتب كتبا متعددة تغطى الدراسات فى اكاديمية افلاطون. وكتاب المعادن elements هو من اشهر كتبه وهو الكتاب  اللذى يهمنا اليوم. وهو كتاب يتكون من 13 جزءا  غطى فيه الهندسة و نظرية الاعداد. وكتاب العناصر هو من اكثر الكتب طباعة عبر التاريخ . وقد ظل هذا الكتاب يستخدم كما هو حتى النصف الاول فى القرن العشرين لتعليم التلاميذ الهندسة فى المدراس الأنجليزية!

وكتاب العناصر هو عمل هائل جمع المعلومات الهندسية الموجودة فى زمانه بين ضفتى كتاب مع تقديم البراهين عليها. وحاول اقليدس ان يكون متجردا و موضوعيا فافرد فى مقدمة كتابه المبادئ الاساسية اللتى تقوم عليها هندسته. واستطاع ان يحدد 33  نقطة هى حروف الهجاء  اللتى تقوم عليها لغة الرياضيات كلها. فقد حدد اقليدس اول 23 تعريف definitions  للمفاهيم الأساسية اللتى تتعامل معها هندسته. ثم قدم 5 بديهيات axioms و 5 مسلمات postulates.

اما بالنسبة للغة اقليدس فينبغى ان نلاحظ ان مصطلح خط لا يعنى خطا مستقيما بالضرورة فالخط قد يكون منحنى او قد يكون مستقيم. و اذا اردنا الاشارة الى خط مستقيم فلا بد و ان نستخدم صفة الاستقامة. وكذلك الحالة بالنسبة للاسطح فالسطح هو شكل ثنائى الابعاد ولكنه كد يكون مستوى أو منحنى فاذا اردناه مستويا لابد ان نستخدم كلمة مستوي. وكذلك يجب ان ننتبه ان اقليدس عندما كان يذكر خطا مستقيما كان يعنى  قطعة مستقيمة محدودة الطول . على العكس العرف الرياضي السارى اليوم ان الخط المستقيم ممتد لانهائى لا نهاية له. وكذلك الحال بالنسبة للسطح فاجسام اقليدس لم تعرف اللانهاية.

اما البديهيات axioms فهى اشياء صحيحة بالبديهة و نقوم بالتسليم بصحتها كما هي بدون نقاش. اما المسلمات postulates فهى ايضا اشياء نسلم بصحتها بالسليقة بدون اقامة البرهان على صحتها. والفارق بين المسلمات و البديهيات  ان الشكوك اللتى قد تحوم حول المسلمات مبررة اكثر من اللتى قد تقوم حول البديهيات. بمعنى ان التشكيك فى البديهيات اصعب من التشكيك فى المسلمات.

تعريفات اقليدس definitions نسردها فيما يلي:
1 النقطة هى مالا جزء له.
2 الخط هو طول بلا عرض
3 نهايتا الخط هما نقطتان
4 المستقيم هو خط يتطابق مع مع استواء النقاط اللتى تقع فوقه
5 السطح هو ماله طول وعرض فقط
6 حواف السطح هى دائما خطوط
7 المستوى هو سطح يتطابق مع استواء الخطوط المستقيمة اللتى تقع فوقه
8 الزاوية المستوية هى الميل بين خطين يلتقيان فى مستوى ولا يواصلان امتدادهما
9 اذا كان خطا الزاوية مستقيمين سميت الزاوية مستقيمة الخطوط rectilinear
10 اذا قابل مستقيم اخر وبحيث صنع زاويتين متجاورتين متساويتين سميت الزاويتان قائمتين. و سمى المستقيم عمودي على الأخر
11 الزاوية المنفرجة اكبر من القائمة
12 الزاوية الحادة اصغر من القائمة
13 الحد هو ذلك حيث ينتهى شئ
14 الشكل هو ذلك المحصور بين حدوده
15 الدائرة هي شكل مستوى. حدها خط. وبحيث تكون المسافة بين نقطة ما داخل الدائرة وأى نقطة على الحد متساوية
16 مركز الدائرة هو النقطة فى منتصف الدائرة السابق ذكرها
17 قطر الدائرة هو قطعة مستقيمة تمر بمركز الدائرة وينهى طرفاها على محيط الدائرة ويقسم القطر الدائرة الى نصفين متساويين
18 نصف الدائرة هى الشكل المحصور بين قطر الدائرة و قوس الدائرة المقطوع بواسطة هذا القطر
19 متعدد الأضلاع هو الشكل اللذى حدوده خطوط مستقيمة فثلاثى الأضلاع يتكون من 3 اضلاع و رباعى الأضلاع يتكون من 4 اضلاع ومتعدد الاضلاع يتكون من عدد غير معين من الأضلاع
20 بالنسبة لثلاثى الاضلاع يسمى مثلث متساوى الاضلاع اذا كان طول كل اضلاعه متساوي ويسمى متساوى الساقين اذا كان ضلعان منه فقط متساويان ويسمى غير متساوى الاضلاع اذا كانت كل اضلاعه مختلفة فى الطول
21 بالنسبة لثلاثى الاضلاع يسمى مثلث قائم اذا كانت احدى زاوياه قائمة ويسمى مثلث منفرج اذا كانت احدى زاوياه منفرجة ويسمى مثلث حاد اذا كانت كل زاوياه حادة.
22 بالنسبة لرباعى الاضلاع يسمى مربع اذا كانت كانت كل اضلاعه متساوية وكل زواياه قائمة ويسمى مستطيل اذا كانت كل زاوياه قائمة ولكن ليست كل اضلاعه متساوية ويسمى معين اذا كانت كل اضلاعه متساوية ولكن زواياه ليست قائمة ويمسى متوازي اضلاع اذا كان كل ضلعان متقابلان متساويين وكانت كل زاويتان متقابلتان متساويتين. اما باقى الاشكال الأخرى تسمى منحرفة.
23 المتوازيان هما مستقيمان يقعان فى نفس المستوى ومهما مدناهما من كلا طرفيهام فهما لا يلتقيان.

اما البديهيات الخمسة axioms  فهى:

1 الأشياء المساوية لغيرها متساوية فيما بينها
2 اذا اضفنا كميات متساوية الى اخرى متساوية تكون النتيجة متساوية
3 اذا طرحنا كميات متساوية من اخرى متساوية تكون النتيجة متساوية
4 الأشياء المتطابقة متساوية
5 الكل اكبر من الجزء

اما المسلمات الخمسة postulates  فهى:

1 بين كل نقطتين مختلفتين يمكننا توصيل خط مستقيم -وحيد-
2 يمكننا مد اى قطعة مستقيمة من كلا طرفيها الى مالا نهاية
3 يمكننا رسم اى دائرة اذا علمنا مركزها ونصف قطرها
4 جميع الزوايا القائمة متساوية
5 اذا قطع مستقيمان ثالث وبحيث يكون مجموع الزاويتين  الداخليتين وعلى جهة واحدة من القتقاطع اقل من قائمتين. فان المستقيمان سوف يلتقيان اذا مددناهما على نفس هذه الجهة.

وكان هذا هو الاساس اللذى بنى عليه اقليدس هندسته وهو ماسنعتمده فى نقاشنا هنا. وعلى الرغم من اقليدس كان متجردا جدا وموضوعيا فى طرحه الا ان بعض النقاط قد فاتت عليه لانها تتعلق بموضوع متقدم فى الرياضيات وهو الطوبولوجيا او علم المكان وهى ماتنبه له الرياضى الالمانى هلبرت لاحقا. لكن هذه النقاط لن تهمنا اليوم فى موضوعنا اليوم و المرات القادمة وسنعتبر كل ماقاله اقليدس صحيحا.