اقليدس هو رياضى شهير عاش في مدينة الاسكندرية في عهد الدولة البطلمية في القرن الثالث قبل الميلاد. وكان اقليدس ينتمى فكريا الى مدرسة افلاطون تلك المدرسة اللتى كانت تؤمن بمملكة الافكار وقد كتب كتابه الاشهر العناصر وفقا لرؤية هذه المدرسة .فكان كتابه مثالا رائعا للنظرية العلمية وكيف ينبغى ان تكون.

وقد بنى اقليدس هندسته على مسلمات قليلة العدد ولكنها بديهية للغاية ولا يخالج اى انسان شكوك في صحتها. وكانت الهندسة الاقليدية محل اعجاب الجميع بلا استثناء من الاقدمين الاولين حتى عصرنا هذا. فالهندسة الاقليدية هي مانتعلمه في مدارسنا حتى ننهى تعليمنا. ولكن مع ذلك فان المسلمة الخامسة من مسلمات اقليدس كانت مثيرة للجدل. وقد اعتبرها الاقدمون انها الشئ الوحيد في هندسة اقليدس اللذي يشين هذه الهندسة و يقلل الى حد ما من بهائها وروعتها. لماذا؟ وماذا كانت تقول المسلمة الخامسة؟

المسلمة الخامسة في صياغتها الحديثة تقول اننا يمكن ان نرسم من اي نقطة تقع خارج خط مستقيم خط مستقيم اخر يوازي الخط الاول و يقع معه في نفس المستوي. ولكن هذه الصياغة ليست هي الصياغة الاصلية للمسلمة. بل أن الصياغة الاصلية تقول انه اذا تقاطع خطان مستقيمان في نقطة ما فان مجموع الزاويتين الداخلتين اللتين يصنعهما هذان الخطان مع خط ثالث يقطعهما اقل من قائمتين او من 180 درجة. وكان السابقون يرون ان هذه المسلمة تختلف في شكلها وبنائها عن باقى المسلمات الاخرى وان اقليدس قد احتاج للكثير من الكلمات لوصف هذه المسلمة بينما ما كان يميز باقى المسلمات الاخرى هي انها قصيرة ونافذه وواضحة. وتشكك البعض في ان كانت هذه مسلمة ام هي نظرية ينبغى برهانها بدلالة المسلمات الاخرى.

وحاول الكثيرون برهان المسلمة الخامسة بدلالة المسلمات الاخرى ومن امثال هؤلاء ارشميدس و بطليموس و من بعدهم ثابت بن قرة و الطوسي وغيرهم الكثيرين. ولكن كل محاولات هؤلاء قدباءت بالفشل وكان الرياضى الالمانى جاوس هو اول من ادرك ان هذه الفرضية لا يمكن اثباتها بدلالة المسلمات الاخرى بل ينبغى فرضها فرضا. ومن الممكن فرض فرضيات مخالفة للمسلمة الخامسة لنحصل في كل مرة على هندسة جديدة تتناسب مع المسلمة اللتي تم فرضها.

واول من توصل لهندسات جديدة بخلاف هندسة اقليدس كان كلا من الروسي لوباتشيفسكي و المجري بولياي. وتوصل كل منهما لنفس الهندسة بصورة مستقلة وبمعزل عن الاخر. وقد فرض كل منهما اننا يمكننا رسم اكثر من موازي واحد لخط من خلال نقطة تفع خارج هذا الخط. وكانت الهندسات الجديدة تسمح باستنباط نظريات هندسية جديدة بصورة منطقية.

هندسة ريمان للاسطح الكروية

ثم قام ريمان الالماني بفرض افتراض اخر مفاده اننا لا يمكننا ان نرسم اي موازي لاي خط من نقطة تقع خارجه. ويمكننا تخيل هذه الفرضية بسطح الكرة الارضية. فخطوط الطول الموجودة فوق سطح هذه الكرة تمثل الخطوط المستقيمة لاننا لايمكننا ان نجد خطوط اكثر استقامة من خطوط الطول الموجودة على سطح الكرة المقعر. كما اننا لانستطيع من اى نقطة رسم خط طول يوازي خط طول اخر. لان خطوط الطول على سطح الكرة الارضية تتقاطع كلها عند القطبين. اى ان خطوط الطول كلها ليست متوازية.

ومن سمات هندسة ريمان الخاصة بالاسطح الكروية ان مجموع زوايا المثلث الداخلية اكبر من 180 درجة. فمثلا اذا نظرنا الى مثلث كروي. اي انه موجود فوق سطح كرة و ضلعاه هما خطى طول ما فوق سطح الكرة الارضية بينما ضلعه الثالث يقع فوق خط الاستواء. فنجد ان كل زاوية بين خطى الطول وخط الاستواء على حدة تساوي 90 درجة اي ان مجموعهما هما الاثنين فقط يعطي 180 درجة. اى ان مجموع زوايا المثلت الداخلة الثلاثة اكبر من 180 درجة.

كما ان من سمات هندسة ريمان بالنسبة للاسطح الكروية ان نظرية فيثاعورث لاتسرى لحساب المسافة بين نقطتين الا في حالة النقاط القريبة جدا من بعضها وبصورة تقريبية. اي ان نظرية فيثاغورث لحساب المسافة بين النقطتين تسري فقط بصورة موضعية.

ولكنى في البداية احب ان اوضح النقطة التاليةوهي ان سطح كرة هو سطح ثنائي الابعاد بالرغم من ان الكرة تشغل حيز مكانى ثلاثى الابعاد. فالسطح ثنائى الابعاد يحتاج لرقمين او بعدين فقط لتحديد اى نقطة تقع عليه. فمثلا اذا اردنا تعيين موضع مدينة بيروت على سطح الكرة الارضية فاننا نفعل ذلك عن طريق قيمة خطوط الطول و العرض. اي ان رقمان كافيان لتحديد موضع اى نقطة فوق سطح الارض. كما انى احب ان اوضح ان هناك اكثر من نظام للاحداثيات بخلاف الاحداثيات الكارتيزية مثل الاحداثات الاسطوانية و الاحداثات الكروية. وتحديدا فان الاحداثيات الكروية تلعب دورا كبيرا في النظرية النسبية العامة.

وكان العبقري جاوس قد وجد خواص مثيرة للاسطح الكروية. ومن ضمن هذه الخواص المثيرة اننا عن طريق قياسات داخلية على السطح نستطيع ان نحصل على معلومات حول البعد الثالث. فمثلا اذا درسنا جسم على هيئة اسطوانة فاننا اذا قسنا محيط هذه الاسطوانة فاننا نستطيع ان نحسب طول قطرها اللذي يقع في بعد اخر حيث ان محيط الاسطوانة يساوى حاصل ضرب القطر في الثابت ط. والمثل بالنسبة للسطح الكروي فان مساحة مثلث على سطح كرة يساوي مربع نصف قطر الكرة مضروبا في فارق مجموع زوايا المثلث الداخلة عن 180 درجة. وكانت هذه الحقائق تبهر ريمان. فعكف على تطوير هندسته ودرس اسطح ثلاثية الابعاد مقعرة وكذلك الحال بالنسبة لاسطح رباعية الابعاد مقعرة وهكذا. وما يهمنا هو الاسطح الرباعية الابعاد المقعرة لان الزمكان في النظرية النسبية هو رباعى الابعاد. وبالطبع لايمكننا ان نتخيل كيف تبدو اسطح رباعية الابعاد مقعرة. اي انها تشغل في الاحداثيات الكارتيزية 5 ابعاد لاننا لايمكننا ان نتخيل اكثر من 3 ابعاد مكانية في نفس الوقت.

وقد شعر اينشتاين ان هندسة ريمان هى ضالته المنشودة. فاينشتاين كان هدفه الوصول الى قانون يحسب المسافة بين الاحداث في الزمكان الرباعى الابعاد. وحساب هذه المسافة ينبغي ان يكون على غرار قوانين مينكوفسكي اللتى هي في الحقيقة تطوير لنظرية فيثاغورث. وكما راينا سابقا فان قانون فيثاغورث يعمل بصورة محلية بين النقاط القريبة في هندسة ريمان. و كان هذا ما يحتاجه اينشتاين تماما. فلحساب المسافة بين حدثين بعيدين عن بعضهما في الزمكان نستطيع ان نقسم المسافة بين هذين الحدثين البعيدين الى مسافات صغيرة على طول المسافة بين الحدثين. ثم نحسب كل مسافة صغيرة على حدة ثم نجمع هذه المسافات لنحصل في النهاية على النتيجة النهائية. او اذا احببنا ان نوصف تلك العملية بصورة اكثر رياضية فاننا نقول اننا نجري عملية تكامل.

وبناء عليه كان على اينشتاين ان يصف كوننا او الزمكان بدلالة هندسة ريمان و ان يحدد تقعر الزمكان وسوف تكون الجائزة انه سوف يحصل على العلاقات الحقيقية اللتى تفسر كل قوانين الميكانيكا و الجاذبية في كوننا.